0
Exercice 1
2
p
2 2
0
5
0 5
1
5
1 4
2
5
2 3
0
5
3 2
0
5
4 1
0
5
5 0
4
X N p :
X
X
Y
Y
P X C : : :
P X C : : :
P X C : : :
P X C : : :
P X C : : :
P X C : : :
P X : : : :
N p : P X :
Y N p :
Y Y Z
Y Y : Y : : :
Y Y : Z :
P Y <
Corrig
e de l'
epreuve de Statistiques appliqu
ees
a la
Psychologie donn
ee en janvier 2001
1) Par denition d'une loi binomiale, une telle variable a comme modalites: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Leursfrequences sontdonnees par:
2) Le nombre de choix d'un jouet rouge parmi 5 enfants suit une loi binomiale de parametres
et . D'apres laquestion precedente, ona . On a donc a 50% de
chances d'observer au moins trois choix en faveur du jouet vert. Le hasard constituedonc une
explication tout a faitsatisfaisante des observationsfaites.
3) a) La loide estuneloi binomialede parametres et .
3)b)Soit lavariablenormaleapprochant et lavariablenormalecentreereduiteassociee.
a pour moyenne et pour ecarttype .
corresponda ou encore .
Cette dernierevaleur est en dehors des limites de nos tables. On en deduit que
.
3) c) Sous l'eet du hasard, on avait moins d'une chance sur 10000 d'observer un protocole
comportant au moins 169 choix pour la poupee blanche. Il faut donc rechercher une autre
explication au comportementdes enfants.
1)Soit une variable distribuee selon une loi binomiale de parametres =5 et =05.
Quellessontlesmo dalitesdelavariable ? Quell es sontleursfrequencesd'apparition? Calculer
lafrequence de 3.
2)Onconsidereungroup ede 5enfantsauxquelsondemande choisirentreunjouetrouge etun
jouetvert. Troisd'entre euxchoisissent lejouetvert.
Onfaitl'hyp othesequelesenfantschoisissentauhasardentrelesdeuxcouleursdejouets. Quelle
chancea-t-on alorsd'observerau moins 3choix en faveur dujouet vert? Selonvous, lehasard
sut-ila expliquer ce qui aeteobserve?
3) Dans une etude devenue classique (1939), deux chercheurs ont montre a des enfants noirs
une p oupee noire et une p oupee blanche en leur demandant de choisir celle avec laquelle ils
voudraient jouer. Sur 252enfants,169ontchoisi lap oupee blanche tandisque83preferaientla
p oupee noire.
a)Comme precedemment,on fait l'hyp othese queles enfantschoisissent au hasard. Quelle est
alors la loi de la variable \nombre d'enfants ayant choisi la p oupee blanche parmi les 252
enfants"?
b) A l'aide d'une approximation de la loi binomiale parla loi normale, evaluer la frequence de
169.
c)Selon vous, lehasardconstitue-t-il une explication satisfaisantedu comp ortementobserve?
( =0)= 05 05 =00313
( =1)= 05 05 =01563
( =2)= 05 05 =03125
( =3)= 05 05 =03125
( =4)= 05 05 =01563
( =5)= 05 05 =00313
( 3)=03125+01563+00313=050
=5 =05 ( 3)=05
=252 =05
~
~
(
~
)=252 05=126 (
~
)= 252 05 05=794
169
~
1685 535
( 169)
10
p : 54
100
0
0
0
0
Exercice 3 X
: P Z a :
Z : : :
Z
X :
:
P X P Z : :
P X P : Z : :
X
X : X :
1) La distribution normale etant symetrique, la mediane 10.9 estaussi la moyenne. D'o u
. D'autre part, pour une variable normale centree reduite, pour
. L'ecarttypede ladistribution desnotes estdonc: .
2) On utilisela variable normalecentree reduite .
2) a)
2) b)
3) D'apres letheoreme del'echantillonnage,laloisuiviepar lavariable estlaloinormale de
parametres Moy et
N.B. Les quatre questionssontindependantes
Dans un examencomp ortantun tresgrand nombrede candidats, on assimile laserie desnotes
a une variable continue distribuee selon une loi normale.
1)Onsaitque50% descandidats ontobtenu unenotesuperieureouegalea10.9etque 34.13%
ont obtenu une notecompriseentre 10.9et16.3.
En deduire lamoyenne etl'ecarttyp e de ladistribution desnotes.
2)a)Determinerlaprop ortion de candidatsqui ont obtenu moinsde 7.
b) Determinerlaprop ortion de candidatsqui ont obtenu une notecompriseentre 8et11.
3)Ontireauhasarddesechantillonsdetaille 100parmilescopies. Quelleestlaloisuivieparla
variable \moyenne observee surunechantillonde 100copies"? Quelssont sesparametres?
=
109 (0 ) = 3813%
=1 =163 109=54
=
109
54
( 7)= ( 072)=02358
(8 11)= ( 054 002)=02134
( )=109 ( )= =054
Nurcomb e et it al. ont mene en 1984 une etude sur les enfants presentant un p oids reduit a
la naissance (PRN). Ces enfants p osent des problemes particuliers a leurs parents parce qu'ils
sont,enapparence,apathiquesetimprevisibles;enoutre,ilsrisquentdeconna^tredesproblemes
physiquesetcomp ortementaux. L'etudea p ortesurtrois group es d'enfants;
Un group e experimental de 25 enfants PRN dont les meres beneciaient d'un apprentis-
sage particulier: elles etaient sensibili sees aux signauxemis par ces enfants, an de leur
p ermettrede mieuxrep ondrea leurs b esoins;
Ungroup etemoin de31enfantsPRNdont lesmeres nebeneciaient d'aucunprogramme
particulier;
Un group ed'enfantsdont lep oids a lanaissanceetaitnormal.
Le tableau 1 ci-dessous represente une partie des donnees observees. Il indique d'une part,
l'indice de developp ement mental (IDM) a 6 mois et a 24 mois p our le group e temoin PRN,
P
0 0
111
i i
i i
i i i
2
2
114+ +132
31
2
2 5756
31 Y
X Y
x ;y
Y Y xy
X Y
; ;
;
;
Md
x x x
: :
; ; ; ;
1) La population etudiee est constituee de 56 enfants PRN. Les variables sont le groupe d'ap-
partenance (groupe experimental ou groupe temoin), l'IDM a 6 mois et l'IDM a 24 mois (ou
de maniereequivalente, l'^age (6 ou 24 mois) et l'IDM). Legroupe est une variable qualitative,
l'IDMest unevariable numerique continue.
2) a) La mediane est lescoredu 16e enfantapres classement par IDM croissants. D'o u
. La moyenne est .
2) b) Unextrait du tableau desecarts a lamoyenne est donneci-dessous.
84 -27 729
... ... ...
139 28 784
On obtient: et .
2) c) Leregroupement enclasses conduit autableau suivant:
Classe
Eectif 6 5 10 10
Amplitude 20 10 10 10
Densite 0.3 0.5 1 0.5
2) d) Onobtient ainsil'histogramme suivant: precedent.
3)Soit la variable IDM a 24moisp our legroup e PRN temoin. Oncherche adeterminers'il
existe unlien de correlationlineaire entreles variables et .
a)Construirelenuagedesp oints ( ).
b) On donne: Moy( ) = 106.71;Var( ) = 162.40; =368725. Calculer la covariance,
puisleco ecientde correlationlineaire desvariables et . Commenterlesresultatsobtenus.
4) On veut comparer les IDM a 24 mois dans les deux group es. A cette n, on pro cede a un
regroup ementde lavariable IDMen deuxclasses: [80 112[et[112 143]etonpro cedea untest
du sur letableaude contingence ainsi obtenu.
a)Completerletableau decontingence suivant:
IDM-24 Temoin Experimental
[80 112[ ... ...
[112 143] ... ...
b) Realiser un testdu au seuil de 5%surle tableaude contingence precedent etconclure.
=
115 = =111
( )
= =18568 =1363
[80 100[ [100 110[ [110 120[ [120 140[
IDM 6 mois - Groupe t moin
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
[80,100[ [100,110[ [110,120[ [120,140[
IDM
Nuage de points
90 100 110 120 130 140
3) a) Le nuage de points a l'alluresuivante:
2
0
1
2 2
0
obs cr it
<
< <
H
H
: ddl :
H
112
112
112
112
112
112
=354 =1 =5% =384
19 9 28
12 16 28
31 25 56
4) b) Les eectifstheoriques et lescontributions au sont donnes par:
IDM-24 Temoin Experimental
15.5 12.5
15.5 12.5
IDM-24 Temoin Experimental
0.79 0.98
0.79 0.98
Soient lesdeux hypothesesstatistiques suivantes:
: La distributiondes IDM estindependanted'un eventuelapprentissage de lamere.
: Leprogramme d'apprentissage a un eet sur l'IDMde l'enfant.
Ona ici: . Or, pour et ,onlitdanslatable: . C'estdonc
l'hypothese qui est iciretenue: onn'a pas mis enevidenced'eet signicatifdu programme
d'apprentissage.
IDM-6 IDM-24 Di IDM-24
s1 124 114 -10 s'1 96
s2 94 88 -6 s'2 127
s3 115 102 -13 s'3 127
s4 110 127 17 s'4 137
s5 116 104 -12 s'5 114
s6 139 104 -35 s'6 119
s7 116 91 -25 s'7 109
s8 110 96 -14 s'8 109
s9 129 104 -25 s'9 143
s10 120 106 -14 s'10 109
s11 105 91 -14 s'11 116
s12 88 102 14 s'12 114
s13 120 104 -16 s'13 143
s14 120 100 -20 s'14 109
s15 116 114 -2 s'15 117
s16 105 109 4 s'16 127
s17 100 109 9 s'17 112
s18 91 119 28 s'18 112
s19 129 91 -38 s'19 98
s20 84 81 -3 s'20 137
s21 91 114 23 s'21 112
s22 116 119 3 s'22 109
s23 100 102 2 s'23 119
s24 113 111 -2 s'24 106
s25 89 80 -9 s'25 109
s26 102 119 17
s27 110 119 9
s28 116 123 7
s29 124 119 -5
