ECS1
Exercices: Étude globale d'une fonction sur un intervalle
Exercice 1. Montrer que l'ensemble P des applications paires de R dans Rest un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des applications deRdansR.
Exercice 2. Soitf la fonction dénie pourx >0parf(x) = x− bxc
√x . La fonctionf est-elle majorée ? minorée ? Exercice 3. Soitf une application continue et périodique de périodeT ∈R∗+ surR. Montrer quef est bornée surR.
Exercice 4. La fonctionϕdénie par (
ϕ(t) = (sint) ln(1 +t)
t2 pour t6= 0
ϕ(0) = 1 est-elle continue sur]−1; +∞[?
Exercice 5. Pour chacune des fonctionsf suivantes, étudier la continuité def sur son ensemble de dénition : 1. f(x) = x+ 1
x2+ 1 pour x60 etf(x) = 1 + ln(x+ 1)pourx >0. 2. f(x) =xbxc.
3. f(x) =x2 sibxcest un nombre impair etf(x) =xsibxcest un nombre pair, pourx∈]−1; +4[. 4. f(x) = sinx−x
x pourxnon nul etf(0) = 0.
Exercice 6. Soitf la fonction dénie surRpar :∀x∈R,f(x) =e2x−5. 1. Déterminer l'intervalleJ deRtel quef soit une bijection de RsurJ. 2. Donner l'expression algébrique def−1(x)en fonction dex, pour toutx∈J. Exercice 7. Soitf la fonction dénie surRpar :∀x∈R,f(x) = x
1 +|x|. 1. Déterminer l'intervalleJ deRtel quef soit une bijection de RsurJ. 2. Donner l'expression algébrique def−1(x)en fonction dex, pour toutx∈J. Exercice 8. Montrer que l'équatione−x2 =xadmet une unique solution surR∗+.
Exercice 9. Soitf continue de[0,1]dans[0,1]. Montrer qu'il existex∈[0,1]tel que f(x) =x.
Exercice 10 (Histoire d'eau). Un robinet laisse échapper sans discontinuité de l'eau dans un bassin de 120 litres, initialement vide. Le débit d'eau peut cependant varier au cours du temps. Le bassin est rempli au bout d'une heure. Montrer qu'il existe un intervalle de temps d'exactement une demi-heure pendant lequel il s'écoule exactement 60 litres d'eau.
Exercice 11. Soitf une fonction continue sur l'intervalle[0; 1]et telle quef(0) =f(1). 1. Montrer qu'il existe une valeur dec∈[0; 1]telle quef c+12
=f(c).
2. Pour toutn∈N,n>2, on considère la fonctiongn dénie sur un intervalle à déterminer par gn(x) =f
x+1
n
−f(x)
et on poseHn=
n−1
X
k=0
gn k
n
. (a) Soitn>2, calculerHn.
(b) En déduire l'existence, pour toutn>2, d'un nombre réelcn ∈[0; 1]tel quef
cn+ 1 n
=f(cn).
