1 “a, b, c”, conducteur, discriminant. par Marc HINDRY. Consid´erons les trois conjectures d´esormais “classiques” : 1˚ conjecture “a, b, c” (Oesterl´e-Masser) ∀
> 0,∃C

“a, b, c”, conducteur, discriminant.

par Marc HINDRY.

Consid´erons les trois conjectures d´esormais “classiques” : 1˚ conjecture “a, b, c” (Oesterl´e-Masser)

∀ >0,∃C > 0 telle que si a, b, c sont des entiers premiers entre eux v´erifiant a+b+c = 0 alors on a : max (|a|,|b|,|c|) ≤ CR(abc)¹⁺.

Ici R(n) d´esigne le produit des facteurs premiers de n : R(n) = Q

`|n`.

Remarque : On peut bien sˆur formuler une conjecture un peu moins optimiste en rempla¸cant l’exposant 1 + par δ + avec δ ≥ 1.

2˚ conjecture (Frey)

∃δ ≥ 1 tel que ∀ > 0,∃C > 0 telle que si E est une courbe elliptique semi-stable d´efinie sur Q on ait h(j_E) ≤ (6δ+) log(N_E) +C.

Ici hd´esigne la hauteur usuelle (si x = p/q est une fraction sous forme r´eduite h(x) = log max(|p|,|q|); j_E et N_E d´esignent respectivement l’invariant et le conducteur de la courbe E.

Remarque : Nous ´etudierons surtout cette conjecture sous sa meilleure forme possible i.e. avec δ = 1 (Cf le paragraphe 1). Signalons que Frey propose une conjecture un peu plus g´en´erale : on n’exige seulement que les courbes soient semi-stables hors d’un ensemble fini fix´e de places (la constante C d´ependant alors de cet ensemble fini).

3˚ conjecture (Szpiro)

∀ > 0,∃C > 0 telle que pour toute courbe elliptique semi-stable d´efinie sur Q on ait : log ∆E ≤ (6 +) log(NE) +C.

Ici ∆E d´esigne la valeur absolue du discriminant minimal de E sur Z.

Nous exposons d’abord une construction de Masser [Ma] montrant qu’on ne peut enlever le terme dans ces trois conjectures (voir aussi [St-Ti]). Puis nous discutons l’´equivalence de ces conjectures et quelques unes de leurs cons´equences. C’est l’aspect le plus fascinant : l’existence d’un dictionnaire entre l’analyse des courbes elliptiques (sur Q) et des ´enonc´es arithm´etiques

´el´ementaires (ces id´ees sont pour une bonne part dues `a Frey [Fr] et sont ex- pos´ees en partie dans [Vo]). Nous terminons en comparant diverses notions de hauteurs et en traduisant la conjecture de Frey en terme de hauteur de Faltings.

Signalons que l’on peut bien sˆur formuler des ´enonc´es analogues sur un corps de nombres; nous nous restreindrons toutefois (arbitrairement) au cas du corps des rationnels. On peut aussi consid´erer le cas des corps de fonctions;

convenablement formul´ees, toutes ces conjectures sont alors vraies (voir [Ma- son]). Notons aussi que l’expos´e n’a aucune pr´etention d’exhaustivit´e sur les cons´equences de la conjecture a, b, c; par exemple pour une direction non abord´ee ici on pourra consulter [Lgv].

Je remercie Frey, Oesterl´e et Szpiro pour d’utiles commentaires et suggestions.

1– “Optimalit´e” des conjectures.

Th´eor`eme (Masser) : pour tout m il existe des entiers a, b, c premiers entre eux tels que : a+b+c = 0 et |abc| ≥ R(abc)³(logR(abc))^m.

Remarques : On trouvera dans [St-Ti] une construction que l’on peut adapter pour obtenir a, b, c avec |abc| ≥R(abc)³f (R(abc)) o`uf est la fonction f(x) = exp c₀√

logx/log logx

croissant beaucoup plus vite que (logx)^m . . .mais moins vite que x (leur r´esultat est exprim´e avec max (|a|,|b|,|c|,)).

L’id´ee de la preuve est de choisir a et b avec des facteurs premiers fix´es et tels que a+b soit tr`es divisible par 2; la construction donne donc abc hautement divisible par 2 et la courbe de Frey associ´ee (Cf le § 2) est semistable et l’on v´erifie sans peine que :

h(jE) ≥ log ∆E ≥ 6 log(NE) + 6mlog log(2NE)−8 log 2.

Preuve : Soit un entier k ≥ (m + 4)/3 et soient p1, . . . , pk les k premiers nombres premiers impairs, on choisit un param`etre X suffisamment grand et on d´efinit P = {n = p^a₁¹ . . . p_k^ak tels que n≤ X}. on d´esigne par C1, C2. . . des constantes pouvant d´ependre de k mais pas de X assez grand.

On voit ais´ement que N = cardP ≥ C1(logX)^k. On d´etermine deux entiers e et t par les in´egalit´es : X < 2^t ≤ 2X et N/2 ≤ t2^e < N. Par le principe des tiroirs il existe une classe de congruence modulo 2^e qui contientt+ 1 ´el´ements de P :

0 < x₀ < . . . < x_t ≤ X avec x_i ∈ P et x_i − x_i−1 = y_i = 2^ez_i. On pose d_i = pgcd(x_i, x_i1, y_i) et a = x_i/d_i b = x_i−1/d_i et c = −y_i/d_i et l’on suppose l’in´egalit´e du th´eor`eme fausse pour ce triplet d’entiers. Posons R = R(x_ix_i−1y_i/d³_i), alors :

R ≤ R(x_ix_i−1y_i/d_i) ≤ 2p₁. . . p_k|y_i|/d_i2^e ≤ 2p₁. . . p_kX.

D’o`u (si X grand) log 2R ≤ 2 logX et l’in´egalit´e contredisant le th´eor`eme implique :

x_ix_i−1y_i/d³_i

≤ C₂|y_i|³(2 logX)^m/d³_i2^3e ≤ C₂ y_ix²_i

(2 logX)^m/d³_i2^3e. D’o`u l’on d´eduit : |x_i−1| ≤ |x_i|³C₂(2 logX)^m/2^3e ≤ |x_i|C₃(logX)^m−3k+3. Donc pour X assez grand |xi−1| ≤ |xi|/2, donc 1 ≤ x0 ≤ 2^−txt ≤ 2^−tX <

1, d’o`u la contradiction cherch´ee (typique des techniques d’approximation diophantienne).

Dans une autre direction Stewart et Tijdeman [St-Ti] montrent que l’on a l’in´egalit´e (h´elas assez faible) : log max (|a|,|b|,|c|) ≤ CR(abc)¹⁵.

2–Equivalence et cons´equences :

Rappels sur les courbes elliptiques (sur Q) – voir [Ta] ou [Si1] :

Si E est une courbe elliptique sur Qon peut trouver un mod`ele de Weierstrass globalement minimal avec des coefficients a_i entiers :

y² +a₁xy +a₃y = x³ +a₂x² +a₄x+a₆.

Sont associ´ees des quantit´es b_i, c_i,∆ qui sont des polynˆomes en les a_i; l’inva- riantj se calcule par la formulej = c³₄/∆ et l’on a la relationc³₄−c²₆ = 1728∆.

Pour ceux qui pr´ef`erent les mod`eles de Weierstrass “classiques” le chan- gement (x, y)−→ ((x−3b₂)/36,(y−3a₁b₂ + 12a₃/216) donne un mod`ele

y² = x³ −27c₄x−54c₆ avec un discriminant ´egal `a 6¹²∆.

Rappelons que E a bonne r´eduction en ` si et seulement si ` ne divise pas ∆, a r´eduction multiplicative (resp. additive) si ` ne divise pas (resp. divise) c4. enfin on dit qu’une courbe est semi-stable sur Q si elle n’a r´eduction additive en aucune place (soit encore si ∆ et c₄ sont ´etrangers).

Proposition 1 : La conjecture a, b, c entraˆıne l’´enonc´e suivant :

Pour tour positif il existe une constante C telle que pour toute courbe elliptique E sur Q on ait : max ∆,|c³₄|,|C₆²|

≤ C(N_E)⁶⁺.

Je remercie Oesterl´e pour l’am´elioration –optimale– de l’exposant 6 + et signale que cette proposition est ´enonc´ee dans [Vo] mais que la d´emonstration donn´ee n’est valable que pour une courbe semi-stable.

Remarque : Il est clair que les conjectures de Frey et Szpiro sont contenues dans la conclusion de la proposition.

Preuve : On part de l’´egalit´e c³₄−c₆² = 1728∆ et l’on posed = pgcd(c³₄, c²₆) et R = R(c³₄c²₆1728∆/d³). On note ´egalement ]x[ le plus petit entier majorant le nombre r´eel x. Si l’on d´ecompose d =

s

Y

i=1

p^r_iⁱ alors p^3]r_i ^i/3[ divise c³₄ et l’on peut ´ecrire :

R= R{(c4/Y

p^]r_i ^i/3[)³(c6/Y

p^]r_i ^i/2[)²(1728∆/Y

p^r_iⁱ)Y

p^3]r_i ^{i/3[+2]ri[−2ri}} ≤

R{6(c4/Y

p^]r_i ^i/3[)(c6/Y

p^]r_i ^i/2[)(N/Y

pi)} ≤6|c4c6N|Y

p^−]r_i ^{i/3[−]ri/2[−2ri−1} L’avant-derni`ere in´egalit´e ´etant vraie car d’une part R(∆) =R(N) et d’autre part si` 6= 2,3 divisedalors il y a r´eduction additive et `² diviseN. On utilise alors la conjecture avec a = c³₄/d, b = c²₆/d et c = 1728∆/d et on obtient :

max |c³₄|,|c²₆|,|∆|

≤ Cn

|c₄c₆N|Y

p^α(r_i ⁱ⁾o1+

.

O`u l’on a pos´e : α(r) = r−]r/3[−]r/2[−1. On observe que α(r) ≤ 0 pour r ≤ 10 et on utilise le lemme suivant :

Lemme : Si ` divise d alors l’ordre de d en ` est au plus 10.

En effet si `<sup>4</sup> divisait c<sub>4</sub> et `⁶ divisait c₆ le mod`ele de d´epart ne serait pas minimal, contrairement aux hypoth`eses; ainsi soit ordre`(c4) ≤ 3 soit ordre`(c6) ≤ 5.

On conclut donc que : max |c³₄|,|c²₆|,|∆|

≤ C|c₄c₆N|¹⁺. On s’autorise dans la suite `a d´esigner par et C les constantes successives (a priori diff´erentes).

On obtient d’abord les in´egalit´es |c²₄| ≤ C|c₆N|¹⁺ et |c₆| ≤ C|c₄N|¹⁺ qui entraˆınent les in´egalit´es : |c₄| ≤ CN²⁺ et |c₆| ≤ CN³⁺ d’o`u la proposition.

Interlude: [Br-K] contient comme remarque finale l’affirmation suivante qui contredit la conjecture de Szpiro (et donc abc): “Il existe une infinit´e de cour- bes elliptiques semi-stables dont le discriminant est une puissance septi`eme”;

heureusement (?) Mestre et Oesterl´e ont montr´e qu’il s’agit d’une erreur et qu’il n’existe pas de telle courbe.

Proposition 2 : La conjecture de Frey (avec exposant δ = 1) entraˆıne la conjecture a, b, c.

Remarque 1 : La conjecture de Frey avec exposant δ entraˆıne presque la conjecture a, b, c avec exposant δ : il faut supposer que l’un des trois nombres est divisible par 2⁴ ( cette subtilit´e disparait si l’on autorise dans les

´enonc´es, comme le fait Frey, la r´eduction additive en 2).

Remarque 2 : D’apr`es la proposition 1 la conjecture de Frey (avec exposant δ = 1) pour les courbes elliptiques semi-stables entraˆıne la mˆeme in´egalit´e h(j) ≤ (6 +) logN +C pour toutes les courbes elliptiques.

Preuve de la proposition 2 : Soienta, b, ctels quea+b+c = 0 et pgcd(a, b, c) = 1; Supposons d’abord que 2⁴ divise abc (Cf la remarque 1) ; on consid`ere la courbe de Frey associ´ee : y<sup>2</sup> = x(x−a)(x+b), on sait qu’elle est semi-stable et l’on calcule ais´ement : j = 2<sup>8</sup>(a<sup>2</sup> +ab+b<sup>2</sup>)<sup>3</sup>/(abc)<sup>2</sup> et ∆ = 2<sup>−8</sup>(abc)<sup>2</sup>. La conjecture de Frey appliqu´ee `a cette courbe s’´ecrit donc :

log max |a² +ab+b²|³,|abc|²

≤ (6 +) log(R(abc)) +C

qui entraˆıne bien sˆur : log max (|a|,|b|,|c|) ≤ (1 +) log(R(abc)) +C.

Voyons que l’on peut se ramener au cas o`u 2⁴ divise abc. En effet ´ecrivons a + b = c avec a, b et c positifs et, disons, b pair; supposons l’in´egalit´e de la conjecture d´emontr´ee lorsque 2^s divise abc et supposons 2^s−1 divise b.

Observons que : (a−b)²−(c)²+ 4ab = 0, de plus a−b, c et 4ab sont premiers entre eux et 2^s divise 4ab donc on peut appliquer l’in´egalit´e “a, b, c” :

max |a−b|², c²,4ab

≤ CR((a−b)abc)¹⁺.

On observe aue max(a, b, c) = c, on majoreR(a−b) ≤ |a−b| ≤ c et on obtient bien :

c¹⁻ ≤ CR(abc)¹⁺.

Addendum : On peut ´egalement montrer que la conjecture de Szpiro entraˆıne la conjecture a, b, c avec exposant 6/5 (lorsque 2⁴ divise abc tout au moins).

En effet soita+b = c aveca, b et c ≥ 0 et disons a ≥ b ; on consid`ere la courbe

elliptique E : y² = x³ − 2(a− b)x² + (a+ b)²x. C’est une courbe isog`ene

`

a la courbe de Frey y² = x(x + a)(x − b) : l’isog´enie de noyau le groupe d’ordre 2 engendr´e par P = (0,0) est donn´ee par les formules : (x, y) −→

(y²/x²,−y(ab+x²)/x²). On v´erifie que le mod`ele de E est minimal et semi- stable sauf peut-ˆetre en 2 (la courbe est semi-stable en 2 si et seulement si 2<sup>4</sup> divise abc) et que le discriminant du mod`ele vaut : D = −2⁸abc⁴. La conjecture de Szpiro entraˆıne donc abc⁴ ≤ CR(abc)⁶⁺, ce qui donne l’in´egalit´e cherch´ee.

Proposition 3 : La conjecture abc entraˆıne l’´enonc´e suivant :

Pour tout positif il existe une constante C positive telle que si A, B, X, Y sont des entiers (non nuls), si m, n sont des entiers naturels non nuls, alors

ou bien AX^m +BYⁿ = 0 ou bien l’on a l’in´egalit´e :

|AX^m+BYⁿ| ≥ (C/|AB|){max (|AX^m|,|BYⁿ|)}^{1−1/m−1/n−}.

Remarque : Cet ´enonc´e est une forme pr´ecise de la conjecture de Hall g´en´era- lis´ee formul´ee par exemple dans [L]. La conjecture originale de Hall concluait que |X³ − Y²| ´etait nul ou minor´e par C|X|^1/2 ; la prudence a conduit `a introduire un , mais il n’est pas prouv´e qu’il soit indispensable ; on sait seulement construire une infinit´e de X, Y avec 0 < |X<sup>3</sup>−Y<sup>2</sup>| ≤ |X|<sup>1/2</sup> d’apr`es [Da].

Preuve : SupposonsAX^m+BYⁿ = k 6= 0 et posons d = pgcd(AX^m, BYⁿ, k).

Remarquons que si |AX^m| ≤ |BYⁿ|/2 alors |k| ≥ |BYⁿ|/2 et on est content.

On peut donc se restreindre au cas o`u : |BYⁿ|/2 ≤ |AX^m| ≤2|BYⁿ|. Posons R = R(AX^mBYⁿk/d³), alors :

R ≤ R(AX^mBYⁿk/d) = R(ABXY k/d) ≤ |ABXY k|/d et la conjecture abc entraˆıne donc :

|AX^m| ≤ C|ABXY k|¹⁺ et comme par hypoth`ese |Y| ≤ 2|AX^m|^1/n/|B|^1/n, on en tire :

|k| ≥ C|AX^m|^{1−1/m−1/n−}/|A|^1−1/m|B|^1−1/n, ce qui est l´eg`erement plus fort que la conclusion de la proposition.

Signalons sans d´emonstration d’autres cons´equences de ces conjectures.

1)Elles entraˆınent une borne universelle de la torsion des courbes elliptiques (connue sur Q grˆace `a Mazur), voir [Fr].

2)Elles entraˆınent la conjecture de Lang minorant la hauteur de N´eron-Tate d’un point d’ordre infini rationnel d’une courbe elliptique par Clog ∆ ou si l’on pr´ef`ere par Ch(E/Q) la hauteur de Faltings, voir [Si-Hi].

3)Elles entraˆınent que sur un mod`ele minimal d’une courbe elliptique E il y a au plus C1(C2)<sup>RangE(Q)</sup> points entiers ; ceci est aussi une conjecture de Lang et est impliqu´ee par 1) et 2) d’apr`es [Si2].

Enfin nous ne r´esistons pas `a la tentation d’en d´eduire le “th´eor`eme” de Fermat :

Proposition 4 : La conjecture de Szpiro (avec n’importe quel exposant `a la place de 6 + entraˆıne le “th´eor`eme de Fermat pour n assez grand”.

Preuve : A un triplet X, Y, Z premiers entre eux tels que XY Z 6= 0 et Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ (noter que l’on peut supposer Y pair et n≥ 4) on associe la courbe de Frey :

y² = x(x−Xⁿ)(x−Yⁿ)

qui est semi-stable avec ∆ = 2⁻⁸(XY Z)²ⁿ et N = R(∆) ≤ |XY Z|. Si l’on sait que |∆| ≤ N^C avec une constante universelle C on en d´eduit une borne

pour n (Si on prend par exemple C = 6 + on en d´eduit la “conjecture” de Mordell pour les courbes de Fermat avec n≥ 4).

3–Comparaison de hauteurs.

Rappelons la d´efinition de la hauteur de Faltings d’une courbe elliptique. On munit le fibr´e ω_E/Z d’une m´etrique `a l’infini par la formule :

hα, βi = i 2

Z

E(C)

α∧β.¯

Alors la hauteur de Faltings de E/Q est le degr´e de ω_E/Z calcul´e par rapport

`

a cette m´etrique. Elle peut se calculer de la fa¸con suivante : On ´ecrit E(C) = C/Z+τZ avec Im(τ) > 0 et on pose q = e^2πiτ et

∆(τ) = (2π)⁻¹²q

∞

Y

n=1

(1−qⁿ)²⁴ et l’on a alors : Proposition (Faltings) : h(E/Q) = ₁₂¹

log ∆_E −log

∆(τ)(Im(τ))⁶ . Remarque : Le deuxi`eme terme est invariant par SL2(Z) comme il se doit et dans le premier terme ∆_E d´esigne le discriminant minimal. Il s’agit de hauteur “non stabilis´ee”.

Preuve : Voir [Fa] ou [Co-Si] chapitre X.

Corollaire 1 : Si E/Q est semi-stable alors on a :

|h(j_E)−12h(E/Q)| ≤6 log(1 +h(j_E)) +C₀.

Remarque: C’est une version explicite pour les courbes elliptiques du th´eor`eme de Faltings disant que la hauteur d’une vari´et´e ab´elienne semistable est une hauteur sur l’espace des modules de vari´et´es ab´eliennes `a un terme d’erreur

“logarithmique” pr`es.

Preuve : On choisit τ dans le domaine fondamental classique, en particulier Im(τ) ≥ √

3/2 et l’on voit que log|∆(τ)| = log|q|+O(1); d’autre part jE = j(τ) = 1728n

1

q + 744 +P

c_nqⁿo

donc log max(|j(τ)|,1) = −log|q| + O(1) d’o`u l’on tire log

∆(τ)(Im(τ))⁶

= log max(|j|,1) + 6 log log max(|j|, e) + O(1). On observe que, comme E/Q est semi-stable, ∆E est exactement le d´enominateur de j_E et donc d’apr`es les propri´et´es classiques des hauteurs de Weil on a :

h(j) = log|∆_E|+ log max(|j|,1) d’o`u le corollaire.

Corollaire 2 : La conjecture de Frey (avec exposant δ) est ´equivalente `a l’´enonc´e suivant :

Pour tout positif il existe une constante C telle que si E/Q est une courbe semi-stable on ait : h(E/Q) ≤ ^δ₂ +

log(N_E) +C. C’est clair `a partir du corollaire 1.

Remarque 1 : cette formulation est particuli`erement int´eressante si l’on sup- poseE modulaire (i.e. il existe un morphisme non constant Φ : X₀(N) −→E) car alors on peut borner h(E/Q) par ¹₂ log degr´e(Φ) + 0(1).

Remarque 2 : On peut aussi prouver (voir [Co-Si] ou [Lau]) qu’on a l’encadre- ment (pour toutes les courbes): h(E/Q) − C₁ ≤ ₁₂¹ log max(|c³₄|,|c₆|²) ≤ (1 + )h(E/Q) +C et donc formuler la conjecture de Frey avec la hauteur

“naive” d’une courbe elliptique : Hna¨ıve(E/Q) = max(|c³₄|,|c²₆|).

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Voir aussi : Lettre `a S. Lang.

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Octobre 1987