1 Équation du second degré

Texte intégral

(1)Seconde S. es. L’Oasis Des Mathématiques. Équations du second degré. 1.1 Reconnaissance. Ma thé ma tiq u. 1 Équation du second degré. On appelle équation du second degré toute égalité de la forme ax 2 + bx + c = 0 avec a 6= 0. • Exemple * −3x 2 − 7x − 5 = 0 x2 − 7 = 0 −2x 2 + 3x = 0 * −x 2 + 3x = −3 x2 + 7 = 0 x 2 − 3x = 0 • Autres exemples * 5x 2 − x = 0 * (x + 2)2 = 9 * x 2 − 6x + 7 = 0 * 2(x − 5)2 = 0 * (3x + 2)2 − (x − 5)2 = 0 * x 2 − 6x + 9 = 0. 1.2 Racines d’un trinôme du second degré. On appelle racine du trinôme ax 2 + bx + c avec a 6= 0, toute solution de l’équation ax 2 + bx + c = 0 avec a 6= 0. Le nombre ∆ = b 2 − 4ac est appelé discriminant du trinôme ax 2 + bx + c. Exemple Calculer le discriminant des trinômes suivants : * −2x 2 − 3x + 5 * −x 2 + x + 2 * x 2 − 3x + 2. L’o asi sd es. 1.3 Forme canonique d’un trinôme du second degré. Soit P(x) = ax 2 +Ãbx + c, un trinôme ! Ã du second degré ! ; bx c bx c ax 2 + bx + c = a x 2 + + = a x2 + 2 × + a a 2a a Ã !2 b bx b 2 Or x + = x2 + 2 × + . 2a 2a 4a 2 Ã !2 bx bx b b2 2 2 Ce qui donne alors : x + 2 × =x + = x+ − 2. 2a a 2a 4a On trouve donc : "Ã !2 # "Ã !2 # b b2 c b b 2 − 4ac P(x) = a x + − 2+ =a x+ − 2a 4a a 2a 4a 2 En posant ∆ = b 2 − 4ac, l’égalité devient :. P(x) = a. boubacarmane.jimdo.com. "Ã x+. b 2a. page : 1. !2 −. ∆. #. 4a 2. Boubacar MANÉ.

(2) Seconde S. Ma thé ma tiq u. L’écriture ax 2 + bx + c est la forme développée du trinôme. !2 # "Ã ∆ b L’écriture a x + − 2 est la forme canonique du trinôme. 2a 4a. es. L’Oasis Des Mathématiques. 1.4 Factorisation d’un trinôme du second degré. Soit P(x) = ax 2 + bx + c, un trinôme du second degré ; "Ã !2 # b ∆ ¡p ¢2 P(x) = a x + − 2 , Si ∆ ≥ 0, on peut alors écrire que : ∆ = ∆ 2a 4a Ã Ã !2 ¡p ¢2  !2 Ã p !2  b b ∆ ∆  ⇔ ax 2 + bx + c = a  x +  − − Ce qui donne ax 2 + bx + c = a  x + 2a 4a 2 2a 2a p !Ã p ! Ã ∆ b ∆ b − x+ + ⇔ ax 2 + bx + c = a x + 2a 2a 2a 2a p !Ã p ! Ã − b ∆ − b ∆ ⇔ ax 2 + bx + c = a x − − x− + 2a 2a 2a 2a p !Ã p ! Ã −b − ∆ −b + ∆ ⇔ ax 2 + bx + c = a x − x− 2a 2a On a donc : p !Ã p ! Ã −b − ∆ −b + ∆ 2 x− Si ∆ ≥ 0, ax + bx + c = a x − 2a 2a p Si ∆ < 0, ∆ n’est pas définie et le trinôme n’est pas factorisable.. 1.5 Résolution d’équations du second degré Ã. p !Ã −b − ∆. p ! −b + ∆. •Si ∆ > 0, ax + bx + c = a x − x− 2a 2a p !Ã p ! Ã −b − ∆ −b + ∆ ax 2 + bx + c = 0 ⇔ a x − x− =0 2a 2a p p −b − ∆ −b + ∆ x1 = ou x 2 = 2a 2a  p  −b − ∆    x =   1 2a ou P(x) = ax 2 + bx + c = 0 si et seulement si S = {x 1 ; x 2 } p    −b + ∆    x2 = 2a p  −b − ∆     x1 =   2a −b ou •Si ∆ = 0, . =⇒ x = x = x = 1 2 0 p  2a  −b + ∆     x2 = 2a Et on aurapcomme solution de l’équation S = {x 0 } •Si ∆ < 0, ∆ n’existe pas et l’équation ax 2 + bx + c = 0 n’admet pas de solution dans R. ∆ < 0 =⇒ S = { } p !Ã p ! Ã − b − ∆ − b + ∆ L’écriture ax 2 + bx + c = a x − x− 2a 2a. L’o asi sd es. 2. boubacarmane.jimdo.com. page : 2. Boubacar MANÉ.

(3) Seconde S. es. L’Oasis Des Mathématiques. Peut être remplacé par :. Ma thé ma tiq u. • ax 2 + bx + c = a (x − x 1 ) (x − x 2 ) si ∆ > 0 • ax 2 + bx + c = a (x − x 0 ) (x − x 0 ) si ∆ = 0 On obtient ainsi une factorisation du trinôme du second degré, pour ∆ > 0 et pour ∆ = 0.. 1.6 Résolution d’inéquations du second degré. Si ∆ > 0, x 1 et x 2 sont les solutions de l’équation ax 2 + bx + c = 0 avec x 1 < x 2 . Pour résoudre l’inéquation ax 2 + bx + c ≥ 0, on peut dresser le tableau ci-dessous : x. x1. −∞. x − x1. −. x − x2. 0. −. (x − x 1 )(x − x 2 ). +. a(x − x 1 )(x − x 2 ). 0. x2. +. +∞. +. −. 0. +. −. 0. +. si g ne d e a 0 si g ne d e − a 0 si g ne d e a. La solution de l’inéquation ax 2 + bx + c ≥ 0 dépend donc du signe de a. Si ∆ = 0, x 0 est la solutions double de l’équation ax 2 + bx + c = 0. Pour résoudre l’inéquation ax 2 + bx + c ≥ 0, on peut dresser le tableau ci-dessous : x. x0. −∞. +∞. x − x0. −. 0. +. x − x0. −. 0. +. (x − x 0 )(x − x 0 ). +. 0. +. a(x − x 0 )(x − x 0 ). si g ne d e a 0 si g ne d e a. L’o asi sd es. La solution de l’inéquation ax 2 + bx + c ≥ 0 dépend donc du signe de a. Si ∆ < 0, l’équation ax 2 + bx + c = 0 n’admet pas de solution dans R. Pour résoudre l’inéquation ax 2 + bx + c ≥ 0, on peut dresser le tableau ci-dessous : x. −∞. +∞ signe de a. ax 2 + bx + c. La solution de l’inéquation ax 2 + bx + c ≥ 0 dépend donc du signe de a.. 1.7 Exercice d’application. 1. On donne les expressions suivantes : • A(x) = −2x 2 + 2x + 12 • B(x) = x 2 − 6x + 9 • C(x) = 2x 2 + 4x + 7. 2. Donner la valeur de a,b, et c de chacun des trinômes A(x), B(x) et C(x).. 3. Résoudre dans R les équations A(x) = 0 ; B(x) = 0 et C(x) = 0. 4. Factoriser si possible A(x) ; B (x) et C (x).. 5. Résoudre dans R les inéquations A(x) ≤ 0 ; B (x) > 0 et C (x) < 0.. boubacarmane.jimdo.com. page : 3. Boubacar MANÉ.

(4) Seconde S. es. L’Oasis Des Mathématiques. 1. Considérons les expressions : • A(x) = −2x 2 + 2x + 12 • B(x) = x 2 − 6x + 9 • C(x) = 2x 2 + 4x + 7. Ma thé ma tiq u. 1.8 Solution. 2. Donnons la valeur de a,b, et c de chacun des trinômes. • Pour A(x) = −2x 2 + 2x + 12, a = −2, b = 2, et c = 12 • Pour B(x) = x 2 − 6x + 9, a = 1, b = −6, et c = 9 • Pour C(x) = 2x 2 + 4x + 7, a = 2, b = 4, et c = 7. 3. Résolvons dans R les équations A(x) = 0 ; B(x) = 0 et C(x) = 0. • Résoudre dans R l’équation A(x) = 0, reviens à résoudre dans R l’équation −2x 2 + 2x + 12 = 0. ∆ = b 2p− 4ac = (2)2 − 4 × (−2) × 12 = 4 + 96 = 100 > 0 p ∆ = 100 p p = 10. − b + ∆ −2 + 10 − b − ∆ −2 − 10 −12 8 = = = 3 et x 2 = = = = −2 x1 = 2a 2 × (−2) −4 2a 2 × (−2) −4 S ={−2 ; 3}. • Résoudre dans R l’équation B(x) = 0, reviens à résoudre dans R l’équation x 2 − 6x + 9 = 0. ∆ = b 2 − 4ac = (−6)2 − 4 × (1) × 9 = 36 − 36 = 0. −b −(−6) 6 x1 = x2 = x0 = = = =3 2a 2×1 2 S ={3} • Résoudre dans R l’équation C(x) = 0, reviens à résoudre dans R l’équation 2x 2 + 4x + 7 = 0. ∆ = b 2 − 4ac = (4)2 − 4 × 2 × 7 = 16 − 56 = −40 < 0. L’équation n’admet donc pas de solution dans R. S = 0 4. Factorisons si possible A(x) ; B (x) et C (x).. L’o asi sd es. • A(x) = 0 si et seulement si x = −2 ou x = 3 ; −2 et 3 sont donc les racines du trinôme A(x). Sa factorisation sera donc de la forme a(x − x 1 )(x − x 2 ), Ce qui donne alors. D’où alors A(x) = −2(x − (−2))(x − 3). A(x) = −2(x + 2)(x − 3). • B (x) = 0 si et seulement si x = 3. 3 est donc la racine double du trinôme B (x). Sa factorisation sera donc de la forme a(x − x 0 )(x − x 0 ). Ce qui donne alors B (x) = 1 × (x − 3)(x − 3). D’où alors B (x) = (x − 3)(x − 3) • L’équation C (x) = 0 n’admet pas de solution dans R . C (x) n’est donc pas factorisable. 5. Résolvons dans R les inéquations A(x) ≤ 0 ; B (x) > 0 et C (x) < 0. • A(x) = 0 si et seulement si x = −2 ou x = 3. −2 et 3 sont donc les racines du trinôme A(x).. boubacarmane.jimdo.com. page : 4. Boubacar MANÉ.

(5) Seconde S. es. L’Oasis Des Mathématiques. Ce qui donne alors le tableau ci-dessous : x. −∞. Ma thé ma tiq u. Le signe de −2x 2 + 2x + 12. 3. −2. −. +. 0. 0. −. La solution de l’inéquation A(x) ≤ 0 est donc : S = ]−∞, −2] ∪ [3, +∞[. • B (x) = 0 si et seulement si x = 3. x = 3 est donc la racine double du trinôme B (x). Ce qui donne alors le tableau ci-dessous : x. −∞. Le signe de x 2 − 6x + 9. +∞. 3. +. +. 0. La solution de l’inéquation B (x) > 0 est donc : S = ]−∞, 3[ ∪ ]3, +∞[. • L’équation C (x) = 0 n’admet pas de solution dans R. Ce qui donne alors le tableau ci-dessous : x. −∞. Le signe de 2x 2 + 4x + 7. +∞. +. La solution de l’inéquation C (x) ≤ 0 est donc :. S = 0. L’o asi sd es. 2 Information • • • • • • • •. Les parties Somme et produits des racines Équations bicarrées Équations avec paramètre m Seront traitées. En Cours particuliers. Vous pouvez prendre contact avec l’auteur sur son site http ://www.boubacarmane.jimdo.com. 3 Auteur • • • • •. Document réalisé avec la classe article de LATEX Par M. Boubacar MANÉ Professeur de Mathématiques Au Lycée De Vélingara boubacarmane2@gmail.com http ://www.boubacarmane.jimdo.com. boubacarmane.jimdo.com. page : 5. Boubacar MANÉ. +∞.

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