M´ecanique des fluides - Bachelor - 2016 - TD 2
TD2
Dimensions
Exercice 1
Soit F une force, P une pression, a une acc´el´eration, E une ´energie et x une longueur, quelles sont les dimensions dans le syst`emeM LT dea, F,P, dF/dx, d3P/dx3,R
Fdx,E?
Exercice 2
Des ´etudiants ont trouv´e les formules suivantes :
— a=U t/l, o`uU est une vitesse,t un temps,lune longueur
— F =ρV U/t, o`uF est une force,V un volume,ρune masse volumique
— E=mV gz, o`ug est la constante de gravit´e,V un volume, zune hauteur et mune masse.
Identifiez celles qui sont in´evitablement fausses `a l’aide d’arguments dimensionnels.
Exercice 3
Si pest une pression,V une vitesse etρune masse volumique, quelles sont les dimensions de p/ρ, pV ρet p/ρV2?
Exercice 4
Retrouvez la dimension de la viscosit´e dynamiqueµ`a l’aide de votre cours, puis de la viscosit´e cin´ematique ν =µρ, o`uρest la masse volumique du fluide. SiV est une vitesse,lune longueur, quelles sont les combinaisons adimensionnelles parmi les suivantes :V lν,V l/ν,V2ν et V /lν?
Exercice 5
D´eterminer les dimensions des coefficientsAet Bpr´esents dans l’´equation homog`ene suivante : d2x
dt2 +Adx
dt +Bx= 0 (1)
o`uxest une longueur et tun temps.
Exercice 6
Figure1 – Profil de vitesse d’un ´ecoulement de Poiseuille
L’´ecoulement de Poiseuille est un ´ecoulement laminaire l’un liquide de visqueux dans une conduite cylindrique rectiligne. Le d´ebit total `a travers une telle conduite s’exprime :
Q= πR4∆p
8µl (2)
o`u R est le rayon de la conduite, ∆p la chute de pression le long de la conduite, µ la viscosit´e du fluide, et l la longueur de la conduite. Quelle est la dimension de la constante π8? Peut-on qualifier cette ´equation d’homog`ene ? Expliquer.
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Exercice 7
La diff´erence de pression ∆p `a travers une obturation partielle d’une art`ere (appel´ee st´enose) peut ˆetre estim´ee par l’´equation :
∆p=Kv
µV D +Ku
A0
A1 −1 2
ρV2 (3)
o`uV est la vitesse du sang,µla viscosit´e du sang,ρla masse volumique du sang,Dle diam`etre de l’art`ere,A0 la section de l’art`ere avant obstruction ,A1 la section de la st´enose. D´eterminer les dimensions des constantes Kv etKu. Cette ´equation est-elle valide dans n’importe quel syst`eme d’unit´es ?
Exercice 8
Selon les informations trouv´ees dans un livre d’hydraulique, la perte de charge par unit´e de masse de fluide passant `a travers un gicleur connect´e `a un tuyau peut ˆetre estim´ee par la formule :
h= (0.06)(D/d)4V2/2g (4)
o`uhest la perte de charge par unit´e de masse,D le diam`etre du tuyau,dle diam`etre du bout du gicleur,V la vitesse du fluide dans le tuyau, etgl’acc´el´eration de la gravit´e. Pensez-vous que cette ´equation est valide dans n’importe quel syst`eme d’unit´es ? Expliquer.
Exercice 9
Une des formules pour estimer le d´ebit, Q, au-dessus du trop-plein d’un barrage est : Q=Cp
2gB(H+V2/2g)3/2 (5)
o`u C est une constante, g l’acc´el´eration de la gravit´e, B la largeur du trop-plein, H la profondeur de l’eau au-dessus du trop-plein, etV la vitesse de l’eau juste `a l’amont du barrage. Cette ´equation serait-elle valable dans n’importe quel syst`eme d’unit´es ? Expliquer.
Exercice 10
Utiliser le tableau 1 pour exprimer les quantit´es suivantes en unit´es SI : 10,2 in./min ; 4,81 slugs ; 3,02 lb ; 73,1 ft/s2; 0,0234 lb·s/ft2.
Table1 – tableau de conversion Unit´es anglaises Conversion SI in. (pouce) 2.540·10−2 m slug (unit´e de masse) 1.459·101 kg
lb (livre-force) 4.448 N
ft (pied) 3.048·10−1 m
Exercice 11
Le but de cet exercice est de calculer une vitesse de s´edimentation. Nous nous pla¸cons dans de l’air de masse volumique ρf et nous consid´erons la chute d’une sph`ere de rayon R = 5 cm et de masse volumiqueρs. Faire un bilan des forces qui s’exercent sur la sph`ere et calculer sa vitesse limite. La force de traˆın´ee est donn´ee par l’´equation suivante :
FD=1
2CDρfSv2 (6)
o`uCD est le coefficient de traˆın´ee qui peut ˆetre estim´e par l’abaque de la figure suivante (CD en fonction du nombre de Reynolds particulaire), S la surface projet´ee de la sph`ere (πR2), et v sa vitesse. On supposera le nombre de Reynolds particulaire tr`es grand. Une fois la vitesse limite calcul´ee, v´erifier cette derni`ere hypoth`ese.
Nous utiliserons les donn´ees suivantes :ρf = 1,2 kg/m3,µf = 2×10−5Pa·s etρs= 1000 kg/m3.
Figure2 – variation deCDen fonction du nombre de Reynolds.
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