Sin est impair, la probabilit´e de ce retour est 0

Enonc´e n^oG128 (Diophante)

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Je note g, d, h, b le nombre des d´eplacements ´el´ementaires vers la droite, la gauche, le haut, le bas. Le nombre total de ces d´eplacements est n = g+d+h+b.

La probabilit´e de tirer un quadruplet (g, d, h, b) est n!4⁻ⁿ

g!d!h!b!

1) Retour `a la case d´epart

Il exige g=d, h =b d’o`u n= 2g+ 2h, pair. Sin est impair, la probabilit´e de ce retour est 0. Sin= 2m, les cas `a consid´erer sontd=g,h=b=m−g, et la probabilit´e de retour est

p₁ =^X

g

n!4⁻ⁿ

g!g!(m−g)!(m−g)! = 4^−nX

g

C_n^mC_m^gC_m^m−g = 4⁻ⁿ(C_n^m)² car^P_gC_m^gC_m^m−g est le coefficient dex^m dans le produit (1 +x)^m(1 +x)^m. Pour n= 10, cette probabilit´e est 4⁻¹⁰(C₁₀⁵ )² = (63/256)² = 3969/65536.

2) Arriv´ee dans le carr´e k×kcentr´e sur la case d´epart

Je me limite au cas particulier k= 5, n = 10 car le cas g´en´eral ne se prˆete pas `a une formule de synth`ese comme les questions 1) et 3).

Pour que le quadruplet (g, d, h, b) fasse aboutir dans le carr´e 5×5, il faut

|g−d| ≤2,|h−b| ≤2.

Sig+d=m,h+b= 10−met la probabilit´e d’un quadruplet s’´ecrit 4⁻¹⁰C₁₀^mC_m^gC_10−m^h .

Soitf(m) =^P_gC_m^g avec la contrainte|g−d|=|2g−m| ≤2.

Pour m= 0 `a 10, on obtient la suitef(m) : 1, 2, 4, 6, 14, 20, 50, 70, 182, 252, 672.

Les tirages fournissantg+d=mdonnent la probabilit´e 4⁻¹⁰C₁₀^mf(m)f(10−m)

d’aboutir dans le carr´e sp´ecifi´e, et la table de f(m) permet d’obtenir p2 =^P_m4⁻¹⁰C₁₀^mf(m)f(10−m) = 4473/8192.

3) Arriv´ee dans la croix grecque

J’observe que le domaine constitu´e par les branches gauche et droite de la croix, compl´et´e par la case de d´epart, est caract´eris´e par la conditiong=d.

De mˆeme, les branches haute et basse plus la case de d´epart forment un domaine caract´eris´e par la conditionh=b.

La probabilit´e d’avoir g=dest n!4⁻ⁿ

g!g!h!n−2g−h! = 4⁻ⁿC_n^2gC_2g^g C_n−2g^h 1

Il n’y a pas de condition surh, donc^P_hC_n−2g^h = 2^n−2g. Il reste `a sommer eng l’expressionC_n^2gC_2g^g 2^−n−2g.

Pour cela j’observe que C_2g^g 2^−2g est la moyenne de cos^2gx sur une p´eriode.

La probabilit´e queg=dest la moyenne de P

gC_n^2gcos^2gx2⁻ⁿ, ou encore P

fC_n^fcos^fx2⁻ⁿ, car les valeurs impaires def ont une contribution nulle (le cosinus prenant des valeurs oppos´ees quandxaugmente d’une demi-p´eriode).

Or^P_fC_n^fcos^fx2⁻ⁿ= (1 + cosx)ⁿ2⁻ⁿ= cos²ⁿ(x/2), et cette expression a pour moyenneC_2nⁿ2⁻²ⁿ.

La probabilit´e que l’arriv´ee soit dans les branches gauche ou droite de la croix (centre exclu) est C_2nⁿ2⁻²ⁿ−p1 =p3/2, sip3 est la probabilit´e totale d’arriver dans la croix grecque (centre exclu) et p₁ la probabilit´e de retour

`

a la case d´epart, qui vaut 0 sin impair, 2⁻²ⁿ(C_n^m)² sin= 2m.

p₃=C_2nⁿ2¹⁻²ⁿ−2p₁

La probabilit´e totale d’arriver dans la croix grecque (centre inclus) est alors p3+p1=C_2nⁿ 2¹⁻²ⁿ−p1

Avecn= 10,p₃+p₁= 2⁻¹⁹C₂₀¹⁰−(2⁻¹⁰C₁₀⁵ )² = 38251/131072.

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