Devoir de math´ ematiques n
o11 - 1` ereS
20 mai 2010 - 2H
Exercice 1 (5 points)
Contrˆole qualit´e d’un m´edicament
Un laboratoire pharmaceutique effectue une ´etude statistique sur un m´edicament produit sous la forme de granules de 100mg. Chaque granule contient 0,024 % de mangan`ese, le reste ´etant constitu´e par un exc´epient `a base de lactose.
Le tableau suivant donne la diff´erence de masse, en mg, de chaque granule d’un lot test´e, par rapport au poids th´eorique.
diff´erence −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
effectif 3 7 14 29 70 75 80 42 39 33 8
1. (a) D´eterminer la valeur m´ediane, le 1er et le 3`eme Quartile de cette s´erie. (justifier) (b) Construire le diagramme en boˆıte de la s´erie.
2. (a) Calculer la moyennex et l’´ecart-type sde cette s´erie.
(b) On consid`ere qu’un lot est valable lorsque plus de 95 % des granules ont une diff´erence de masse comprise dans l’intervalle [x−2s;x+ 2s]. Ce lot est-il valable ?
3. Calculer la masse moyenne de mangan`ese par granule. Quel est l’´ecart-type correspondant ?
Exercice 2 (4 points)
Etudier le sens de variation des suites suivantes : 1.
(
un+1= 3u2n+un+ 1, n∈N u0 =−4
2.
(
un+1= un
3 u0 =−3
3. un= 23n×4n2,n∈N⋆. 4. un= −3n+ 1
5n+ 2 ,n∈N.
Exercice 3 (1,5 points)
La suite (un) d´efinie par : un= 52n+4,n∈Nest-elle g´eom´etrique ? Si oui, pr´eciser la raison et le premier terme.
Exercice 4 (4 points)
D´eterminer, si elle existe, la limite des suites suivantes : 1. un=n2+n×(−1)n,n∈N.
2. un= 1 +1 5 + 1
52 +· · ·+ + 1
5n,n∈N. 3. un= 2n+ 3n
2n−3n,n∈N.
Exercice 5 (5,5 points) On consid`ere la suite (un) d´efinie par :
u0 = 1
un+1= 5un−1
4un+ 1 , pour tout entier naturel n.
1. Calculeru1,u2, etu3; en d´eduire que (un) n’est ni arithm´etique, ni g´eom´etrique.
2. On consid`ere la suite (vn) d´efinie par : vn= 1
un−1
2
, pour tout entier naturel n.
(a) Calculerv0,v1,v2, et v3.
(b) D´emontrer que (vn) est une suite arithm´etique.
(c) Exprimervn en fonction de n.
(d) En d´eduire l’expression deun en fonction den.
(e) Etudier la limite des suites (vn) et (un).
