Corrig´e de la 11`eme s´erie d’exercices 30 octobre 2012

Physique G´ en´ erale B

Corrig´e de la 11`eme s´erie d’exercices 30 octobre 2012

Machine thermique, entropie

Variation des fonctions d’´ etat U, H, S, F et G

1. Trois machines thermiques

Les trois machines sont des machines de Carnot et ont donc le rendement maximal η = −W

Q₁ = 1−T2

T₁

T₁ et T₂ tant respectivement les temp´eratures des sources chaude et froide. Les rende- ments sont donc :

• Machine a) : η = 1− 400

500 = 0,20

• Machine b) : η = 1− 500

600 = 0,1667

• Machine c) : η = 1− 400

600 = 0,3333

Puisque ces machines puisent la mˆeme quantit´e de chaleur `a la source chaude, celle qui fournira le plus important travail sera la macine c), suivie de la machine a), puis de la machine b).

2. Variation d’entropie

a) Nous pouvons calculer le travail ´echang´e dans la d´etente isotherme r´eversible : puisque nous avons un gaz parfait, pression, volume et temp´erature sont li´es par

P V = NmoleRT et le travail fourni par le gaz dans la d´etente est : W = −

Z V₂ V1

P ·dV = NmoleRT Z V₂

V1

dV

V = −NmoleRTln V2

V1

Dans une d´etente isotherme r´eversible, la variation d’entropie est ∆S =

Z δQ T = Q

T ex- pression dans laquelleQest la chaleur absorb´ee par le gaz (pour maintenir sa temp´erature constante dans une d´etente).

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Le premier principe nous donne aussi ∆U = Q+W, mais nous avons un gaz parfait dont l’´energie interne ne d´epend que de la temp´erature, qui est constante ici : donc

∆U = 0 ⇒ Q = −W ⇒ ∆S = −W

T = NmoleRln V2

V₁

=

∆S = 4 · 8,31 · ln V2

V1

= 4 · 8,31 · ln 2 = 23,04 J/K

Pour un processus adiabatique, il n’y a pas d’´echange de chaleur avec le gaz : δQ = 0, par cons´equent ∆S = 0

3. Calcul de la variation d’entropie dans un m´elange glace-eau

Le gla¸con se r´echauffe de -10^◦C `a 0<sup>◦</sup>C, puis fond et la masse d’eau qui en r´esulte se r´echauffe jusqu’`a la temp´erature du lac qui est de 10^◦C.

• Dans le processus de r´echauffement du gla¸con, ce dernier re¸coit une quantit´e de chaleur δQ quand sa temp´erature change de dT : δQ = mcglacedT, m ´etant la masse du gla¸con (= 10 grammes) et cglace = 2220 J/kg.K la chaleur sp´ecifique de la glace.

La temp´erature initiale Ti du gla¸con est de -10^◦C = 263 K et la temp´erature finale de Tf = 273 K . La variation d’entropie est alors de :

∆Sglace,1 =

Z δQ

T = mcglace

Z T_f Ti

dT

T = mcglacelnTf

Ti

= 0,01·2220 ln 273

263

= 0.828 J/K

• Fonte du gla¸con : ce processus est isotherme. La chaleur re¸cue par le gla¸con est de m LF, LF ´etant la chaleur latente de fusion de la glace. Par cons´equent :

∆Sglace,2 = Q

T = m LF

T = 0.01 · 333×10³

273 = 12,20 J/K

•R´echauffement de 10 grammes d’eau `a 0<sup>◦</sup>C jusqu’`a 15^◦C : comme pour le r´echauffement du gla¸con, le changement d’entropie est de

∆Seau,3 = mceaulnTf

Ti

= 0.01 · 4190 ln 288

273

= 2,24 J/K

Le changement total d’entropie du gla¸con et de la quantit´e d’eau qu’il est devenu est de

∆Sglace,eau = 0,828 J/K + 12,20 J/K + 2,24 J/K = 15,27 J/K

Il nous faut maintenant calculer la variation d’entropie du lac. Nous ne pensons pas que la temp´erature de ce lac varie de mani`ere significative : sa variation d’entropie est alors de ∆S = Qlac

T o`u Qlac est la chaleur totale que le lac a c´ed´e au gla¸con dans les trois

´etapes pr´ec´edemment trait´ees.

• R´echauffement du gla¸con : le lac a fourni Qlac,1 = −mcglace ∆T

|{z}

= (273−263)

= −222 J

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• Fonte de la glace :

Q_lac,2 = −mLF = −0.01 · 333×10³ = −3,33×10³J

• R´echauffement de 10 grammes d’eau : Qlac,3 = −mcglace ∆T

|{z}

= (288−273)

= −629 J La chaleur totale c’ed´ee par le lac est donc :

Q = −222 J−3,33×10³J−629 J = −4,181×10³J La variation d’entropie du lac est alors :

∆Slac = −4,181×10³

288 = −14,51 J/k La variation d’entropie du lac et du gla¸con est donc :

∆S = ∆Sglace,eau+ ∆Slac = 15,27−14,51 = 0.76 J/K

Nous avons une variation positive de l’entropie car nous sommes pass´e d’un ´etat ordonn´e (le gla¸con `a -10<sup>◦</sup>C) `a un ´etat plus d´esordonn´e (l’eau du lac et celui du gla¸con fondu `a +15^◦C).

4. Calcul de variations des fonctions d’´etat dans une d´etente isotherme d’un gaz parfait.

– Energie interne U. Cette fonction d’´etat, pour un gaz parfait, ne d´epend que de la temp´erature du gaz : comme nous avons ici une d´etente isotherme, ∆U = 0.

– Enthalpie H. Partons de la d´efinition de l’enthalpie H = U+P V , par cons´equent :

∆H = ∆U

|{z}= 0

+ ∆ (P V) . Mais P V = nmoleRT = cst puisque T = cst . Donc

∆H = 0.

– Entropie S. ∆S = Q T =

|{z}

cf.cours

NklnV2

V₁ = nmoleRlnV2

V₁ . Donc :

∆S = RlnV2

V₁ = R ln 100 = 38,2874 J·K⁻¹ pour une mole.

– Energie libre F. Partons de la d´efinition de l’´energie libre F = U − T S ⇒ ∆F = ∆U

|{z}

= 0

−∆(T S) = −T∆S − S ∆T

|{z}

= 0

= −T ∆S

`a T = 25^◦C = 298 K = cst, nous obtenons ∆F = −11,409 kJ pour une mole.

– Enthalpie libre (´energie de Gibbs) G. Nous avons de la mˆeme fa¸con : G = H − T S ⇒ ∆G = ∆H

|{z}

= 0

−∆(T S) = −T∆S − S ∆T

|{z}

= 0

= −T ∆S par cons´equent, `aT = 25^◦C = 298 K = cst, ∆G = −11,409 kJ pour une mole.

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