Int´ egration et Probabilit´ es Partiel.

Universit´e Paris 13 Ann´ee 2017/2018 MACS1

Int´ egration et Probabilit´ es Partiel.

La clart´e de la r´edaction est primordiale. Les exercices sont largement ind´ependants.

Exercice 1 On consid`ere (E,A, µ) un espace mesur´e. Soit f :E →[0,∞] une fonction mesu- rable `a valeurs dans [0,∞] =R+∪ {+∞}. Soit a >0.

a) Montrer que pour tout x∈E, f(x)≥a1_A(x), o`uA={y∈E|f(y)> a}.

b) En d´eduire que

µ({x∈E|f(x)> a})≤ 1 a

Z

E

f dµ.

c) En d´eduire que si R

Ef dµ <∞ alors lim

a→∞µ({x∈E|f(x)> a}) = 0.

d) Justifier que

{x∈E|f(x) =∞}= \

n≥1

{x∈E|f(x)> n}.

Montrer que siR

Ef dµ <∞ alors f <∞ µ-presque partout.

e) Justifier que

{x∈E|f(x)>0}= [

n≥1

x∈E

f(x)> 1 n

. Montrer que siR

Ef dµ = 0 alors f = 0 µ-presque partout.

Exercice 2 Soit f :R→R la fonction d´efinie par :

pour tout x∈R, f(x) =











0 si x∈]− ∞,0]

1 2√

x si x∈]0,1[

2 si x= 1

1

x² si x∈]1,∞[.

1) D´eterminer, selon la valeur de x∈R, la valeur de F(x) =

Z

f(t)1]−∞,x](t)dt.

Tracer l’allure du graphe de la fonction F :x7→F(x).

2) Soit µ=δ_1/4 +δ2. D´eterminer, selon la valeur de x∈R, la valeur de G(x) =

Z

f(t)1]−∞,x](t)dµ(t).

Tracer l’allure du graphe de la fonction G:x7→G(x).

1

Exercice 3 Soit α∈R. On pose, pour tout n∈N^∗, I_n =

Z ∞ 1

1 t^α+^e_n^tdt.

1) Montrer que pour tout n ≥1 et tout α, I_n <∞.

2) Montrer que si α >1, alors I_n −→

n→∞

1 α−1.

3) Quel est le comportement de la suite (I_n, n≥1) lorsqueα ≤1 ?

Exercice 4 Soit p∈]0,1[. On d´efinit la mesure µ_p sur l’espace mesurable (R,B(R)) par : µ_p = X

k∈N^?

p^kδ_k. 1) Montrer que Pn

k=0p^k = _1−p¹ (1−pⁿ⁺¹) pour tout n ≥0. En d´eduireP∞

k=0p^k etP∞ k=1p^k. 2) Calculer µ_p({0}) et µ_p([1,+∞[).

3) Soit f : R → [0,∞] une fonction mesurable positive. Exprimer R

fdµ_p `a l’aide d’une s´erie. Montrer que la fonction f : R →R d´efinie par f(x) = <sub>|x|</sub><sup>1</sup> si x 6= 0, et f(0) = ∞, est int´egrable par rapport `aµ_p.

4) Justifier que Z p

0

∞

X

k=0

u^kdu=

∞

X

k=1

p^k

k et d´eterminer Z

fdµp, pour f donn´ee ci-dessus.

Exercice 5 Pour toutx≥0, on note Γ(x) =

Z

R^?₊

t^x−1e^−tdt.

1) Justifier que Γ(0) = +∞et que pour tout x >0, Γ(x)<+∞.

2) Pour x >0, ´ecrire e^−t =R∞

t e^−udu dans Γ(x) pour montrer que Γ(x+ 1) =xΓ(x).

3) Justifier que pour t >0 et 0< a < x < b, on a 0≤t^x≤t^a+t^b.

4) Montrer que Γ est continue sur ]0,+∞[ (on pourra commencer sur un intervalle ]a, b[).

5) En remarquant que pour tous 0< a < x < b, et tout t >0,

|e^−tt^x−1lnt| ≤(−lnt)e^−tt^a−11_]0,1[(t) +e^−tt^b−1lnt1[1,+∞[(t), montrer que Γ est d´erivable sur ]0,+∞[ avec, pour toutx >0, Γ⁰(x) =

Z

R^?+

e^−tt^x−1lntdt.

6) Montrer que lim

x→∞Γ(x) = +∞. Indication : d´ecouper R∞ 0 =R1

0 +R∞

1 et ´etudier la limite de chaque int´egrale s´epar´ement.

7) Soient a, s >0. On pose

I(a, s) = Z

R^?+

t^s−1e^−atdt.

ExprimerI(a, s) en fonction de Γ.

8) On pose, pour s >1,ζ(s) = P∞ n=1

1

n^s. Montrer que pour tout s >1, Z

R^?₊

t^s−1

e^t−1dt = Γ(s)ζ(s).

Indication : ´ecrire que _et¹−1 = _1−e^e−t−t =P∞ n=0....

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