Int´ egration motivique
Michel Raibaut
Laboratoire J-A Dieudonn´e, Universit´e Nice Sophia Antipolis, Nice
R´esum´e
L’int´egration motivique a ´et´e ´elabor´e par Kontsevich pour montrer que deux vari´et´es de Calabi-Yau birationnellement ´equivalentes ont les mˆemes nombres de Hodge. Ce probl`eme provient de la th´eorie des cordes et a tout d’abord ´et´e r´esolu par Batyrev par des m´ethodes p-adiques. Kontsevich cr´ea la mesure motivique sur l’espace des arcs d’une vari´et´e alg´ebrique, `a valeurs dans le groupe de Grothendieck des vari´et´es alg´ebriques. La th´eorie a par la suite ´et´e consid´erablement d´evelopp´ee par Denef et Loeser.
L’espace des arcs L(X )
Soit X une vari´et´e alg´ebrique de Cn par exemple :
X = {(x1, ..., xn) ∈ Cn | Pi(x1, ..., xn) = 0, i = {1, .., k}, Pi ∈ C[X1, ..., Xn]} . Pour une C-alg`ebre A (comme les s´eries formelles C[[t]] ou les s´eries tronqu´ees C[[t]] \ (tk+1)) on note
X(A) = {(x1, ..., xn) ∈ An | Pi(x1, ..., xn) = 0, i = {1, .., k}} , ce sont les points de X `a coordonn´ees dans A.
L’espace des arcs de X, L(X), est une vari´et´e alg´ebrique sur C d´efinie par :
L(X) = {points de X `a coordonn´ees dans C[[t]]}. L’espace des arcs tronqu´es `a l’ordre k, Lk(X), est une vari´et´e alg´ebrique sur C d´efinie par :
Lk(X) =
points de X `a coordonn´ees dans C[t]
(tk+1)
. Des exemples :
• X = {(x, y) ∈ C2 | y2 − x3 = 0}
L0(X) = n
(a0, b0) ∈ C2 | b20 = a30o L1(X) = n
(a0 + a1t, b0 + b1t) | (b0 + b1t)2 = (a0 + a1t)3 mod t2o L(X) =
∞
X
k=0
aktk,
∞
X
k=0
bktk
|
∞
X
k=0
bktk
2
=
∞
X
k=0
aktk
3
.
• X = Cn
Lk(X) = n
(a(1)0 + ... + a(1)k tk, ..., a(n)0 + ... + a(n)k tk)o
≃ C(k+1)n L(X) = n
(a(1)0 + a(1)1 t + .., ..., a(n)0 + a(n)1 t + ...)o
≃ C[[t]]n. On a toujours L0(X) = X et dans le cas lisse, L1(X) = T X le fibr´e tangent `a X.
On notera πn le morphisme de troncation de L(X) `a Ln(X).
Certaines parties de L(X) formeront les mesurables motiviques.
L’anneau des valeurs de la mesure : l’anneau de Grothendieck des vari´et´es
On note V arC la cat´egorie des vari´et´es alg´ebriques sur C.
L’anneau de Grothendieck des vari´et´es est engendr´e par les symboles [X] avec les relations :
“Si X est isomorphe `a Y alors [X] = [Y ].“
“Si Y est un ferm´e de X alors [X \ Y ] + [Y ] = [X].“
“[X ×C Y ] = [X][Y ].“
On note
1 = [point] et L = [C].
Par la suite on travaille dans l’anneau localis´e en L,
MC = K0 (V arC) 1
L
.
Invariants additifs
On appelle invariant additif toute fonction ϕ : V arC → A o`u A est un anneau, telle que
“Si X est isomorphe `a Y alors ϕ(X) = ϕ(Y ).“
“Si Y est un ferm´e de X alors ϕ(X \ Y ) + ϕ(Y ) = ϕ(X).“
La caract´eristique d’Euler et les nombres de Hodge hp,q cit´es plus haut sont des invariants additifs.
Le groupe de Grothendieck v´erifie la propri´et´e universelle suivante :
“Si [X] = [Y ] alors pour tout invariant additif ϕ on a ϕ(X) = ϕ(Y )“
“En particulier si [X] = [Y ] alors h(p,q)(X) = h(p,q)(Y )“
La mesure motivique
Les vari´et´es de Calabi-Yau ´etant en particulier des vari´et´es lisses, on se restreint ici aux vari´et´es lisses.
Soit X une vari´et´e lisse sur C de dimension d.
On dit qu’une partie A de L(X) est mesurable si et seulement si A est de la forme πn−1(C) o`u C est une partie constructible de Ln(X).
Les parties mesurables forment une tribu et v´erifient la propri´et´e fondamentale :
pour tout n ≥ m, [πm(A)]
Lmd = [C]Lnd. On pose alors
µ(A) := [C]Lnd.
“µ est par d´efinition la mesure motivique sur L(X).“
On d´efinit alors l’int´egrale motivique par :
soit A un mesurable et α : A → Z ∪ {∞} telle que pour tout n, α−1(n) soit mesurable, Z
L(X)
L−αdµ = X
n∈Z
µ(α−1(n))L−n. Exemple fondamental :
Dans notre cas X est lisse, on peut alors montrer que L(X) = π0−1(L0(X)) et donc Z
L(X)
1dµ = µ(L(X)) = [L0(X)] = [X].
Le th´eor`eme de Kontsevich
Th´eor`eme de Kontsevich :
“Si X et Y sont deux vari´et´es de Calabi-Yau birationnellement ´equivalentes alors [X] = [Y ].“
Principe de la preuve : Les vari´et´es de Calabi-Yau sont en particulier lisses donc [X] = R
L(X) 1dµ et [Y ] = R
L(Y ) 1dµ.
Il existe une formule de changement de variables qui avec l’hypoth`ese Calabi-Yau entraˆıne R
L(X) 1dµ = R
L(Y ) 1dµ donc [X] = [Y ].
References
[DL01] Jan Denef and Fran¸cois Loeser. Geometry on arc spaces of algebraic varieties. In European Congress of Mathematics, Vol. I (Barcelona, 2000), volume 201 of Progr. Math., pages 327–348. Birkh¨auser, Basel, 2001.
