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o13 - Espace - TS 9 mai 2018 - 1h
Exercice 1 (5,5 pts) : Dans l’espace rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i ,−→
j ,−→ k).
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre r´eponse. Une r´eponse non justifi´ee ne sera pas prise en compte.
Affirmation 1 : (1 pt) Soient les points A(1 ; 2 ; 3), B(3 ; 0 ; 1) et C(−1 ; 0 ; 1).
Les trois points A, B, et C sont align´es.
Affirmation 2 : (1 pt) Soient les points E(2 ; 1 ; −3) et F(1 ; −1 ; 2).
Une repr´esentation param´etrique de la droite (EF) est donn´ee par :
x = 2t
y = −3 + 4t, z = 7−10t
t ∈R.
Affirmation 3 : (1,5 pt) Les droites (d) et (d′) ne sont pas coplanaires.
Une repr´esentation param´etrique de la droite (d) est donn´ee par :
x = 1 + 2t y = −2−3t, z = −1−t
t ∈R.
Une repr´esentation param´etrique de la droite (d′) est donn´ee par :
x = 2−t′ y = 1 + 2t′, z = t′
t′ ∈R.
Affirmation 4 : (2 pts)La droite D de repr´esentation param´etrique :
x = t+ 2 y = −2t, z = 3t−1
t ∈R.
est parall`ele au plan P (I,−→ u ,−→
v ) avec I(3; 0; 0), −→
u(1;−1; 1) et −→
v (0; 1;−2)
Exercice 2 (2,5 pts) : Soit le pav´e droit ABCDEF GH tel que AB = 6, AD= 4 et AE = 2.
I etJ sont les points tels que # – AI = 1
6
# – AB, # –
AJ = 1 4
# – AD, .
Tracer la section du pav´e ABCDEF GH par le plan (IJG). On ne demande pas de justification.
A B
D C
E F
H G
I J K
b
b
b
Exercice 3 (12 pts) : On consid`ere le t´etra`edre OABC; le rep`ere (O;−→
OA,−−→ OB,−→
OC) est orthonorm´e.
Soient A′, B′ etC′ les points tels que :
−−→ OA′ = 2
3
−→OA, −−→ OB′ = 1
2
−−→
OB et−−→ OC′ = 1
3
−→OC
Partie A :
1. Justifier que les droites (AC) et (A′C′) sont s´ecantes en un point R.
En d´eduire de mˆeme que les droites (AB) et (A′B′) sont s´ecantes en un pointS, et que les droites (BC) et (B′C′) sont s´ecantes en un point T.
2. Montrer que les points R,S et T sont align´es.
Partie B :
1. Donner les coordonn´ees de tous les points de la figure.
2. Donner une repr´esentation param´etrique des droites (AC) et (A′C′), puis les coordonn´ees du point R.
3. Donner une repr´esentation param´etrique des droites (AB) et (A′B′), puis les coordonn´ees du pointS. 4. Donner une repr´esentation param´etrique des droites (BC) et (B′C′), puis les coordonn´ees du point T. 5. Montrer que les points R,S et T sont align´es.
