Universit´e de Rouen DEUG MIAS 2`eme ann´ee Alg`ebre
Ann´ee 2000-2001
Devoir ` a pr´ eparer pour le 11 janvier 2001
Exercice 1. SoitEl’espace vectoriel r´eelR3muni de sa base canoniqueC= (e1, e2, e3). On consid`ere la forme bilin´eaire sym´etriquef surE de forme quadratique associ´eeqtelle que pour toutX= (x1, x2, x3) deE,
q(X) =x21−x23+ 2x1x2+ 2x2x3
(1) D´eterminer le rang et la signature deq.
(2) Trouver explicitement une base orthogonale deE relativement `af. (3) Quel est le noyauN(q) deq?
(4) Soit F =
(α, α, α)∈R3, α∈R . D´eterminer l’orthogonalF⊥ de F relativement `a f (F⊥ = {X ∈E | f(X, Y) = 0 ∀Y ∈F}).
(5) Montrer que l’on aF⊥⊥=F+N(q).
(6) Pr´eciser l’ensemble des vecteurs isotropes relativement `a q.
Probl`eme : D´eterminant de Gram et Applications Partie I
Soit (E, <·,·>) un espace pr´ehilbertien r´eel, c’est–`a–direE est unR–espace vectoriel et<·,·>est un produit scalaire surE. Siu1, . . . , un sontnvecteurs deE, on noteV =V(u1, . . . , un) le sous espace vectoriel qu’ils engendrent,g=g(u1, . . . , un) la matrice n×nde terme g´en´eral
gij(u1, . . . , un) =< ui, uj>
et G = G(u1, . . . , un) le d´eterminant de cette matrice (G est appel´e le d´eterminant de Gram de u1, . . . , un).
A) On d´esigne parF un sous espace vectoriel de dimension finiemdeEcontenantV, parBune base orthonorm´ee deF et parA = aij
i,j la matrice m×n dont laj-i`eme colonne donne les composantes deuj dans la baseB.
(1) Montrer que l’on ag=tAA.
(2) Montrer que simetnsont ´egaux, alorsG= (detA)2. (3) Soitq la forme quadratique d´efinie surRn parq(X) =tXgX.
-a- Montrer queqest positive.
-b- Montrer que les assertions suivantes sont ´equivalentes : (i)qest d´efinie
(ii)g est inversible
(iii)V est de dimensionn.
B) SoientV un sous espace vectoriel de dimensionp≥1 deE, muni d’une base (e1, . . . , ep),x∈Eet d(x, V) = infn
kx−vk;v∈Vo o`uk · kd´esigne la norme associ´ee au produit scalaire<·,·>(i.e.kxk=√
< x, x >pour toutx∈E).
(1) Montrer qued(x, V) =kx−yk o`u yest la projection orthogonale de xsurV. (2) Montrer que
d(x, V)2
=G(e1, . . . , ep, x) G(e1, . . . , ep)
C) Soit (u1, u2, . . . , un) un syst`eme libre dans E. Pour p ∈ {1, . . . , n}, soit gp = g(u1, . . . , up) et Gp =G(u1, . . . , up). Pourp∈ {2, . . . , n}et j ∈ {1, . . . , p}, soit ∆j,p le cofacteur de< uj, up>dans gp. On notera (E1, . . . ,En) l’orthonormalis´ee de (u1, u2, . . . , un) par le proc´ed´e de Gram–Schmidt.
1
2
(1) Pourp∈ {2, . . . , n}posons :
vp=
p
X
j=1
∆j,p
Gp−1uj
Montrer que : < vp, ui>= 0 pour i∈ {1, . . . , p−1}
< vp, up>= Gp Gp−1 (2) Montrer quevp=up−
p−1
X
j=1
< up,Ej>Ej
(3) En d´eduire quekvpk2= Gp Gp−1
(4) En d´eduire queEp= 1 pGp−1Gp
p
X
j=1
∆j,puj
Partie II
A) Montrer que
det 1
ai+bj
i,j=1,...,n
= Y
1≤i<j≤n
(aj−ai)(bj−bi) Y
1≤i≤n 1≤j≤n
(ai+bj)
B) SoitE leR–espace vectorielC0 [0,1],R
des fonctions continues d´efinies sur [0,1]. On munitEdu produit scalaire :
< f, g >=
Z 1
0
f(t)g(t)dt.
Soiten(x) =xn (∀x∈[0,1]),n≥0 entier.
(1) CalculerG(1, e1, e2, . . . , en) etG(e1, e2, . . . , en). [Indication : utiliser A)]
(2) SoitV =Rn[X] l’espace des fonctions polynomiales de degr´e inf´erieur ou ´egal `an. Montrer que : d(1, V)2
= 1
(n+ 1)2. (3) Soit l’applicationf : Rn−→Rd´efinie par
∀a= (a1, . . . , an)∈Rn f(a) = Z 1
0
(1 +a1t+. . .+antn)2dt.
Montrer quef admet un minimum. Calculer ce minimum.
