Charge d’une capacit´ e ` a travers une r´ esistance
Exercice
Julien VILLEMEJANE
LEnsE / Institut d’Optique Graduate School
Th´ematique(s) associ´ee(s)
• Maitriser les bases de l’´electronique . Utiliser les dipˆoles passifs et actifs . Analyser un circuit en temporel On consid`ere le circuit ci-dessous.
1. Donner le lien entreVe(t),i(t) (courant dans la branche RC) etVS(t).
2. Donner le lien entrei(t) (courant dans le condensateur) etVS(t).
3. Donner le lien entreVe(t) etVS(t).
4. Donner l’expression de VS(t) pour t > 0 pour Ve(t) = E (constante). On supposera le condensateur totalement d´echarg´e `a t= 0 (c’est `a dire siVS(0) = 0).
5. TracerVS(t).
6. Donner, siVe(t) = 0 etVS(t) = 0 pourt <0 etVe(t) =Epourt >0, la valeur de la tension :VS(t=RC), VS(t= 3.RC) etVS(t= 5.RC).
7. Que devient l’expression du signal VS(t) pour t > 0 en fonction de E, R et C si on utilise ce second circuit ?
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5N-027-SCI / C´eTI
Correction
On consid`ere le circuit ci-dessous.
1. Donner le lien entreVe(t),i(t) (courant dans la branche RC) etVS(t).
R´eponse
La loi des mailles donne :
Ve(t)−R·i(t)−Vs(t) = 0
2. Donner le lien entrei(t) (courant dans le condensateur) etVS(t).
R´eponse
On s’int´eresse `a la charge du condensateur :q=C·VS(t).
Et au courant :i= dqdt.
On obtient alors le lien suivant :
i(t) =C·dVS(t) dt
3. Donner le lien entreVe(t) etVS(t).
R´eponse
D’apr`es les deux questions pr´ec´edentes,
Ve(t) =R·CdVS(t)
dt +Vs(t)
4. Donner l’expression de VS(t) pour t > 0 pour Ve(t) = E (constante). On supposera le condensateur totalement d´echarg´e `a t= 0 (c’est `a dire siVS(0) = 0).
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5N-027-SCI / C´eTI
R´eponse
a) On chercheles solutions de l’´equation homog`ene: dVS(t)
dt + 1
R·CVs(t) = 0 Ces solutions sont de la forme :VS0(t) =λ·exp(R·C−t)avecλ∈IR
b) On cherche unesolution particuli`erede la mˆeme forme que le second membre. Dans notre cas,
E/RC qui est une constante.
SiVS1(t) =k, alors dVS1dt(t)= 0.
On a alors, en reprenant l’´equation initiale : R·Ck =R·CE . Ainsik=E.
c) Les solutions de l’´equation sont alors la somme des deux solutions pr´ec´edentes. Ainsi :VS(t) = VS0(t) +VS1(t) =λ·exp(R·C−t ) +E
d) On obtient ensuiteλen utilisant la condition initiale, `a savoirVS(0) = 0. Ainsiλ=−E.
On obtient alors l’expression suivante pourVS(t) :
VS(t) =E·(1−exp( −t R·C))
5. TracerVS(t).
R´eponse
6. Donner, siVe(t) = 0 etVS(t) = 0 pourt <0 etVe(t) =Epourt >0, la valeur de la tension :VS(t=RC), VS(t= 3.RC) etVS(t= 5.RC).
R´eponse
VS(t=RC) = 0.63·E
VS(t= 3.RC) = 0.95·E
VS(t= 5.RC) = 0.99·E
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5N-027-SCI / C´eTI
7. Que devient l’expression du signal VS(t) pour t > 0 en fonction de E, R et C si on utilise ce second circuit ?
R´eponse
La tension aux bornes du condensateur UC(t) ´evolue de la mˆeme mani`ere que dans le montage pr´ec´edent. Ainsi :
UC(t) =E·(1−expR·C−t )
De plus, dans ce montage,VS(t) =VE(t)−UC(t). Ainsi, si `at >0VE(t) =E, on obtient :
VS(t) =E−E·(1−expR·C−t )
VS(t) =E·expR·C−t
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