Exercice 2 a) Résoudre l'équation diérentielley00−3y0+ 2y= 0 b) Déterminer une solution particulière de l'équation diérentielley00−3y0+ 2y=xe3x

Université Claude Bernard - Lyon 1 Semestre de printemps 2018-2019

Fondamentaux des Mathématiques 2 21 juin 2019

Examen nal session 2 du 21 juin 2019 10h-12h

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les réponses aux exercices doivent donc être clairement rédigées. Le détail des calculs doit apparaître sur la copie. La présentation doit être la plus soignée possible.

Enn, si vous pensez avoir repéré une erreur d'énoncé, signalez-le sur la copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez prises.

Exercice 1 Soit la matriceN =





0 1 0 0 0 1 0 0 0



etA= 4I+N. a) CalculerNⁿ pour toutn∈N.

b) En déduireAⁿ pour toutn∈N. Exercice 2

a) Résoudre l'équation diérentielley⁰⁰−3y⁰+ 2y= 0

b) Déterminer une solution particulière de l'équation diérentielley⁰⁰−3y⁰+ 2y=xe^3x. c) Déterminer une solution particulière de l'équation diérentielley⁰⁰−3y⁰+ 2y=e^2x.

d) Déterminer la solution générale de l'équation diérentielle y⁰⁰−3y⁰+ 2y = xe^3x+e^2x. Parmi ces solutions, déterminer celle qui vériey(0) =y⁰(0) = 0

Exercice 3 Soitβ = (e1, e2, e3, e4)la base canonique deR⁴

Soituun endomorphisme deR⁴ dont la matrice dans la base canonique est :

A=









2 0 0 −1 2 1 0 −2 3 0 1 −3 2 0 0 −1









On noteE1= ker(u−id). a) CalculerA², en déduireu².

b) Quel est le rang de u? En déduire la dimension dekeru.

c) La matriceAest-elle inversible (si oui donner l'inverse deA sinon justier votre réponse) ? d) Déterminer une base(v1, v2, v3)deE1. Quelle est la dimension deE1?

e) Montrer queE1⊕keru=R⁴

f) Soitv4 un vecteur non nul dekeru. Montrer que(v1, v2, v3, v4)est une base deR⁴ Donner la matrice deudans cette base.

Exercice 4 Soitf la fonction dénie surRpar : f(x) =Rx

0 e^−tln(1 +e^t)dt a) Calculerf⁰(x)pour toutxréel.

b) Calculerf(0),f⁰(0)etf⁰⁰(0)et en déduire le développement limité def à l'ordre2 en0. c) Déterminer la position du graphe def par rapport à sa tangente en0.

d) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle : 1 y(y+ 1) et en déduireRe^x

1 dy y(y+1).

1

e) Eectuer le changement de variablesy=e^tdans l'intégrale f(x) =

Z x 0

e^−tln(1 +e^t)dt .

f) Faire une intégration par parties dans l'intégrale obtenue à la question précédente.

g) Calculerf(x).

2