Université Pierre et Marie Curie
LM115 Année 2012-2013
Semestre 2
Analyse 2 - Suites et intégrales Travaux Dirigés 6 - fonctions
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Limites, continuité en un point
Exercice 1 (Questions de cours)
1. Soient x0 ∈R, b ∈Rtel que b > x0, etf une fonction dénie sur ]x0, b[. Écrire avec des quanticateurs quef admet une limite à droite valantl enx0.
2. Soient f une fonction dénie sur un intervalleI etaun élément deI. (a) Écrire avec des quanticateurs quef est continue ena.
(b) Écrire à l'aide de suites quef est continue ena. Exercice 2
Soitf une fonction dénie surI, intervalle deReta∈I. Traduire le fait quef est discontinue ena:
1. en terme de voisinages 2. avec les suites
Exercice 3
Soitf une fonction dénie sur un intervalleIdeR.
1. Montrer que sif est continue ena∈I alorsf est bornée dans un voisinage dea.
2. Montrer que si f est continue enaet sif(a)6= 0 alorsf garde un signe constant dans un voisinage dea.
Exercice 4
Soient f et g deux applications dénies sur un intervalleI et continues en un pointx0∈I. 1. On suppose que f(x0)> g(x0). Montrer qu'il existe un voisinage de x0 sur lequel f est
strictement plus grande queg.
2. L'énoncé est-il encore vrai si l'on remplace les inégalités strictes par des inégalités larges ? Justier.
Exercice 5
Etudier les limites suivantes : 1. xx−12−1 en 1.
2. x2√−5x+4x−2 en 4.
3. xE x1en 0.
4. 5xx33+x−x22+5+2 en+∞
5. sin(xx 2) en∞et en0. 6. √1+x−x√1−x en0. 7. x+ln(x)x−√x en+∞. 8. ln(x) ln(ln(x))en1. 1
Exercice 6
Soitf une fonction continue en0telle que :
∀x∈R, f(2x) =f(x).
1. Soitx∈R. Montrer quef(x) =f(2xk)pour toutk∈N.
2. En déduire quef(x) =f(0)pour toutx. Exercice 7 (Équation fontionnelle)
Soitf une fonction deRdansRvériant la relation :
∀(x, y)∈R2, f(x+y) =f(x) +f(y).
1. Calculerf(0)et montrer quef est impaire.
2. Calculerf surN, puis surZet enn surQen fonction def(1).
3. On suppose que f est continue en0. Montrer que les seules solutions de ce problème sont de la forme f(x) =axoùa∈R.
Exercice 8
Déterminer l'ensemble des fonctions réelles dénies sur R, continues en0et vériant :
∀x∈R f(x) +f(2x) = 0 Exercice 9
Peut-on prolongerf :x7→sin1x par continuité en 0 ? Exercice 10
Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité sur R?
1. f : R∗ −→ R
x 7→ sinxsin1x
2. g : R∗ −→ R
x 7→ 1xln(ex+e2−x) 3. h : R\{−1,1} −→ R
x 7→ 1−x1 −(1−x)2 2 Exercice 11
Déterminera,b etcpour que les fonctions suivantes soient continues surR: 1. f(x) =
5 si x <−2 ax+b si −2≤x <1
lnx si x≥1
2. g(x) =
(x−1)e2/x si x <0 3ex−c si x≥0
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Continuité
Exercice 12 (Questions de cours - continuité)
1. Soit f une fonction dénie et continue sur un intervalle fermé borné [a, b], avec a < b et a, b ∈ R. L'ensemble F = {f(x), x ∈ [a, b]} admet-il un maximum ? F admet-il un minimum ?
2. Énoncer le théorème des valeurs intermédiaires.
Exercice 13
Soit f une fonction dénie et continue sur [0,+∞[, et telle quef(0) = limx→∞f(x) = 0. Montrer quef admet un maximum.
Exercice 14
Étudier la continuité des fonctions suivantes : 1. f(x) =
1 si x∈Q
0 si x /∈Q 2. f(x) = E(x) 3. f(x) =
1/x si x∈R∗ 36 si x= 0 Exercice 15
Soitf une fonction de[a, b]dansR, aveca∈R,b∈Ret a < b.
1. On suppose f continue. Montrer que f est strictement monotone si et seulement si f est injective.
2. On suppose f croissante. Montrer quef est continue si et seulement si f est surjective de [a, b] dans[f(a), f(b)].
Exercice 16
Soitf une fonction continue sur[0,1]telle quef(0) =f(1). Soitgla fonction dénie par g(x) =
f(2x) si x∈[0,1/2]
f(2x−1) si x∈]1/2,1].
Montrer queg est dénie et continue sur[0,1]. Exercice 17
Soient a, bdes réels avec a < b. Soitf une application continue de[a, b]dans[a, b]. Montrer quef admet au moins un point xe dans[a, b].
Exercice 18
Un cycliste parcourt 20 km en une heure. Montrer qu'il existe un intervalle de temps d'une demi-heure lors duquel il parcourt exactement 10 km.
Exercice 19
SoitD une partie dense deR.
1. Soitf :R−→Rcontinue telle quef(x) = 0pour toutx∈D. Montrer quef = 0.
2. Soient f : R−→ R et g : R−→ R deux fonctions continues telle que f(x) = g(x), pour tout x∈D. Montrer quef =g.
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Exercice 20
Soientf etgdeux fonctions continues surRtelle que|f|=|g|. On suppose quef ne s'annule pas surR. Montrer que f =g ouf =−g.
Exercice 21
Soitf une fonction réelle, dénie surR, continue en 0 et vériant
∀(x, y)∈R2, f(x+y) =f(x)f(y).
Montrer quef est continue surR.
Rappels sur la dérivabilité
Exercice 22 (Questions de cours - dérivabilité)
1. Soientgune fonction dénie sur un intervelle ouvertI, etx0∈I. Rappeler la dénition de la dérivabilité deg enx0.
2. Énoncer le théorème des accroissements nis.
Exercice 23
Soitf une fonction dénie surRtelle que pour tout(x, y)∈R2, on ait :
|f(x)−f(y)| ≤ |x−y|2.Montrer quef est constante.
Exercice 24 (Théorème de Darboux)
SoitI un intervalle deRetf une fonction deI dansRdérivable surI.
1. Soit(a, b)∈I2 tel quea < b. On suppose quef0(a)<0et f0(b)>0. Montrer qu'il existe c∈]a, b[tel que f0(c) = 0.
2. En déduire quef0(I)est un intervalle, i.ef0 vérie le théorème des valeurs intermédiaires.
Exercice 25
Soitf une fonction réelle non nulle dénie surR+dérivable en1, telle quef(xy) =f(x)f(y). 1. Démontrer quef(1) = 1
2. Soitx0∈R∗+ et h∈Rtelle quex0+h >0, démontrer que f(x0+h)−f(x0) =f(x0)[f(1 + h
x0
)−f(1)]
3. Démontrer quef est dérivable en tout point deR∗+et que l'on a : ff(x)0(x) =f0x(1), pour tout x >0.
Exercice 26
Soitf l'application dénie sur son ensemble de dénitionDparf(x) = √ln(1+x)
1+x−1. 1. Déterminer l'ensemble de dénitionDdef.
2. Rappeler les développements limités à l'ordre 1 au voisinge de 0 de x 7→ ln(1 +x) et x7→√
1 +x.
3. Montrer quef admet une limite en0.
4. Existe-t-il un nombre réelltel que l'applicationgdénie sur[0,+∞[parg(x) =f(x)pour x >0et g(0) =l soit continue sur[0,+∞[?
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