SUJET STG-M-CFE-FRANCE-2008-avec correction

(1)

EXERCICE 1 4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.

Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse juste rapporte 1 point ; une réponse fausse enlève 0,25 point et l’absence de réponse

ne rapporte ni n’enlève de point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l’exercice est ramenée à 0.

Les deux premières questions se rapportent au tableau de variations ci-dessous.

On considère la fonction g définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 25].

On note g ′ la fonction dérivée de la fonction g . La fonction g admet le tableau de variations suivant :

1. La fonction g admet un minimum

a. qui vaut 1 pour x = 5 ; b. qui vaut 0 pour x = 5 ; c. qui vaut 1 pour x = 0.

2. Sur l’intervalle [0 ; 25 , l’équation g (x)= 3 admet :

a. aucune solution; b. une unique solution; c. deux solutions.

3. L’équation _e^³^x _₅admet pour solution dans R

4. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par ^{f x}^{( ) 10 3ln}^ ^ ^x On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f .

Pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[ ;

a. 3

'( ) 10

f x  x b. 7 '( )

f x  x ; c. 3 '( ) f x  x EXERCICE 2 5 points

Un club sportif multisports propose deux formules d’abonnement (et uniquement deux) ; la formule sport unique et la formule tous sports. Chaque adhérent ne souscrit qu’à une seule des deux formules.

Dans le fichier des adhérents, en fin de saison, on constate que 40 %d’entre eux ont choisi la formule sport unique. Parmi ceux qui ont choisi la formule sport unique, 85 %reçoivent une aide municipale, tandis que seulement 25 % des personnes qui ont choisi la formule tous sports bénéficient de l’aide municipale.

On choisit une fiche au hasard. On admet que chaque fiche a la même probabilité d’être choisie.

On considère les évènements suivants :

– U: « la fiche choisie est celle d’un adhérent ayant opté pour la formule sport unique » ; – T : « la fiche choisie est celle d’un adhérent ayant opté pour la formule tous sports » ; – A : « l’adhérent bénéficie de l’aide municipale ».

1. Déterminer :

a. ^{p U}^{( )}, la probabilité de l’évènement U.

b. ^{p T}^{( )}, la probabilité de l’évènement T.

c. p AU^{( )}, la probabilité, sachant U, de l’évènement A.

2. Calculer la probabilité que la fiche choisie soit celle d’un adhérent ayant opté pour la formule sport unique et bénéficiant de l’aide municipale.

3. Montrer que la probabilité de l’évènement A est égale à 0,49.

4. Déterminer p UA^{( )}, la probabilité, sachant A, de l’évènement U.

EXERCICE 3 4 points

Une entreprise ne peut être créée en France que selon deux formes juridiques, à savoir soit sous la forme d’une société, soit sous la forme d’une entreprise individuelle. Le tableau ci-dessous rend compte, selon la forme juridique choisie, de la création d’entreprises en France lors des années 2000 à 2006.

x 0 5 25 '( )

g x  0 + 0 ( )

f x

e 10 1

(2)

Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Pourcentage d’entreprises créées sous

La forme d’une société

39,3 40,1 40,7 41,9 44,4 45,6 47,1

Pourcentage d’entreprises créées sous La forme d’une entreprise individuelle

60,7 59,9 59,3 58,1 55,6 54,4 52,9

Source INSEE, répertoire des entreprises et des établissements (Sirene) 1. Déterminer le nombre d’entreprises créées sous la forme d’une société en 2001.

2. On construit le tableau ci-dessous des indices du nombre total d’entreprises en prenant pour indice de référence 100 en 2000.

Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Nombre total d’entreprises créées

270043 268619 268459 291986 318757 316534 321938

Indice 100 99,41 108,13 118,04 119,22

a. Déterminer l’indice arrondi au centième pour l’année 2001.

b. Déterminer l’indice arrondi au centième pour l’année 2005.

3. Déterminer le taux d’évolution moyen annuel de création d’entreprises de 2000 à 2006.

EXERCICE 4 7 points

Une entreprise a acheté une machine en 2000 pour une valeur de 50 000 € et a noté la valeur de cette machine sur le marché de l’occasion jusqu’en 2005. Les résultats sont notés dans le tableau suivant :

Année 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Rang de l’année^x_i 0 1 2 3 4 5

Valeur de la machine (en € ) ^y_i 50 000 42 000 36 000 32 000 26 500 22 000 Partie 1

Une représentation du nuage de points (xi ; yi ) est donnée en annexe, à rendre avec la copie.

1. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement de y en x, obtenue par La méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients à l’unité).

Pour l’étude qui suit, on retient comme ajustement affine la droite D d’équation ^y^{ }⁴⁴⁰^x^⁴⁸⁴⁰⁰. 2. Tracer la droite Dsur le graphique de l’annexe, à rendre avec la copie.

3. En supposant que ce modèle reste valable pour les cinq années à venir, prévoir une estimation de la valeur de cette machine en 2007, puis en 2010.

4. Commenter le dernier résultat.

Partie II

Le service comptable de cette entreprise remarque que pendant les années 2000 à 2005

la machine s’est dépréciée d’environ 15 % par an. Il suppose alors qu’à partir de 2005 la baisse annuelle sera de 15 %. Il pose v0 = 22 000 et note ^{( )}^v_n la suite donnant la valeur estimée, selon ce modèle, de la machine au bout de n années de fonctionnement à partir de 2005.

Ainsi, v1 est la valeur estimée de la machine en 2006.

1. a. Montrer que la suite (^{( )}^v_n est géométrique ; déterminer sa raison.

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, v_n 22000 (0,85) ⁿ.

2. Le tableau suivant est un extrait d’une feuille de calculs. II donne la valeur estimée ^v_nde la machine pour les années 2005 à 2011.

Le format de la colonne D est un format numérique à zéro décimale.

(3)

A B C D E

(4)

1 année valeur réel de la machine Rang de l'année à partir de 2005 valeur estimée de la machine

2 2000 50000

3 201 42000

4 2002 36000

5 2003 32000

6 2004 26500

7 2005 22000 0 22000 0,85

8 2006 1 18700

9 2007 2 15895

10 2008 3 13510,75

11 2009 4 11484,14

12 2010 5 9761,52

13 2011 6 8297,29

14 2012 7 7052,7

15 2013 8 5994,79

16 2014 9 5095,57

17 2015 10 4331,24

18 2016 11 3681,55

Donner une formule qui, entrée dans la cellule D8, permet, par recopie vers le bas, d’obtenir la plage de cellules D8 :D13.

(5)

4 6 8 10 12 14 16 2E4

3E4 4E4 5E4 6E4

-1E4

0 2

1E4

x y

Corrigé STG-CFE-MERCATIQUE 2008 Exercice 1

1. Réponse a. D’après le tableau de variation :la fonction g admet un minimum qui vaut 1 pour x5 2. Réponse b. Sur l’intervalle [0;5] ( ) 3g x  , puisque ^g⁽⁰⁾^{ }^e ³ et ^g^{(5) 1 3}^{ } , et la fonction g est strictement décroissante sur l’intervalle ^[0;5]donc l’équation ^{g x}^{( ) 3}^

n’admet pas une solution sur l’intervalle ^[0;5].

Sur l’intervalle ^{[5; 25]} : ¹^^{g x}^{( ) 10}^ , et la fonction g est strictement croissante sur l’intervalle ^{[5; 25]}donc l’équation ^{g x}^{( ) 3}^ admet une solution unique sur l’intervalle ^{[5; 25]}.

3. Réponse a. L’équation _e^³^x _₅ ³ ln 5

ln ln 5 3 ln ln 5 (ln 1)

3

e^ x x e x e

         .

4. Réponse c. ^{f x}^{( ) 10 3ln}^ ^ ^x . ^f est dérivable sur ^]0;^^[ et 3 1 '( ) ((ln ) ' )

f x x

x x

   .

Exercice 2

x 0 5 25 '( )

g x 0 + 0

( ) f x

e 10 1

(6)

1.

a. Dans le fichier des adhérents , en fin de saison , on constate que 40 % d’entre eux ont choisi la formule sport unique donc : 40

( ) 0, 4

p U 100 b. Comme il n’y a que deux formules d’abonnement : La formule sport unique et la formule tous sports les deux événements sont disjoints,

on a donc : 40

( ) 1 ( ) 1 1 0, 4 0,6

p T  p U  100    .

c. Parmi ceux qui ont choisi la formule sport unique , 85 % reçoivent une aide municipale , donc

85

( ) 0,85

U 100

p A   .

2. UAest l’événement « la fiche choisi est celle d’un adhérent ayant opté pour la formule sport

unique et bénéficiant de l’aide municipale ». donc on a : p A U⁽  ⁾ p U^{( )}p_U( ) 0, 4 0,85 0,34A    . 3. U et Tforment une partition disjointe des formules de sports proposées, donc en appliquant la

Formule des probabilités totales on a :^A^⁽^{A U}^ ^{) (}^ ^{A T}^ ⁾, donc ^{p A}^{( )}^ ^{p A U}⁽ ^ ⁾^ ^{p A T}⁽ ^ ⁾ Or 25 % des personnes qui ont choisit la formule tout sport bénéficiant de l’aide municipale , donc on a : p A T⁽  ⁾ p T^{( )}p A_T( ) 0, 6 0, 25 0,15   .et p A^{( )} p A U⁽  ⁾p A T⁽  ) 0,34 0,15 0, 49   . 4. D’après la formule de nœuds on a : ( ) 0,34 34

( ) 0,69

( ) 0, 49 49

A p A U

p U p A

     au centième près.

Exercice 3

1. En 2001 , il y avait 40,1 % de 268619 entreprises crées qui se sont crées sous la forme d’une société Donc 268619 40,1

107 716 100

  , donc il y a eu 107 716 entreprises crées sous la forme d’une société.

2. a. pour l’année 2001, l’indice sera : 100 268619

99, 47 270043

  au centième près .

b. pour l’année 2005, l’indice sera : 100 316534

117, 22 270043

  au centième près .

3. Soit ^t_amle taux annuel moyen ( en % ) .

₂₀₀₀_¹^^tâm ₂₀₀₁_¹^^tâm ₂₀₀₂_¹^^tâm ₂₀₀₃_¹^^tâm ₂₀₀₄_¹^^tâm ₂₀₀₅_¹^^tâm ₂₀₀₆.

20001^^T2006, Entre 2000 et 2006, l’évolution globale est de 19,22% de hausse (119,22 – 100).

Pour trouver la hausse moyenne annuelle t, on doit donc résoudre100 (1 t_am)⁶  1 T 119, 22

⁶ 119, 22

(1 )

am 100

t  , c’est-à-dire

119, 22 1/ 6

1t^am  100 

  ou encore :

119, 22 1/ 6

1 0,03%

am 100

t    

 

au centième près . « 2.97% de hausse annuelle moyenne ».

Exercice 4 partie I

1. à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement de ^yen^x, obtenue par la méthode des moindres carrés est : ^y^{ }⁵⁴⁴³^x^⁴⁸³⁵⁷ (coefficients arrondis à l’unité).

U

T

A

A A 0,40 A

0,85 0,15 0,25 0,75 0,60

(7)

2. On retient, d’après l’exercice, l’équation ^y^{ }⁵⁴⁴⁰^x^⁴⁸⁴⁰⁰(cohérent par rapport à notre résultat).

Pour tracer D , il suffit de déterminer deux points de cette droite :

_ pour x = 0, y 5440 0 48400 48400   donc A( 0 ; 48400 ) est sur D .

_ pour x = 10, y 5440 10 48400   54400 48400  6000donc B(10 ; 6000 ) est sur D . 3.Le rang de l’année 2007 est : 7, donc pour x7on a : y 5440 7 48357   38080 48400 10320  Le rang de l’année 2010est :10, donc pourx10on a :y 5440 10 48357   54400 48400  6000 Une estimation de la valeur de cette machine en 2007 est de 10320 € et en 2010 de 6000€

4. Evidemment, ce dernier résultat n’est pas valable. Il est clair que ce modèle est incorrect pour de grandes valeurs de x, puisque le prix obtenu sera négatif.

En 2010 l’estimation de la machine est négative , ce qu’il signifie que la machine coûtera de l’argent plutôt que d’emporter.

Partie II

1. a on suppose qu’à partir de 2005 la baisse annuelle de la valeur de la machine est de 15 %.

Donc ₁ 15 15 85

100 1 100 100

n n n n n

u _ u u  u   u  

    , donc u_n_₁0,85u_n.

La suite ^{( )}^v_n est une suite géométrique de premier terme ^v₀ ^²²⁰⁰⁰ et de raison ^b^^0,85. b. Comme ^{( )}^v_n est une suite géométrique de premier terme ^v₀ ^²²⁰⁰⁰ et de raison ^b^^0,85. On a donc v_n v₀( )b ⁿ, par conséquent : v_n 22000 (0,85) ⁿ.

2. La valeur de la cellule D8 correspond à v₁v cellule₀( D 7) 0,85 .

La formule qui , entrée dans la cellule D8 , permet , par recopie vers le bas , d’obtenir la plage De cellule D8 :D13 est ^^D^{7 *0,85}

3. L a machine aura une valeur inférieure à 5000 € lorsque ^v_n ^⁵⁰⁰⁰.

Première méthode : 5

5000 22000 (0,85) 5000 (0,85) 22

n n

vn      

ln 5

5 5 22

(0,85) ln 0,85 ln

22 22 ln(0,85)

n  n   n puisque ^{ln(0,85) 0}^

Donc n9,11.

Selon ce modèle, à partir de l’année 2005+10 soit 2015, la machine aura une valeur inférieure à 5000 €.

Deuxième méthode

5000 22000 (0,85) 5000 (0,85) 5 22

n n

vn      

Avec la calculatrice : 5

0, 227

22 et (0,85)⁹ 0, 231 0, 227 et (0,85)¹⁰ 0,198 0, 227

Selon ce modèle, à partir de l’année 2005+10 soit 2015, la machine aura une valeur inférieure à 5000 €.

Partie I

(8)

valeur estimée d'une machine

y = -5440 x + 48400

4 6 8 10 12

30000 40000 50000

60000

0 2

20000

10000

Rang de l'année (D)

Partie II