1. Étude locale : mais où ? . . . . 1

Fonctions d'une variable réelle : étude locale

Rédaction incomplète. Version beta 2.2

Plan

I. Limites . . . . 1

1. Étude locale : mais où ? . . . . 1

2. Dénitions . . . . 1

3. Propriétés . . . . 2

4. Continuité. . . . 2

II. Opérations . . . . 3

III. Composition. . . . 3

1. Caractérisation séquentielle de la continuité . . . . 3

2. Composition de fonctions . . . . 4

IV. Fonctions monotones. . . . 4

V. Extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . 5

1. Opérations . . . . 5

2. Interprétation comme courbe paramétrée et branches innies . . . . 5

Index

asymptote, 6 branche innie, 5

caractérisation séquentielle de la continuité, 3 continuité d'une application croissante sur un in-

tervalle, 5

direction asymptotique, 6 fonction localement bornée, 2 fonctions continues, 2

limite à droite, à gauche, 2

passage à la limite dans une inégalité pour une fonction, 2

question de cours

caractérisation séquentielle de la continuité, 3 continuité d'une application croissante sur un intervalle (démonstration), 5

les 9 dénitions d'une limite, 1 limites d'une fonction monotone, 4 sf branches innies, 6

stabilité des inégalités larges par passage à la limite, 2

théorème de la limite monotone, 4 unicité de la limite, 2

L'étude des fonctions d'une variable réelle est répartie entre divers documents.

I. Limites

1. Étude locale : mais où ?

Précisons la notion d'extrémités d'un intervalle I . On convient que l'extrémité droite de I est max(I) si I admet un plus grand élément, sup(I) si I est majoré mais n'admet pas de plus grand élément et +∞ si I n'est pas majoré. De même l'extrémité gauche est min(I) si I admet un plus petit élément, inf(I) si I est minoré mais n'admet pas de plus petit élément et −∞ si I n'est pas minorée. On note I l'intervalle I auquel on adjoint ses extrémités. Ainsi

R = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} , ]a, b] = [a, b] , ]−∞, b[ = ]−∞, b] ∪ {−∞}

Dans ce chapitre, on s'intéresse à ce qui se passe autour d'un a ∈ I pour une fonction f dénie dans un intervalle I . Il faut bien noter que a n'est pas forcément un point de I c'est à dire que la fonction f n'est pas forcément dénie en a . En revanche,

si a ∈ R, pour tout α > 0 , I ∩ [a − α, a + α] 6= ∅ , si a = +∞ , pour tout A ∈ R, I ∩ [A, +∞[ 6= ∅ , si a = −∞ , pour tout A ∈ R, I ∩ ]−∞, A] 6= ∅

Autrement dit, il existe des points arbitrairement proches de a en lesquels la fonction est dénie.

Notion de propriété locale en a .

2. Dénitions

Dénition. Les neuf cas pour la dénition d'une limite f − →

l sont présentés dans le tableau suivant a l dénition de f − →

l

réel

∈ R ∀ε > 0, ∃α

> 0 tq ∀t ∈ I : |t − a| ≤ α

⇒ |f (t) − l| ≤ ε

= −∞ ∀E ∈ R , ∃α

> 0 tq ∀t ∈ I : |t − a| ≤ α

⇒ f (t) ≤ E

= +∞ ∀E ∈ R , ∃α

> 0 tq ∀t ∈ I : |t − a| ≤ α

⇒ f (t) > E

−∞

∈ R ∀ε > 0, ∃A

∈ R tq ∀t ∈ I : t ≤ A

⇒ |f (t) − l| ≤ ε

= −∞ ∀E ∈ R , ∃A

∈ R tq ∀t ∈ I : t ≤ A

⇒ f (t) ≤ E

= +∞ ∀E ∈ R , ∃A

∈ R tq ∀t ∈ I : t ≤ A

⇒ f (t) > E

+∞

∈ R ∀ε > 0, ∃A

∈ R tq ∀t ∈ I : t ≥ A

⇒ |f (t) − l| ≤ ε

= −∞ ∀E ∈ R , ∃A

∈ R tq ∀t ∈ I : t ≥ A

⇒ f (t) ≤ E

= +∞ ∀E ∈ R , ∃A

∈ R tq ∀t ∈ I : t ≥ A

⇒ f (t) > E Notations usuelles pour les limites.

x→a

lim f (x) = l, lim

a

f = l, f (x) −−−→

l, f − →

l

Les notations 2 et 4 sont à préférer car elles mettent mieux en avant que ce sont des fonctions qui admettent des limites et non des nombres. On peut aussi utiliser la èche de convergence avec les conventions habituelles de notation des fonctions anonymes :





]0, +∞[ → R x 7→ 1 x





−

→ +∞

On introduit des notions de limites à droite ou à gauche, stricte ou large en un point a . Il s'agit des limites des restrictions de la fonction aux intervalles

I ∩ ]−∞, a] pour une limite à gauche (large), I ∩ ]−∞, a[ pour une limite à gauche stricte, I ∩ [a, +∞[ pour une limite à droite (large), I ∩ ]a, +∞[ pour une limite à gauche stricte.

Ces notions sont analogues aux suites extraites. Notations f −−→

l (droite), f −−−→

l (droite stricte), f −−→

l (gauche), f −−−→

l (gauche stricte).

Remarques. Si une fonction admet une limite l en a alors elle admet aussi l pour limite en a à gauche ou à droite stricte ou large.

Attention

f −−−→

l et f −−−→

l

n'entraine pas f − →

l .

On peut étendre de la notion de limite en a lorsque f est dénie dans I \ {a} . (pour la dérivabilité et les développements limités)

Dénition. Soit I un intervalle, a ∈ I et f une fonction dénie dans I \ {a} . On dit que f admet l pour limite en a si et seulement si les resctictions à droite et à gauche de a admettent l pour limite en a .

3. Propriétés

Dénition (fonction localement bornée). Une fonction f dénie dans un intervalle I est localement bornée en a ∈ I (ou au voisinage de a ) si et seulement si il existe un α > 0 tel que f

soit bornée.

On peut étendre la dénition : f est localement bornée au voisinage de +∞ (respectivement −∞ ) si et seulement si il existe A ∈ R tel que f

(respectivement f

) soit bornée.

Proposition. Une fonction qui converge en a est localement bornée au voisinage de a . Preuve. à compléter

Proposition. Si f converge en a vers l et si l 6= 0 , il existe un voisinage de a dans lequel f est non nulle du signe

Preuve. à compléter

Théorème (Passage à la limite dans une inégalité). Soit I un intervalle et a ∈ I . Soit f , g deux fonctions dénies dans I . Si f − →

l

, g − →

l

et si f ≤ g au voisinage de (localement en ) a , alors l

≤ l

.

Preuve. à compléter

Conséquence : Unicité de la limite .

Théorème (Théorème d'encadrement.). Soit I un intervalle et a ∈ I . Soit f , g , h trois fonctions dénies dans I telles que f ≤ g ≤ h dans un voisinage de (localement en) a .

f − →

l h − →

l )

⇒ g − →

l, f − →

+∞ ⇒ g − →

+∞, h − → −∞ ⇒

g − → −∞

Preuve. à compléter

4. Continuité

Remarque. a ∈ I et f − →

l entraine l = f (a) .

Dénition (fonction continue en a ). Soit f dénie dans I et a ∈ I . On dit que f est continue en a si et seulement si f − →

f (a) .

Dénition (fonction continue dans un intervalle). Soit I un intervalle réel et f une fonction dénie dans I . On di que f est continue dans I si et seulement si , pour tout a ∈ I , la fonction f est continue en a .

II. Opérations

Le plan est à peu près le même que pour l'étude des suites convergentes.

Proposition. Le produit d'une fonction localement bornée en a par une fonction qui converge vers 0 en a converge vers 0 . Le produit de deux fonctions qui convergent vers 0 en a converge vers 0 en a . La somme de deux fonctions qui convergent vers 0 en a converge vers 0 en a .

Preuve. à rédiger

Théorème (Opérations sur les fonctions convergentes). Soit I un intervalle de R, a ∈ I et f , g deux fonctions dénies dans I et qui convergent en a respectivement vers des réels l

et l

. Soit λ un nombre réel. Les fonctions résultats des opérations présentées dans le tableau suivant convergent en a vers les limites indiquées.

opérations |f | f + g λf f g sup(f, g) inf(f, g) limites |l

| λl

l

+ l

l

l

max(l

, l

) min(l

, l

)

Preuve. Les démonstrations se font en écrivant des inégalités exploitées par le théorème d'encadrement.

valeur absolue La propriété repose sur l'inégalité

||f (x)| − |l

|| ≤ |f(x) − l

|

somme |(f + g)(x) − (l

+ l

)| ≤ |f (x) − l

| + |g(x) − l

| . multiplication externe |λf (x) − λl

| = |λ| |f (x) − l

| . produit On introduit un terme croisé

|(f g)(x) − (l

l

)| ≤ |g(x)| |f (x) − l

| + |l

| |g(x) − l

| .

sup et inf La propriété repose sur les propriétes déjà montrées ainsi que sur les formules : sup(f, g) = 1

2 (f + g + |f − g|) inf(f, g) = 1

2 (f + g − |f − g|)

On peut faire un tableau analogue à celui pour les suites relativement aux opérations sur les fonctions qui divergent vers +∞ ou −∞ . Dans les tableaux suivant sont rassemblées de bonnes hypothèses relativement à des opérations comprenant des fonctions admettant des limites innies.

Propriété de f Propriété de g Propriété de f + g localement (en a ) minorée → +∞ → +∞

localement (en a ) majorée → −∞ → −∞

Propriété de f Propriété de g Propriété de f g

localement (en a ) minorée par un nombre > 0 . → +∞ → +∞

localement (en a ) majorée par un nombre < 0 → −∞ → +∞

localement (en a ) majorée par un nombre < 0 → +∞ → −∞

localement (en a ) minorée par un nombre > 0 → −∞ → −∞

Preuve. à compléter

III. Composition

1. Caractérisation séquentielle de la continuité

Théorème (caractérisation séquentielle de la limite). Soit a ∈ I , l ∈ R et f dénie dans I . Alors f admet l pour limite en a si et seulement si pour toute suite (x

)

N

d'éléments de I qui converge vers a , la suite (f (x

))

N

→ l Preuve. Suivant que a et l sont réels ou +∞ ou −∞ , diverses démonstrations analogues sont à fournir. On se place dans le cas où a et l sont nis, les autres cas sont à rédiger.

Convergence de la fonction entraîne convergence des suites. On suppose f → l , on considère une suite (x

)

quelconque qui converge vers a . Pour tout ε > 0 ,

1 - Il existe un α

> 0 tel que |x − a| ≤ α

⇒ |f (x) − l| ≤ ε car f → l . 2 - Pour ce α

> 0 , il existe un N ∈ N tel que n ≥ N ⇒ |x

− a| ≤ α

. 3 - Alors n ≥ N ⇒ |f (x

) − l| ≤ ε .

On doit montrer que si, pour toute suite (x

)

qui converge vers a , la suite (f (x

))

converge vers l , alors f → l en a . On va prouver la contraposée c'est à dire que si f ne converge pas vers l en a alors il existe une suite (x

)

qui converge vers a mais pour laquelle la suite (f (x

))

ne converge pas vers l . On suppose donc que f ne converge pas vers l en a .

Il existe

donc un ε particulier (notons le ε

tel que, pour tout α > 0 (en particulier pour

) il existe un x (notons le x

car il dépend de n ) tel que

|x

− a| ≤ 1

n et |f (x

) − l| ≥ ε

La première inégalité montre par le théorème d'encadrement que (x

)

N

→ a et la deuxième que (x

)

ne converge pas vers l (le théorème de passage à la limite dans une inégalité entrainerait une contradiction).

2. Composition de fonctions

Théorème. Soit I un intervalle et a ∈ I . Soit f une fonction dénie dans I qui admet une limite l en a . Soit J un intervalle tel que l ∈ J et f (I) ⊂ J .

Soit g une fonction dénie dans J qui admet une limite λ en l . La fonction g ◦ f admet alors la limite λ en a .

Preuve. Parmi les 27 cas possibles pour a , l , λ réels ou non, choisissons en un seulement, les autres sont analogues.

Par exemple a = −∞ , l ∈ R, λ = +∞ . On veut montrer que g ◦ f −−→

+∞ . Pour tout E ∈ R.

1. Comme g − →

+∞ , il existe α > 0 tel que, pour tout y ∈ J , |y − l| ≤ α ⇒ g(y) ≥ E .

1En général le nomεvient toujours après un quanticateur∀, le∃vient ici de la négation de la proposition habituelle

2. Comme f − →

l , ∀ε > 0, ∃A

∈ R tel que, x ≤ A

⇒ |f (x) − l| ≤ ε . On considère en particulier ε = α et le A

.

Pour tout x ∈ I ,

x ≤ A

⇒ |f (x) − l| ≤ α ⇒ g(f (x)) ≥ E car f (x) ∈ J.

IV. Fonctions monotones

Proposition. Soit f une fonction monotone dénie dans un intervalle I et a un point de I qui n'est pas une extrémité. Alors f admet en a des limites strictement à droite et à gauche de a notées f

(a) et f

(a) .

f croissante f décroissante

f

(a) f −−−→

sup {f (t), t ∈ I, t < a} f −−−→

inf {f (t), t ∈ I, t < a}

f

(a) f −−−→

inf {f (t), t ∈ I, t > a} f −−−→

sup {f (t), t ∈ I, t > a}

De plus, f

(a) ≤ f (a) ≤ f

(a) si f est croissante et f

(a) ≤ f (a) ≤ f

(a) si f est décroissante. La fonction est continue en a si et seulement si f

(a) = f (a) = f

(a) .

Preuve. Remarquons d'abord que les parties de R

I ∩ ]−∞, a[ , {f (x) tq x ∈ I, x < a} , I ∩ ]a, +∞[ , {f (x) tq x ∈ I, a < x}

sont non vides car a n'est pas une extrémité de I .

Plaçons nous dans le cas où la fonction f est croissante. Alors

(∀x ∈ I, x < a ⇒ f (x) ≤ f (a)) ⇒ f (a) majore {f (x) tq x ∈ I, x < a} ⇒ sup {f (x) tq x ∈ I, x < a} ≤ f (a) (∀x ∈ I, a < x ⇒ f (a) ≤ f (x)) ⇒ f (a) minore {f (x) tq x ∈ I, a < x} ⇒ f (a) ≤ inf {f (x) tq x ∈ I, a < x} . Notons f

(a) = sup {f (x) tq x ∈ I, x < a} et montrons que c'est la limite de f strictement à droite de a .

Pour tout ε > 0 , le réel f

(a) − ε n'est pas un majorant de {f (x) tq x ∈ I, x < a} . Il existe donc u

∈ I tel que u

< a et f

(a) − ε < f (u

) ≤ f

(a) = sup {f(x) tq x ∈ I, x < a} . Comme f est croissante,

∀x ∈ I, u

≤ x < a ⇒ f

(a) − ε < f (u

) ≤ f (x) ≤ f

(a).

On en déduit que f

(a) est la limte de f strictement à gauche de a . La démonstration pour le limite strictement à droite est analogue en considérant f

(a) + ε .

Dans le cas où la fonction f est décroissante, on se ramène eau cas croissant en utilisant −f et les opérations usuelles.

Remarque. Dans le cas où a est une extrémité de l'intervalle, on ne peut considérer qu'un seul côté de l'intervalle.

La limite stricte de ce côté existe encore etson expression est la même.

Théorème (continuité d'une application croissante sur un intervalle). Soit f une fonction monotone dénie dans un intervalle I . Si f (I) est un intervalle, alors, pour tout a ∈ I , la fonction f est continue en a . La fonction est donc continue dans I .

Preuve. En fait, on va démontrer la contraposée. Soit f une fonction monotone dans I . On la suppose croissante (on se ramène à ce cas en considérant −f ). Soit a ∈ I tel que f ne soit pas continue en I .

Si a n'est pas l'extrémité gauche de I , la discontinuité se traduit par f

(a) < f(a) . Montrons que les points de ]f

(a), f(a)[ ne sont pas des images par f . En eet :

x < a ⇒ f (x) ≤ f

(a) et a ≤ x ⇒ f (a) ≤ f (x).

Ceci montre que f (I) n'est pas convexe, il n'est donc pas un intervalle.

Si f est monotone et f (I) est un intervalle, la situation précédente ne peut se produire pour aucun a ∈ I . La

fonction doit donc être continue en tous les a ∈ I .

V. Extension aux fonctions à valeurs complexes

1. Opérations

Dénition. Soit f dénie dans un intervalle I de R et a ∈ I . Soit z ∈ C. La fonction f converge en a vers z (notation f − →

z si et seulement si |f − z| − →

0 .

Remarques. La convergence d'une fonction à valeurs complexes se ramène donc à celle d'une fonction à valeurs réelles.

On peut considérer a réel ou +∞ ou −∞ mais la limite z doit être dans C.

Proposition. Soit I un intervalle, a ∈ I , f et g dénies dans I qui convergent respectivement en a vers l

et l

, λ ∈ C. Alors :

f − →

l

, |f| − → |l

|, f + g − →

l

+ l

, λf − →

λl

, f g − →

l

l

, si l

6= 0 : 1 f

− →

1 l

Preuve. La démonstration repose sur des inégalités de module liées à l'inégalité triangulaire.

Proposition. Soit I un intervalle, a ∈ I , f dénie dans I . Soit z ∈ C.

f − →

z ⇔

Re(f ) − →

Re(z) et Im(f ) − →

Im(z)

Preuve. Dans un sens, on utilise | Re(f ) − Re(z)| ≤ |f − z| et | Im(f ) − Im(z)| ≤ |f − z| . Dans l'autre, on utilise les opérations (linéarité) de la proposition précédente.

2. Interprétation comme courbe paramétrée et branches innies

Ce paragraphe n'est pas au programme de MPSI.

Remarques sur les dénitions possibles de la notion de branches innie. On se limite à un cas particulier k −−−→

Af(t)k −→

t0

+∞

Cette propriété est indépendante du point A .

A

f(t)

Fig. 1: Direction asymptotique

Dénition (branche innie avec direction asymptotique). On dira que f admet en t

une branche innie avec une direction asymptotique − → u lorsqu'il existe un point A tel que :

k −−−→

Af(t)k −→

t₀

+∞ et

−−−→ Af(t)

k −−−→

Af(t)k

−→

−

→ u

Vérions que la convergence et la valeur de la limite sont indépendantes du point A .

Dénition (Asymptote). On dira que f admet une branche innie avec une droite asymptote D lorsque k −−−→

Af(t)k −→ +∞ et d(f (t), D) −→ 0

Fig. 2: branche innie sans direction asymptotique

Proposition. Une courbe paramétrée f admet une branche innie avec une droite asymptote si et seulement si elle admet une directions asymptotique − → u et qu'il existe un point A et un réel l

tel que

det( −−−→

Af(t), − → u ) −→

t0

l

Dans ce cas, la droite asymptote est formée par les points M tels que det( −−−→

Af (t), − → u ) = l

Preuve. Vérions que si on change de point, on change de limite l

mais pas de droite. Montrons que la distance de f (t) à cette droite tends vers 0 .

La proposition précédente conduit à une équation de l'asymptote et constitue une méthode pratique.

Exemples. 1. Courbes paramétrées f (t) = O + u(t) − →

i + v(t) − →

j avec u ou v qui tend vers l'inni.à rédiger 2. Cas d'une courbe en polaire :

f (θ) = O + ρ(θ) − → e

ρ −→

θ₀

+∞

)

⇒ 1

k −−−→

Of (θ)k

−−−→ Of (θ) = − → e

−→

θ0

−

→ e

Il y a donc toujours une direction asymptotique. Il y a une asymptote si et seulement si le déterminant converge or

det( −−−→

Of (θ), − → e

) = ρ(θ) sin(θ − θ

)

On obtient donc une forme indéterminée que l'on traite avec les outils de l'analyse. Lorsqu'il existe une limite nie l , on obtient une équation polaire de la droite asymptote qu'il est facile d'exprimer en coordonnées cartésiennes en développant simplement le sin .

ρ sin(θ − θ

) = l ⇔ −x sin θ

+ y cos θ

= l