D 331.L’expédition au grand air
Solution proposée par Michel Lafond
Si ça se passe au voisinage du pôle Nord :
On a ci-dessous une fausse solution car la fin du dernier tronçon n’est pas effectuée cap plein nord.
On a une bonne solution ci-dessous (figure 2, approximative) :
Il est clair que le dernier tronçon a pour longueur 20 km, la réponse étant valable dans le plan comme sur la surface d’une sphère. On peut calculer (ci-dessous) les dimensions exactes si on suppose la figure plane (Figure 3) : L’erreur commise en assimilant la sphère terrestre à un plan est ici négligeable.
10 km
10 km
10 km
10 km
20 km
x + 10
Figure 3 Pôle Nord
10 km
10 km
10 km
10 km
20 km Figure 2
10 km Campement
Pôle Nord
Figure 1 Campement
En nommant x le rayon du premier tronçon, , , les trois angles non orientés en radians, on a par hypothèse, le km étant l’unité :
x = 10, (x + 10) =10, (x + 20) = 10, et + + = 2.
On tire facilement x = 10 / puis = / (1 + ) puis = / (1 + 2) qu’on remplace dans la dernière équation qui se simplifie en 2 3 + 2 2 (3 – 2) + 3 (1 – 2) – 2 = 0.
On trouve : 4,995 0,833 0,455 correspondant en degrés à :
286° 48° 26°.
Le rayon de premier tronçon vaut x = 10 / 2,0018… c’est un tout petit peu plus de 2 km.
La latitude du campement correspondant à la distance de x km entre le pôle nord et le campement le long du méridien de Greenwich, est donc 89° 58’ 55’’ Nord
Si ça se passe au voisinage du pôle Sud, on a une solution symétrique (Figure 4):
Les dimensions sont les mêmes que dans la figure 2, mais la latitude du campement correspondant à la distance de x + 20 km entre le pôle sud et le campement le long du méridien de Greenwich, est cette fois 89° 48’ 07’’ Sud
Pôle Sud 10 km
10 km
10 km
10 km
20 km Figure 4
10 km
Campement
