Corrig´e de la 14`eme s´erie d’exercices 20 novembre 2012

Physique G´ en´ erale B

Corrig´e de la 14`eme s´erie d’exercices 20 novembre 2012

Ondes acoustiques, interf´ erences

1. Addition de plusieurs ondes harmoniques : diagramme de Fresnel Nous utilisons le diagramme de Fresnel pour obtenir l’onde r´esultante ; nous pou- vons le faire puisque les fr´equences des ondes harmoniques sont les mˆemes et qu’elles se propagent sur le mˆeme support.

y

y₁

y2 3 yr

ϕ

Sur le diagramme, y¹, y² et y³ repr´esentent les ondes initiales et y^r l’onde r´esultante.

Nous pouvons imm´ediatement calculer calculer les composantes de y^r par rapport `a la direction donn´ee par y<sup>1</sup> et par rapport `a la direction perpendiculaire :

Dans la direction de y¹ (“horizontale”) : y^rh = y¹ − y³ = 2y¹/3 Dans la direction perpendiculaire `a y¹ (“verticale”) : y^rv = y² = y¹/2

L’amplitude de l’onde r´esultatnte est donc :

y^r = q

yrh² + y^rv = s

2y¹ 3

²

+ y¹ 2

²

= 5

6y¹ = 0.83y¹ Sa phase par rapport `a y1 est de :

ϕ = arctan y^rv

y^rh = arctan

y¹/2 2y¹/3

= arctan 3

4 = 0,6435 radian = 36,87^◦ Son ´equation est : y = 5

6y1 sin(kx − ωt + 0,6435)

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

x [λ]

y [y ]1

2. Ondes stationnaires sur une corde tendue

Le point principal ici est que la corde r´esonnera seulement `a certaines fr´equences d´etermin´ees par la vitesse de l’onde sur la corde et par la longueur Lde celle-ci. Comme nous avons une corde “pinc´ee” `a ses deux extr´emit´es, la fr´equence de r´esonance est (cours, au bas de la page 309) :

f = n v

2L n = 1, 2, 3, 4, etc.

a) Pour avoir la quatri`eme harmonique, n = 4, nous pouvons ajuster la vitesse de l’onde sur la corde pour obtenir la r´esonance, sachant que v =

rτ

µ, avec τ = tension de la corde et µ sa masse lin´eaire.

v = rτ

µ =

rmg µ

En utilisant la relation donnant la fr´equence f et en r´esolvant pour la masse m, nous avons :

m = 4L²f²µ

n²g = 4·(1,2)²·120²·(0,0016)

4²·9.8 = 0,846kg

b) Avec la valeur m = 1,00 kg que nous introduisons dans l’´equation pr´ec´dente et en r´solvant pour n, nous obtenons n = 3,7. Comme n doit ˆetre entier pour avoir une r´esonance, la valeur obtenue n’est pas acceptable : avec m = 1 kg, l’oscillateur ne peut pas entretenir une onde stationnaire sur la corde !

3. Interf´erences

Si L¹ est la distance de l’auditeur au premier haut-parleur et d la distance entre les deux haut-parleurs, la distance du second haut-parleur `a l’auditeur est de L² = q

L²1 + d². Les ondes sonores issus du haut-parleur 2 arrivera `a l’auditeur avec un retard de phase par rapport `a ceux du haut-parleur 1 de : ϕ = 2π(L² − L¹)

λ .

a) Les minima d’intensit´e sonore se produisent lorsque ϕ = (2n + 1)π (cours, page 305), expression dans laquelle nest un entier. Par cons´equent : λ = 2(L² − L¹)

(2n + 1) , 2

ce qui correspond `a des fr´equences de : f = v

λ = (2n + 1)v 2 p

L²1 + d² − L¹ = (2n + 1) 343 2

p(3,75)² + (2,0)² − 3,75 = (2n+ 1) 343 Hz Comme 20000/343 = 58,31 , 2n + 1 doit prendre de valeurs entre 1 et 57

pour que nous n’ayons que des fr´equences dans la gamme audible. Ceci veut dire que n varie entre 0 et 28 et que les fr´equences au minimum d’intensit´e sont : 343, 1029, 1715, ... , 19551 Hz.

b) Pour les maxima d’intensit´e, ϕ = 2n π (cours, page 305), expression dans laquelle n est entier. Donc :

λ = p

L²1 + d² − L¹

n et

f = v

λ = n v

p

L²1 + d² − L¹ = n×343

p(3,75)² + (2,0)² − 3,75 = n×686 Hz Comme 20000/686 = 29,2 , n est un entier compris entre 1 et 29 pour que les fr´equences obtenues tombent dans le domaine audible. Par cons´equent, les maxima d’intensit´e correspondent aux fr´equences de 686, 1372, ... , 19890 Hz.

4. Ondes stationnaires

Le tuyau ´etant ouvert aux deux extr´emit´es, nous y aurons desventres de d´eplacements.

La longueur de ce tuyau est ainsi un multiple entier de demi-longueurs, puisque la dis- tance entre 2 ventres dans une onde stationnaire est de λ /2 : si L est la longueur du tuyau, λ = 2L / n, n ´etant un entier. Si v est la vitesse du son, les fr´equences de r´esonance sont : f = v

λ = n v 2L.

Application num´erique : avecL = 0,457 m, nous avons f = n344

2·0,457 = n×376,4 Hz.

Pour que la fr´equence se situe entre 1000 et 2000 Hz, nous devons avoir n = 3, 4 et 5 ; les fr´equences correspondantes sont : pour n = 3, f = 3×376,4 = 1129 Hz , pour n = 4, f = 4×376,4 = 1526 Hz , pourn = 5, f = 5×376,4 = 1882 Hz.

La figure ci-dessous donne les positions des ventres (V) et des noeuds de vibration pour n = 3, 4 et 5.

V V V V V ^N V

V V V V V

V ^N V ^N V ^N V ^{N N N N N N N N}

L L L

n = 3 n = 4 n = 5

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