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Fiche démonstration Droites Remarquables : Médianes 4e

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Academic year: 2022

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Fiche démonstration Droites Remarquables : Médianes 4e Démonstration de la propriété :

Dans le triangle ABC, tout point P de la médiane [AM] détermine deux triangles APB et APC dont les aires sont égales.

1) Démontrer que les triangles ABM et ACM ont la même aire.

Soit D le projeté orthogonal de A sur [BC].

Aire(ABM) = BM×AD

2 et Aire(ACM) = CM×AD 2 Or, M est le milieu de [BC] donc BM = CM.

Donc Aire(ABM) = Aire(ACM)

2) Démontrer que les triangles ABP et ACP ont la même aire.

L’aire du triangle ABM est la somme des aires des triangles ABP et BPM.

Donc Aire(ABP) = Aire(ABM) – Aire(BPM).

De même l’aire du triangle ACM est la somme des aires des triangles ACP et CPM.

Donc Aire(ACP) = Aire(ACM) – Aire(CPM).

Or, si E est le projeté orthogonal de P sur [BC], alors : Aire(BPM) = BM×PE

2 et Aire(CPM) = CM×PE 2 Et comme BM = CM, alors Aire (BPM) = Aire(CPM) D’où Aire(ABP) = Aire(ABM) – Aire(BPM)

= Aire(ACM) – Aire(CPM) = Aire(ACP)

CQFD.

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