De la topologie algébrique à la reconstitution d'objets à partir de coupes

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To cite this version:

Julien Roupin, Sina Schaeffler, Shouda Wang, Kun Chen, Omid Amini. De la topologie algébrique à la reconstitution d’objets à partir de coupes. [Rapport de recherche] École Polytechnique X. 2020.

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PARTIR DE COUPES

Rapport final PSC

Avril 2020

Julien Roupin, Kun Chen, Shouda Wang, Sina Schaeffler

Tuteur : Omid Amini

1 Introduction 5

1.1 Contexte et objectifs . . . 5

1.2 Motivations et organisation . . . 6

1.3 Présentation rapide . . . 6

1.4 Remerciements . . . 7

2 Topologie Algébrique et Analyse 9 2.1 Structures géométriques . . . 9

2.1.1 Complexe simplicial . . . 9

2.1.2 CW-complexe . . . 11

2.2 Homotopie . . . 11

2.2.1 Le groupe fondamental . . . 12

2.2.2 Les groupes d’homotopie supérieure . . . 19

2.2.3 Vers le théorème de Whitehead . . . 21

2.3 Homologie . . . 23

2.3.1 Homologie simpliciale . . . 23

2.3.2 Homologie singulière : la définition . . . 25

2.3.3 Théorème d’Hurewicz . . . 26

2.3.4 Pour aller plus loin... . . 27

2.4 Analyse et topologie dans l’espace de Banach . . . 31

2.4.1 Théorème de Banach . . . 32

2.4.2 Sous-variété deRⁿ . . . 32

2.4.3 Équations différentielles complexes . . . 34

3 Théorie de Morse 39 3.1 Théorie de Morse classique . . . 39

3.1.1 Point critique . . . 39

3.1.2 Types homotopiques . . . 42

3.2 Théorie de Morse discrète . . . 44

3.2.1 Définitions et notations . . . 45

3.2.2 Définition des fonctions de Morse . . . 45

3.2.3 Complexe simplicial de niveau inférieur . . . 46

3.2.4 Effondrement . . . 46

3.2.5 Les théorèmes d’effondrement . . . 48

4.1.1 Objectif . . . 51

4.1.2 Hypothèses générales . . . 52

4.1.3 Méthode de reconstruction . . . 53

4.2 Constructions géométriques . . . 53

4.2.1 Idées principales . . . 54

4.2.2 Condition quantitative naïve . . . 54

4.2.3 Notions géométriques . . . 55

4.2.4 Fonction de relèvement et forme médiane . . . 57

4.2.5 Conditions topologiques vs. conditions quantitatives . . . 57

4.3 Croquis de preuve des théorèmes principaux . . . 58

4.4 Résultats . . . 61

5 Pistes de recherche 63 5.1 Démarche générale de nos recherches . . . 63

5.2 Recherches se reposant sur l’article . . . 63

5.2.1 Problèmes de la généralisation aux dimensions supérieures . . . 63

5.2.2 Contre-exemples en dimension supérieures . . . 65

5.3 Coupes parallèles . . . 65

5.3.1 Notation et Hypothèses . . . 65

5.3.2 Résultat . . . 66

5.3.3 Remarques . . . 68

5.4 Autres pistes . . . 68

5.4.1 Un autre objet intermédiaire . . . 68

5.4.2 Hypothèses simplificatrices intéressantes . . . 69

6 Bibliographie 70

Introduction

1.1 Contexte et objectifs

La reconstitution d’objets à partir de coupes - à première vue cela semble très abstrait. Pourtant, c’est une démarche assez naturelle et fréquente : pour faire un film, on garde les informations à certains instants rapprochés, et le spectateur reconstitue les évènements à partir de ces coupes.

Un biologiste coupe des feuilles en lamelles fines qu’il examine sous le microscope, afin de com- prendre la structure globale de cet organe. Et lors de l’observation d’un enfant dans le ventre de sa mère par ultrasons, une reconstitution à partir des coupes, selon les plans où l’ultrason a donné des informations, est montrée aux parents. Toutes ces utilisations ont en commun qu’on ne cherche pas à réunir les parties d’un total coupé, mais qu’on cherche à reconstituer une image fidèle d’un original inaccessible (par exemple caché à l’intérieur de la feuille, ou dans le temps continu entre les scènes), à partir de son image sur les coupes dont on dispose. Le dernier cas est, en outre, différent des autres car les coupes ne sont pas parallèles comme elles le sont dans les deux exemples précédents.

Ainsi il est clair que la reconstitution d’objets à partir de coupes, pas nécessairement parallèles, est un procédé fréquent dans les sciences comme dans les arts. Il pourrait sembler difficile et non nécessaire de mathématiser ce problème. Cependant, pour qu’une reconstitution ressemble à l’objet de départ, il faut qu’on définisse quelle forme de ressemblance on attend. Ensuite, il est intuitivement clair qu’il y a des conditions sur le nombre et la répartition des coupes en fonction de l’objet reconstitué ressemble, de la manière voulue, à l’objet de départ. Et c’est ici que les mathématiques peuvent servir : elles peuvent, en modélisant précisément les objets, les coupes, la reconstitution et les objectifs de ressemblance, permettre de trouver des conditions suffisantes sur les coupes sous lesquelles la ressemblance est garantie.

Notre objectif était donc de comprendre et de rendre abordable les travaux mathématiques sur ce sujet. Pour cela, nous commencerons par une introduction générale des notions de topologie et d’analyse utilisées. Ensuite, nous expliquerons les résultats des recherches mathématiques sur le sujet. On se concentrera pour cela sur un article traitant le problème avec des coupes non- parallèles en dimension 3, tout en présentant aussi une étude personnelle des coupes parallèles.

Enfin on donnera quelques pistes issues de nos réflexions pour aider ceux qui voudront continuer à chercher une généralisation de ces résultats.

1.2 Motivations et organisation

De nombreux excellents ouvrages de topologie algébrique existent, comme celui de A. Hatcher [10]. Notre mémoire n’est toutefois pas une réécriture des classiques, parce que nous l’avons écrit pour présenter ce domaine de manière plus adaptée au niveau supérieur ou égal à la fin de licence.

De plus, il présente les théories de Morse classique et discrète, qui partagent le même esprit mais fonctionnent sur des objets essentiellement différents. Cela donnera aux lecteurs une idée des analogies présentes dans les mathématiques de nos jours.

Dans un second temps, cette introduction détaillée permettra d’approcher une étude récente d’un problème de tomographie géométrique traité par notre tuteur Omid Amini et ses collègues dans [1], qui consiste en la recherche de garanties topologiques sur la qualité de la reconstitu- tion d’objets à partir de coupes en dimension trois. Cette application montrera l’utilité des théories présentées et la façon dont un problème de pratique se transforme en un problème de mathématiques. Finalement, on proposera des pistes de recherche pour une généralisation de ces résultats à d’autres dimensions.

1.3 Présentation rapide

• Pré-requis

I Niveau de mathématiques requis : début d’école d’ingénieur ou de master I Sont supposées connues les notions :

— d’algèbre générale

— d’algèbre linéaire

— de topologie élémentaire

— d’analyse élémentaire

• Structure générale

I Introduction à la topologie algébrique et à quelques notions d’analyses

I Étude d’un article traitant de la reconstitution d’objets à partir de coupes en 3D

• Source clef

I Geometric Tomography with Topological Guarantees de Omid Amini, Jean-Daniel Boissonnat, Pooran Memari publié en ligne le 26 September 2013

1.4 Remerciements

Nous aimerions commencer par remercier notre tuteur de PSC, Omid Amini, qui nous a guidé durant toutes ces recherches sur un sujet passionnant et très formateur.

Javier Fresán, notre coordinateur de PSC, fut également un excellent soutien, notamment pour l’organisation de notre travail, et ses réunions furent toujours très productives.

Enfin, nous aimerions remercier tous nos enseignants de l’École Polytechnique, dont les cours ont constitué des bases solides pour pouvoir effectuer ce projet.

Topologie Algébrique et Analyse

Dans ce chapitre, nous introduisons les notions, théories et concepts utilisés dans les parties suivantes. On présentera donc d’abord les structures de CW-complexe et complexe simplicial.

Ensuite on donnera une courte introduction aux théories d’homotopie et d’homologie, qui sont des notions clés de la topologie algébrique. Enfin, précisera quelques notions de topologie et calcul différentiel dans un espace de Banach.

2.1 Structures géométriques

Nous présentons dans cette première section deux objets géométriques : le complexe simplicial et le CW-complexe dont les propriétés topologiques seront étudiées dans la suite. Le premier n’admet qu’une structure combinatoire alors que le deuxième n’admet qu’une structure topo- logique. Mais nous verrons que nous pourrons tout de même définir respectivement les groupes d’homologie et les groupes d’homotopie pour tous les deux de façon similaire.

2.1.1 Complexe simplicial

2.1.1.1 Définition

Intuitivement, un complexe simplicial est une généralisation naturelle des graphes : on part d’un ensemble de sommets, on peut ensuite placer des arêtes entre deux sommets, et on peut ensuite placer un triangle entre trois arêtes, puis un tétraèdre entre quatre triangles, et ainsi de suite, même si visualiser en dimension supérieure devient alors difficile.

Mais ici on ne se concentre que sur l’aspect combinatoire des objets, c’est-à-dire qu’on oublie la façon dont ces objet sont placés dansRⁿ, mais on garde les notions de sommets, d’arêtes, de triangles, etc. On garde également les relations entre ces sous-objets : un tel sommet appartient à une telle arête et une telle arête appartient à un tel triangle, etc.

Définition 2.1.1 (Complexe Simplicial) On considère K0 qui va représenter un ensemble de k sommets, et qui n’est que l’ensemble J1;kK = {1,2,· · ·, k}. On note K_n l’ensemble des arêtes pour n= 1, l’ensemble des triangles pour n= 2, etc. Ils satisfont :

— pour n >0,K_n ⊂S_n, avec S_n l’ensemble de tous les sous-ensembles de cardinal n deK₀

— pour tout σ∈K_n, tous les sous-ensembles strictes de σ appartiennent à ^Sn−1_i=0 K_i.

On note K = ^Sk_i=0K_i, on appelle K un complexe simplicial de dimension inférieur à k, on nomme simplexe tout σ ∈K, et on dit queτ ∈K est une face deσ si et seulement si τ ⊂σ et τ 6=σ.

Il ne faut pas avoir peur de cette définition, car l’idée est assez simple : on construit des objets de dimension de plus en plus grande, avec la condition que toutes les faces de dimension in- férieurs existent déjà (on ne rajoute pas d’arêtes entre des points qui n’existent pas par exemple).

On va ensuite parler de réalisation géométrique de K : grossièrement, on "dessine" le complexe simplicial dans un espace de dimension suffisante pour ne pas créer des intersections qui n’exis- taient pas dans la structure. L’exemple le plus évident est celui du graphe planaire.

Figure 2.1 – Exemple de complexe simplicial

2.1.1.2 Lemme des faces

On démontre ici encore un résultat général sur les complexes simpliciaux, qui s’applique aussi aux CW-complexes définies plus loin, mais dont la démonstration est beaucoup plus simple le cadre actuel :

Lemme 2.1.2 (Lemme des faces) Soit M un complexe simplicial fini géométrique, K l’en- semble de ses simplexes. Pour indiquer queσ ∈K est de dimensionp, on note σ^(p) ou σ∈K_p. On note≤la relation d’ordre partielle sur les simplexes deK définie par : σ < τ si et seulement siσ est une face de τ, c’est-à-dire si σ(τ.

Soient p∈N^∗ et v^(p−1) < σ^(p) < τ^(p+1). Alors il existe σ^0(p)6=σ tel que v < σ⁰ < τ

Démonstration On av = [s₀, . . . , sn−1],σ = [s₀, . . . , sn],τ = [s₀, . . . , sn+1], quitte à réindexer les sommets, avec n≥1.

Alors, σ⁰ = [s₀, . . . , sn−1, s_n+1] convient.

On va se servir souvent de ce lemme assez intuitif par la suite, surtout dans la partie sur les fonctions de Morse discrètes.

2.1.2 CW-complexe

La notion de CW-complexe peut être comprise comme une généralisation du complexe simpli- cial.

Définition 2.1.3 (Squelette) Un squelette sur un espace topologique X est une suite crois- sante de sous-espaces (X_n)n∈N deX définies ainsi :

— X₀ est un espace discret non vide dit ensemble des sommets

— Supposons X_n construit.

Alors X_n+1 est une union d’images continues de boules fermées de dimension n dont le bord appartient à X_n et l’intérieur est disjoint de X_n. L’image d’une boule est dit une n-cellule.

Pourn ∈N, on appelle X_n unn-squelette.

Définition 2.1.4 (CW-complexe) Soit X un espace topologique.

Un squelette (X_n)n∈NdeX lui confère une structure de CW-complexe si l’union de tous lesX_n recouvre X et qu’un ensemble est fermé dans X si et seulement si son intersection avec chaque X_n est fermée.

Alors, pourn ∈N, appelle X_n le n-squelette du CW-complexe.

Remarque Il existe des espaces topologiques qui n’admettent pas de structure de CW-complexe.

2.2 Homotopie

L’homotopie fournit une méthode pour comparer des espaces topologiques en topologie al- gébrique. Elle contient de nombreux concepts différents : groupes d’homotopie, équivalences homotopiques, etc. Cependant, aucun de ces concepts ne peut être déconnecté de l’homotopie elle-même, qui est par définition une déformation continue entre deux applications.

Définition 2.2.1 (Homotopie) Soit, X et Y deux espaces topologiques, f, g : X →Y deux applications continues.

Une application H :X ×[0,1]→ Y est dit une homotopie entre f et g si elle est continue et telle que H(∗,0) =f et H(∗,1) = g.

Comme indiqué par le programme d’Erlangen de Felix Klein, en géométrie il est important de considérer des invariants. Dans la théorie de l’homotopie, on cherche à trouver des objets, qui peuvent être comme des groupes, qui sont préservés sous l’équivalence homotopique qui sera définie ultérieurement. Une classe d’invariants d’homotopie souvent utilisée qu’on présentera dans la suite est ce qu’on appelle les groupes d’homotopie (π_n)^∞_n=1, où chaque π_n correspond, intuitivement, au nombre de trous de dimension n que comporte une sous-variété.

Pour traiter le problème de reconstitution des objets à partir des coupes, comme c’est un des paramètres sur lesquels on espère trouver des similitudes entre l’objet original et notre objet reconstitué, nous devons définir cette notion précisément et dont nous devons explorer les bases, ce que nous ferons ici.

Cependant, vu le format de ce texte, il n’est ni possible ni utile de faire plus qu’un introduc- tion à l’homotopie. Pour approfondir, nous renvoyons le lecteur intéressé à l’ouvrage [10], qui a largement inspiré cette partie.

2.2.1 Le groupe fondamental

Pour permettre une bonne compréhension des bases de l’homotopie, nous commençons par l’étude du groupe fondamental (le premier groupe d’homotopie), car la visualisation et les démonstrations sont plus simples dans ce cas.

2.2.1.1 Définitions

Pour toute la suite, X sera un espace topologique fixé, c’est-à-dire un ensemble muni d’une collection d’ouverts.

Définition 2.2.2 (Chemin) Un chemin dansXest une fonction continue du segment [0,1]⊂ R dans X.

Définition 2.2.3 (Lacet) Un lacet est un chemin f tel que f(0) = f(1). Le point f(0) est appelé le point de base du lacet.

Définition 2.2.4 (Composition de chemins) Soientf1, f2deux chemins de X tels quef1(1) = f₂(0). Alors leur composée, notée f₁◦f₂ est le cheminf à valeurs dansX défini par : Pour tout x∈[0,1], si x6 ¹₂, f(x) =f₁(2x),et si x> ¹₂, f(x) =f₁(2x−1).

Démonstration Montrons que la formule donnée pour f définit bien un chemin. Vu que f₁(1) = f₂(0) par hypothèse, f est bien défini en ¹₂. Comme f est composition de foncions continues à valeurs dans X sur chacun des segments [0,¹₂] et [0,¹₂], f est continue à valeurs dans X sur [0,1]. Donc f est un chemin dans X.

Définition 2.2.5 (Composition des lacets) Pour deux lacetsf1, f2 de X de même point de base (doncf₁(1) =f₂(0)), on définit leur composéef₁◦f₂ comme leur composition en tant que chemins.

On remarque que la composée de deux lacets de X de point de base a est un lacet de X de point de basea.

Démonstration La composée de deux lacets est un chemin dans X, car c’est une composée de chemins. Reste à montrer que c’est un lacet basé en a. Or, si on note f la composée des lacetsf₁ etf₂ basés en a, alorsf(0) =f₁(0) =a =f₂(1) =f(1) par définition de la composée, donc f est un lacet basé en a.

Définition 2.2.6 (Homotopie de chemins) Soit f : [0,1]× [0,1] −→ X une application dans un espace topologique X. Alors f est une homotopie si f(0,∗) et f(1,∗) sont constants (les points aux bouts sont fixés), etf est continue.

Deux chemins f₀ et f₁ tels que f₀(0) = f₁(0) et f₀(1) = f₁(1) sont homotopes s’il existe une homotopie de chemins f telle que f(∗,0) =f₀ et f(∗,1) =f₁.

Définition 2.2.7 (Homotopie de lacets) Soitfune homotopie de chemins tells quef(∗,0) = f(∗,1). Alors f est une homotopie de lacets.

Définition 2.2.8 (Classes d’homotopie des lacets) On dit que deux lacets de X basés en un même point a de X sont homotopes dans X s’il existe une homotopie de lacets à valeurs dans X entre eux. Cela définit une relation d’équivalence sur l’ensemble des lacets dansX basés ena, dont les classes d’équivalence sont les classes d’homotopie.

Exemple Dans la figure 2.2, les trois premiers lacets ne sont pas homotopes deux à deux, mais les deux derniers le sont.

Démonstration Notons γEβ si γ et β sont deux lacets de X basés en a homotopiquement équivalents. Montrons que E est une relation d’équivalence :

Réflexivité

Soit β un lacet dans X basé en a et B : [0,1]× [0,1] −→ X telle que pour tout x, y ∈ [0,1]², B(x, y) = β(y). Alors B est une homotopie de lacets telle que B(1,∗) = β = B(0,∗).

DoncβEβ.

Symétrie

Soientβ etγdeux lacets dansXbasés enatels queβEγpar l’homotopief telle quef(0,∗) = β etf(1,∗) = γ. Soitg : [0,1]×[0,1]−→X telle que pour toutx, y ∈[0,1]²,g(x, y) = f(1−x, y).

Alorsg est une homotopie de lacets telle queg(0,∗) =β et g(1,∗) = γ. Donc γEβ.

Transitivité

Soient α, β et γ trois lacets dans X basés en a tels que αEβ par l’homotopie f₁ telle que f₁(0,∗) = α et f₁(1,∗) = β et βEγ par l’homotopie f₂ telle que f₂(0,∗) = β et f₂(1,∗) = γ.

Soit f : [0,1]×[0,1] −→ X telle que pour tout x, y ∈ [0,1]², f(x, y) = f1(2x, y) si x 6 ¹₂ et

Figure 2.2 – Exemple de lacets dans le même espace X délimité par les traits noirs f(x, y) = f₂(2x−1, y) sinon. Alors f est une homotopie de lacets et f(0,∗) = α, f(¹₂,∗) = β et f(1,∗) =γ. Donc αEγ.

Conclusion

Avec ces trois points, E est une relation d’équivalence sur les lacets dans X bases en a et définit donc des classes d’équivalence toutes disjoints et dont la réunion et équivalent à tout cet ensemble.

2.2.1.2 Premières propositions

Proposition 2.2.9 (Composition des classes de lacets homotopes) La composition des lacets définit une loi de composition interne sur l’ensemble des classes d’équivalence homoto- pique des lacets dans X avec un même point de base a.

Démonstration SoientC₁ etC₂deux classes d’équivalence de lacets dansXbasés en un point a deX. Soitf₁, g₁ ∈C₁ etf₂, g₂ ∈C₂. On notef la composée def₁ etf₂ etg celle de g₁ etg₂. Montrons que g et f sont homotopes.

f et g sont des lacets de X basés en a. Il reste donc à montrer qu’ils sont reliés par une homotopie. Soith₁ une homotopie reliant f₁ à g₁ et h₂ celle reliant f₂ etg₂.

On définit H : [0,1]² −→ X par : pour tout x, y ∈ [0,1]², si y 6 ¹₂, h(x, y) = h₁(x,2y), et si y> ¹₂,h(x, y) = h₂(x,2y−1).

Comme pour tout x∈ [0,1], h₁(x,0) =h₁(x,1) =a =h₂(x,0) =h₂(x,1), h est bien définie et h(x,0) = h(x,1) = a pour toutx∈[0,1].

En outre, h est continue sur [0,1]×[0,¹₂] et [0,1]×[¹₂,1] par composition de tels application, donc h est continue sur [0,1]². On peut donc conclure que h est une homotopie de lacets à valeurs dans x basés en a. Comme h(0,∗) = f et h(1,∗) =g, f et g sont donc homotopes et appartiennent à la même classe d’homotopie.

La classe de la composée d’éléments de deux classes d’homotopie ne dépend donc pas des représentants choisis. En notant Ω l’ensemble des classes d’homotopie de lacets de X basés en a, on peut donc définir . : Ω² −→ Ω qui à deux classes C₁ et C₂ de Ω associe la classe C₁.C₂ des composées de leurs éléments. Donc◦ est une loi de composition interne de Ω.

Proposition 2.2.10 (Groupe fondamental) L’ensemble Ω des classes d’équivalence de la- cets homotopes deX de point de basea∈X forment un groupe pour la composition des classes de lacets (loi que l’on va noter◦), dont le neutre est la classe du lacet constant ena. On appelle ce groupe le groupe fondamental de (X, a) et le note comme π(X, a).

Démonstration On a montré dans la proposition précédente que◦est une loi de composition interne sur Ω. Il reste donc à montrer que ◦est associatif, qu’il existe un neutre et que chaque élément possède un inverse.

Associativité

Soient C1, C2, C3 ∈ Ω. Soient f, g et j des représentants de C1, C2 et C3 respectivement. En notant ◦ l’opération composée des lacets, il suffit de montrer que (f◦g)◦j et f◦(g◦j) pour montrer l’associativité de◦.

Or on obtient ainsi :

x∈ (f ◦g)◦j(x) f◦(g◦j) (x) [0,¹₄] f(4x) f(2x) [¹₄,¹₂] g(2(2x−1)) f(2x) [¹₂,³₄] j(2x−1) g(2(2x)−1) [¹₄,1] j(2x−1) j(2(2x−1)−1)

Définissonsl : [0,1]−→[0,1] tel que pourx∈[0,1], six6 ¹₂,l(x) = ^x₂, six∈[¹₂,³₄],l(x) =x−¹₄ et si x> ³₄, l(x) = 2x−1. En ¹₂, ^x₂ =x− ¹₄ = ¹₄ et en ³₄, x− ¹₄ = 2x−1 = ¹₂, donc l est bien définie et continue, et on constate que pour toutx∈[0,1], (f ◦g)◦j(l(x)) =f ◦(g ◦j) (x).

Pour obtenir une homotopie reliant (f ◦g)◦j etf ◦(g◦j) dans x, il suffit donc d’en trouver une entre l et l’identité id dans [0,1], ce qui est trivial. Par composition, il existe donc une homotopie de lacets dans X entre (f◦g)◦j et f◦(g◦j).

On peut donc conclure que (f ◦g)◦j et f ◦(g ◦j) sont homotopes. Par conséquent, ils ap- partiennent à la même classe C, de sorte que (C₁ ◦C2)◦C3 =C =C1◦(C₂ ◦C3). Donc ◦ est

associative.

Neutre

Soit C ∈Ω et f ∈C un représentant de C. Notons α le lacet constant égal àa. Alors a est un lacet de X basé en a. Notons g la composition de f etα, qui est bien définie car les deux sont des lacets dans X basés en a. Alors, par définition de la composition, pour tout x ∈ [0,1], si x6 ¹₂, g(x) =f(2x) et g(x) =a sinon.

On cherche alors à montrer que f etg sont homotopes. Soith: [0,1]² −→X définie par : pour tout x, y ∈[0,1]², h(x, y) =f((1 +x)y) si y6 _1+x¹ eth(x, y) = a sinon.

Alors h est continue sur [0,1] et h(0,∗) = f et h(1,∗) = g. Donc f et g sont homotopes, ce qui montre que la composée de C et la classe de α estc. Par conséquent, la classe de α est un neutre à droite donc, par associativité de ◦, le neutre de la loi ◦. On note cette classe neutre e dans la suite de la preuve.

Inverses

Soit C ∈Ω et f ∈C. On définitg : [0,1]→X tel que pour toutx∈[0,1],g(x) = f(1−x)◦g est donc continue par composition, et g(1) =g(0) =a. Donc g est un lacet deX basé en a On note C_g sa classe d’équivalence.

Soit i la composée de f et g. On a donc, pour x ∈ [0,¹₂], i(x) = f(2x) et pour x ∈ [¹₂,1], i(x) = g(2x−1). Or par définition de g,x∈[0,¹₂],i(x) = f(2x) =g(1−2x) =i(1−x).

On définit alors h : [0,1]² −→ X telle que pour tout x, y ∈ [0,1]², si y 6 ^x₂, h(x, y) =i(y), si y >1− ^x₂, h(x, y) =i(y) et si y∈[^x₂,1− ^x₂], h(x, y) =i(^x₂).

hest bien définie à cause des propriétés deiexpliqués plus haut, et continue. De plus, pour tout x, y ∈ [0,1]², h(x,0) =a, h(x,1) = a, h(0, y) =a eth(1, y) = i(y). Donc h est une homotopie de lacets de X basés ena et i est donc homotope au lacet constant ena.

Donc Cg ◦C = e, et Cg est un inverse à gauche et donc l’inverse de C. Par conséquent, tout élément de Ω admet un inverse pour ◦ dans Ω.

Conclusion

Avec ces 3 points, on peut conclure que (Ω, .) est un groupe. On l’appelle groupe fondamental de (X, a).

Proposition 2.2.11 (Invariance homéomorphe) Un homéomorphisme entre X et Y qui envoie a ∈ X sur b ∈ Y induit un isomorphisme entre les groupes fondamentaux de (X, a) et (Y, b).

Démonstration Soit f un tel homéomorphisme et f⁻¹ sa réciproque. On note A l’ensemble des lacets de (X, a) et B celui de (Y, b).

Lacets

Soit F :A −→B l’application telle que pour tout α∈ A et tout t ∈[0,1], F(α)(t) = f(α(t)).

Par continuité def etα F(α) est continue, et commeαest basé enaet quef(a) = b,F(α)∈B.

Donc F est bien définie.

F est clairement bijective d’inverse F⁻¹ :B −→ A tel que pour tout β ∈B et tout t ∈[0,1], F(β)(t) = f⁻¹(β(t)). On peut vérifier que F⁻¹ est bien définie pour les mêmes raisons que F. Avec leur définition, il est clair que F etF⁻¹ sont réciproques carf etf⁻¹ le sont.

Supposons maintenant queα, γ ∈A sont homotopes dans X. Montrons que dans ce cas, F(α) etF(γ) le sont aussi.

Soit h une homotopie de lacets de X telle que h(0,∗) = α et h(1,∗) = γ. Alors l’application H_b : [0,1]² −→ Y qui à x, y ∈ [0,1] associe f(h(x, y)) est une continue par composition de telles applications. En outre, pour tout x ∈ [0,1], on a h_b(x,0) = f(h(x,0)) = f(a) = b et de même h_b(x,0) = b car h est une homotopie. Et comme h(0,∗) = α et h(1,∗) = γ, on a h_b(0,∗) = F(α) et h_b(1,∗) = F(γ). Donc F conserve l’homotopie, et, par un raisonnement similaire. on remarque que F⁻¹ la conserve aussi.

Classes

Notons C_X etC_Y les ensembles de classes d’homotopie des lacets basés respectivement en a et b deX et Y respectivement.

Avec ce qui précède, on peut définirF :X_C −→C_Y qui a tout classeC ∈(X, a) associe la classe des images parF des éléments deC.F est bijective carF est bijective et respecte l’homotopie autant que sa réciproque, F est bijective d’inverse F⁻¹.

Reste à montrer que F est un morphisme de groupes pour ◦.

Soient C₁, C₂ ∈X_C : Montrons que F(C₁)◦ F(C₂) =F(C₁◦C₂). Soient γ₁ ∈C₁ et γ₂ ∈C₂. Notons ◦ la composition de lacets. On veut montrer que F(γ₁ ◦ γ₂) et F(γ₁) ◦ F(γ₂) sont homotopes.

Soit t ∈ [0,1]. Si t 6 ¹₂, alors F(γ₁ ◦γ₂)(t) = f(γ₁(2t)) et F(γ₁)◦F(γ₂)(t) = f(γ₁(2t)) par définition de ◦. Sit > ¹₂, alors F(γ₁◦γ2)(t) =f(γ₂(2t−1)) etF(γ₁)◦F(γ₂)(t) = f(γ₂(2t−1)) pour la même raison. DoncF(γ₁◦γ₂) = F(γ₁)◦F(γ₂). En considérant leurs classes d’homotopie, on obtientF(C₁)◦ F(C₂) = F(C₁◦C₂).

On a donc montré que F est un morphisme de groupes entre X_C et Y_C. Comme on a déjà montré queF est bijectif, c’est un isomorphisme.

Conclusion

Un homéomorphisme f entre X et Y qui envoie a sur b induit un isomorphisme F entre les groupes d’homotopie de (X, a) et (Y, b).

Proposition 2.2.12 (Groupe fondamental d’un espace connexe par arcs) SiXest connexe par arcs, tous les groupes des classes d’homotopie de lacets pour la composition pour différents points de bases sont isomorphes. Ce groupe est donc unique à isomorphisme près et est nommé le groupe fondamental de X.

Démonstration Soient a, b ∈ X. Notons A l’ensemble des lacets de X basés en a et b l’en- semble des lacets dex basés en b.

Soit l: [0,1]−→X un chemin de a à b. Un tel chemin existe car X est connexe par arcs.

Déplacement d’un point de base

Soit f :A −→B tel que pour tout α∈A, tel que pour t∈ [0,1], si t 6 ¹₄, f(α)(t) =l(1−4t), si t ∈ [¹₄,³₄], f(α)(t) = α(2t − ¹₂) et si t > ³₄, f(α)(t) = l(4t−3). f(α) est bien définie car α(0) = l(0) = a = α(1) et continue sur [0,1]. Comme l(1) = b, f(α) est un lacet basé en b, donc f est bien définie.

Conservation de l’homotopie et définition sur les classes

Soient α, γ ∈ A homotopes par h : [0,1]² −→ X continue tel que h(0,∗) = α et h(1,∗) = γ.

Alors posons h⁰ : [0,1]² −→X tel que pour toutx, y ∈ [0,1]², si y 6 ¹₄, h⁰(x, y) = l(1−4y), si y ∈[¹₄,³₄],h⁰(x, y) =h(x,2y− ¹₂) et si y> ³₄, h⁰(x, y) =l(4y−3). Alors h⁰ est bien définie, car pour tout x ∈ [0,1], h(x,1) = h(x,0) = a = l(0) et continue. Or, par définition de h, h⁰ et f, on a h⁰(1,∗) = f(α) et h⁰(1,∗) = f(γ). Donc f(α) et f(γ) sont homotopes. f conserve donc l’homotopie.

En notant C_A et C_B les ensembles des classes d’homotopie des lacets de X basés en a et b res- pectivement, on peut donc définir F :C_A−→C_B qui a un élément de C_A associe la l’élément de C_B contenant les images par f de ses représentants.

Morphisme de groupes

Notons ◦ la composée de lacets. Soient α, γ ∈ A. Montrons que f(α◦γ) et f(α)◦f(γ). sont homotopes. On a :

x∈ f(α)◦f(γ) (x) f(α◦γ) (x) [0,¹₈] l(1−8x) l(1−4x) [¹₈,¹₄] α(4x− ¹₂) l(1−4x) [¹₄,³₈] α(4x− ¹₂) α(4x−1) [³₈,¹₂] l(8x−3) α(4x−1) [¹₂,⁵₈] l(5−8x) γ(4x−2) [⁵₈,³₄] γ(4x−⁵₂) γ(4x−2) [³₄,⁷₈] γ(4x−⁵₂) l(4x−3) [⁷₈,1] l(8x−7) l(4x−3)

Pour montrer qu’ils sont homotopes, il suffit donc de montrer que le lacet λ : [0,1] −→ x tel que pour t ∈ [0,1], si t 6 ¹₂, λ(t) = l(2t) et si t > ¹₂, λ(t) = l(2−2t) est homotope au lacet constant en a. Or cela est vrai, il suffit de considérer l’application h : [0,1]² −→ X telle que pourx, y ∈[0,1]², siy6 ^x₂ ouy>1−^x₂, alorsh(x, y) =λ(y), et siy∈[^x₂,1−^x₂],h(x, y) =λ(x).

On vérifie à l’aide de la définition de λ que h est bien définie et une homotopie entre λ et le lacet constant en a.

On en déduit que f(α)◦f(γ)f(α◦γ) sont homotopes. Cela implique queF est un morphisme de groupes pour ◦ deC_A dans C_B.

Bijectivité

Pour montrer que F est un isomorphisme, il ne reste qu’à montrer qu’il est bijectif.

Pour cela on en exhibe une réciproque. Comme les hypothèses sur a et b sont symétriques, il existe une application f⁰ définie comme f, mais en échangeant les rôles de a et b et A et B.

Elle a les mêmes propriétés que f par symétrie des hypothèses. On peut donc en déduire un morphisme de groupes F⁰ :C_B −→C_A, défini à partir de f⁰ commeF l’est à partir de f. On montre alors que F⁰ est la réciproque de F. Soit C ∈C_A etα∈C. Montrons que f⁰(f(α)) est homotope àα. On a :

t∈ [0,¹₄] [¹₄,³₈] [³₈,⁵₈] [⁵₈,³₄] [³₄,1]

f⁰(f(α)) (t) l(1−4t) l(3−8t) α(4t− ³₂) l(8t−5) l(4t−3)

On constate alors qu’il suffit que le lacetλ défini dans la partie morphisme de cette preuve soit homotope au lacet constant ena, ce qui a été montré précédemment, pour obtenir que f⁰(f(α)) etα sont homotopes. Comme ils le sont donc, on a montré queF⁰(F(C)) = C. En inversant les rôles dea et b, on obtient par le même raisonnement que pour toutC⁰ ∈C_B, F(F⁰(C⁰)) = C⁰. F et F⁰ sont donc bijections réciproques.

Conclusion :

On a donc montré que les groupes fondamentaux de (X, a) et (X, b) sont isomorphes si X est connexe par arcs.

2.2.1.3 Exemples

Exemples (Groupes fondamentaux) Voici quelques exemples de groupes fondamentaux.

Comme leurs calculs ne sont pas toujours simples, ils sont donnés ici sans justification.

• Cercle :Son groupe fondamental est isomorphe à Z

Le lecteur intéressé pourra se tourner vers [10] pour une démonstration du fait que le groupe fondamental du cercle est isomorphe àZ.

• Disque : Son groupe fondamental est isomorphe à {0}

Ceci se généralise à tout convexe non vide d’un R-espace vectoriel normé. Dans cet exemple et celui qui suit, il suffit de montrer que tout lacet est homotope à un point, ce qui est moins difficile.

• Sphère : Son groupe fondamental est isomorphe à{0}

2.2.2 Les groupes d’homotopie supérieure

Les groupes d’homotopie supérieure sont une généralisation du groupe fondamental. Ils sont définies de manière analogue, en remplaçant le segment [0,1] par ses équivalents en dimension supérieure. Ainsi, le groupe fondamental est le premier groupe d’homotopie.

Vu les fortes ressemblances entre les définitions du groupe fondamental et celles des groupes d’homotopie supérieure, nous entrerons un peu moins dans les détails dans la partie suivante, en particulier dans les démonstrations.

2.2.2.1 Définitions et Notations

Les définitions des groupes d’homotopie supérieure sont analogues à celles nécessaires pour définir le groupe fondamental, qui est le premier groupe d’homotopie. Comme les démonstra- tions sont assez similaires, mais plus compliquées que précédentes, nous ne les donnerons pas ici.

On notera dans la suite :

• n ∈N^∗

• S_n la sphère unité de Rⁿ

• X un espace topologique

• a un point fixé de S_n

Définition 2.2.13 (Classe d’homotopie) Soit b ∈ X et E_n(b) l’ensemble des fonctions de S_n −→X continues qui envoient a surb.

On définit une relation d’équivalence homotopique sur E_n. On dit que f, g∈E_n(b) sont homo- topes s’il existe une application continue

h: S_n×[0,1]−→X telle que ∀s∈S_n, h(s,0) =f(s) et ∀s∈S_n, h(s,1) =g(s).

Les classes d’homotopie de X basées en b sont alors les classes d’équivalence de En(b) pour cette relation d’équivalence.

Définition 2.2.14 (Loi de composition) Soit b ∈ X et E_n(b) l’ensemble des fonctions de S_n −→X continues qui envoient a surb.

Pour définir une loi de composition interne, on fera comme pour le cas de la dimension 1, en partageant la sphère Sⁿ en 2 et utilisant f sur la première moitie et g sur la seconde. La continuité sur la coupure est assurée en utilisant la valeur commune en a.

Formellement, on dispose φune bijection bi-continue entreSⁿ− {a}et ]0; 1[ⁿ. On peut définir : f, g −→ f ◦ g où pour x ∈ Sⁿ − {a}, si φ(x) = (t₁, . . . , t_n) tel que t₁ 6 ¹₂, f ◦ g(x) = f(φ⁻¹(2t₁, t₂, . . . , t_n)), sinon f.g(x) = g(φ⁻¹(2t₁−1, t₂, . . . , t_n)), et f ◦g(a) =f(a) =g(a).

Comme pour le groupe fondamental, cette loi induit une loi de composition interne ◦ sur l’ensemble des classes d’homotopie basées en b, car elle est bien compatible avec la relation d’équivalence d’homotopie.

Définition 2.2.15 (Groupe d’homotopie) Soit b ∈X.

L’ensemble des classes d’homotopie basées en b muni de la loi de composition interne◦ est un groupe qu’on note π_n(X, b).

Le neutre est la classe dont l’application constante égale à b est un représentant.

2.2.2.2 Exemples

Exemples Des cas particuliers couramment étudiés sont les différents groupes d’homotopie des sphères unités en différentes dimensions. Nous donnons ici une table présentant les groupes auxquels ces groupes sont isomorphes. Cette table est extraite de [10].

π₁ π₂ π₃ π₄ π₅ S₁ Z {0} {0} {0} {0}

S₂ {0} Z Z Z/2Z Z/2Z S₃ {0} {0} Z Z/2Z Z/2Z S₄ {0} {0} {0} Z Z/2Z S₅ {0} {0} {0} {0} Z

(2.1)

Remarque On remarque que pourn∈N^∗, les groupesπ_i(S_n) sont nulles sii < n, mais souvent non-nulles si i > n, et isomorphe à Z sin =i.

2.2.2.3 Premières propriétés

Proposition 2.2.16 (Changer le point de base) Si X est connexe par arcs, alors ∀b, c ∈ X, π_n(X, b) est isomorphe à π_n(X, c).

On peut alors noter π_n(X) sans ambiguïté.

Démonstration La démonstration est presque la même que celle de la même proposition pour le groupe fondamental : Il est possible de relier les groupes d’homotopie enb etcdeX par une application qui ajoute aux lacets le chemin de entre les deux points.

Proposition 2.2.17 (Morphismes induits) SoientX etY deux espaces topologiques, munis des points de base x et y respectivement. Soit f : X −→ Y une application continue telle que f(x) =y.

Alors f induit un morphisme de groupes f∗ : π_n(X, x) −→ π_n(Y, y) pour tout n ∈ N^∗. Pour c une classe homotopique de lacets de (X, x), f∗(c) est la classe f∗(c) des lacets de (Y, y) tels qu’un représentant de cette classe est image par f d’un représentant de c, i.e. ∃d∈f(c) tel que d∈f(c).

Démonstration La démonstration est similaire à celle de la même proposition pour le groupe fondamental : Il suffit de vérifier que f∗ est bien définie et un morphisme de groupes, de réciproque f_∗⁻¹, où f⁻¹ est la réciproque de f.

Remarque Les groupes d’homotopie ont encore beaucoup d’autres propriétés, qui dépassent le cadre de ce texte. Certaines d’entre elles n’ont pas d’équivalent dans le groupe fondamental, par exemple les groupes d’homotopie différents du groupe fondamental sont commutatifs.

Cependant, leur calcul pratique est très compliqué et rarement possible.

2.2.3 Vers le théorème de Whitehead

Maintenant que les groupes d’homotopie sont introduits, nous introduirons les notions néces- saires pour présenter un théorème intéressant de la théorie de l’homotopie ici, le théorème de Whitehead. On définira d’abord quelques notions utiles, avant d’énoncer ce théorème.

2.2.3.1 Équivalence homotopique

Définition 2.2.18 (Applications homotopes) Soient X, Y deux espaces topologiques, et f, g :X −→Y deux applications.

f et g sont dites homotopes s’il existe une application h :X ×[0,1]−→ Y continue telle que

∀x∈X, h(x,0) =f(x) et h(x,1) = g(x).

Définition 2.2.19 (Équivalence homotopique) SoientX, Y deux espaces topologiques, avec les points de base x ety.

X et Y sont dits homotopiquement équivalents s’il existe deux applications continues et sur- jectives f :X −→Y etg :Y −→X telles quef ◦g est homotope à id_X etg◦f est homotope à id_Y.

Remarque On remarque que deux espaces homéomorphes sont homotopiquement équivalents (il suffit de considérer un homéomorphisme et son inverse).

Définition 2.2.20 (Équivalence homotopique faible) Soient X, Y deux espaces topolo- giques, avec les points de base x ety.

X etY sont dits faiblement homotopiquement équivalents s’il existe une application continue f :X −→Y telles quef induit un isomorphisme entre πn(X, x) et πn(Y, y) pour tout n ∈N^∗. Remarque L’équivalence homotopique faible est une condition nécessaire pour l’équivalence homotopique, mais pas suffisante dans le cas général, d’où la dénomination.

2.2.3.2 Définition des Rétractions

Définition 2.2.21 (Rétraction) Soit Y un espace topologique, etX un sous-espace topolo- gique de Y.

On appelle rétraction de Y sur X une application continue f :Y −→X telle quef restreint à X est l’identité.

Si une telle application existe, X est un rétract de Y.

Définition 2.2.22 (Rétraction par déformation) Soit Y un espace topologique, et X un sous-espace topologique de Y.

On appelle rétraction par déformation une homotopie entre une rétraction de X sur Y et l’application identité de X.

Si une telle application existe, X est un rétract par déformation de Y.

Définition 2.2.23 (Rétraction forte par déformation) Soit Y un espace topologique, et X un sous-espace topologique de Y.

On appelle rétraction forte par déformation une rétraction par déformation de X sur Y, F : X×[0; 1] →Y, tel queF restreinte à Y ×[0; 1] est égale à l’identité.

Si une telle application existe, X est un rétract par déformation forte deY. 2.2.3.3 Théorème de Whitehead

Théorème 2.2.24 (Whitehead) Si deux CW-complexes connexes sont faiblement homo- topiquement équivalents, alors ils sont homotopiquement équivalents.

Théorème 2.2.25 (Cas particulier du théorème de Whitehead) Soit Y un CW- complexe et X un sous-complexe de Y.

Si X et Y sont connexes et faiblement homotopiquement équivalents par une application f :X −→Y continue et injective, alors X est un rétract par déformation forte de Y.

Remarque Nous nous contentons ici de l’énoncé de ce théorème. Sa démonstration nécessite des connaissances un peu plus poussées de théorie de groupes et l’établissement de quelques lemmes. Le lecteur intéressé pourra trouver la démonstration complète dans [10].

Cependant, ce premier théorème peut donner une idée de la richesse de la théorie de l’homotopie, dont nous n’avons ici à peine poussé la porte d’entrée.

2.3 Homologie

L’homologie est un invariant algébrique que l’on associe à des espaces topologiques. En calculant les groupes d’homologie, on peut distinguer les espaces topologiques à homéomorphisme près.

Dans ce chapitre, on construira des théories différentes d’homologie sur des classes variées d’es- paces topologiques (complexes simpliciaux, CW-complexes), puis on montrera leur équivalence.

On découvrira les méthodes pour calculer des groupes d’homologie. À la fin, on présentera le théorème d’Hurewicz qui s’appliquera à notre recherche.

2.3.1 Homologie simpliciale

Nous pouvons parler de l’homologie des complexe simpliciaux. La définition est relativement simple car elle est de nature combinatoire. On reprend d’abord la notion de complexe simplicial mais avec une interprétation un peu différente. Dans cette section on va définir les complexes simpliciaux dansRⁿ, c’est -à-dire qu’on va demander aux complexes simpliciaux de se placer de manière explicite dansRⁿ. Cela est clairement plus fort ou équivalent à la définition précédente et en fait les deux définitions sont équivalentes, un fait qu’on vous encourage à prouver par vous-même.

Définition 2.3.1 (Simplexe) Un simplexe de dimensionp(p-simplexe) est l’enveloppe convexe dep+ 1 pointss₀, s₁,· · · , s_p dans l’espace euclidienRⁿ, qui sont à position générale (c’est-à-dire que les vecteurss1 −s0,· · · , sp−s0 sont linéairement indépendants). On le note [s₀,· · · , sp].

Les faces sont les sous-simplexes. Son orientation est la signature de la permutation (s₀, s1,· · · , sp).

Il y a donc deux orientations possibles.

Exemple : on note ∆^p := {(x₀, x₁,· · · , x_p) ∈ R^p+1|∀i, x_i ≥ 0 et x₀ +· · ·+x_p = 1}, appelé le p-simplexe standard.

Définition 2.3.2 (Complexe simplicial ) Un complexe simplicial fini est un ensemble fini K de simplexes dans Rⁿ tel que :

1. Toute face d’un simplexe deK appartient également à K.

2. L’intersection non vide de deux simplexes de K est une face des deux.

Remarque Si le complexe simplicial est infini, on impose de plus une condition de finitude locale : chaque point possède d’un voisinage qui ne rencontre qu’un nombre fini de simplexes de K.

Un complexe simplicial (au sens de la première définition) portant une structure purement com- binatoire, il peut être également muni d’une structure topologique (à l’aide de sa représentation dans Rⁿ) grâce à laquelle on peut identifier de nombreux espaces topologiques à ce complexe simplicial.

Définition 2.3.3 Une triangulation d’un espace topologique X est un complexe simplicial K avec un homéomorphisme f :K →X.

Le théorème de Whitehead nous assure que quasiment tous les objets réguliers peuvent avoir une triangulation, c’est-à-dire qu’ils sont aussi simples que des complexes simpliciaux d’un point de vue topologique.

Théorème 2.3.4 (Whitehead, 1940) Toute variété différentiable admet une triangula- tion.

On renvoie le lecteur à la section2.4.2pour la définition de sous-variété deRⁿ, qui représentent déjà toutes les variétés différentiables.

Remarque Ce théorème garantit que la notion de complexe simplicial s’applique à une classe assez grande d’espaces topologiques car les groupes d’homologies d’une variété différentielle peuvent être définis par ceux de sa triangulation. Par ailleurs, Whitehead a démontré, en introduisant une notion plus forte, la PL triangulation (anglais : piecewise-linear triangulation), que toute variété différentiable admet une unique PL triangulation.

2.3.1.1 Les groupes d’homologie

Définition 2.3.5 (L’application bord) Soit K un complexe simplicial.

On note K_p l’ensemble de ses simplexes de dimension p ∈ N et C_p le groupe abélien libre engendré par K_p (penser à ce groupe par analogie avec l’espace vectoriel engendré par une famille de vecteur), appeléle groupe des p−chaînes.

L’application bord est l’application linéaire ∂_p :C_p → C_p−1 défini comme le prolongement par linéarité de :

∂_p[s₀,· · · , s_p] =

n

X

i=0

(−1)ⁱ[s₀,· · ·, si−1, s_i+1,· · · , s_p].

On vérifie que∂² = 0.

De cette façon, on obtient un complexe de chaînes :

· · · →C_p+1 −−→^∂p+1 C_p −^∂→^p Cp−1 → · · ·

Définition 2.3.6 Les groupes d’homologie simpliciale sont les H_p(K) := _Im(∂^Ker(∂p)

p+1), p∈N. Remarque Lorsque p= 0, on pose C₋₁ = 0, alors ∂₀ = 0, Ker(∂₀) =C₀.

Exemple H_p(Sⁿ) = H_p(∂∆ⁿ⁺¹) =







Z, sip= 0 oup=n

0, sinon .

2.3.2 Homologie singulière : la définition

Bien qu’étant un outil efficace, les groupes d’homologie simpliciale ne s’appliquent cependant pas à tous les espaces topologiques intéressants. Pour des espaces topologiques, on généralise la définition des groupes d’homologie simpliciale. Dans cette section, on va définir les groupes d’homologie singulière qui, d’ailleurs, coïncident avec les groupes d’homologie simpliciale pour des espaces admettant une triangulation. Cela nous donnera la possibilité de comprendre le théorème d’Hurewicz avec la plus grande généralité.

2.3.2.1 Les groupes d’homologie

Définition 2.3.7 SoitXun espace topologique. Unp-simplexe singulierdeX est une appli- cation continueσ: ∆^p →X. On note C_p(X) le groupe abélien libre engendré par les simplexes singuliers deX, qu’on appelle le groupe des p−chaînes singulières.

Intuitivement, un simplexe singulier est difficile à visualiser. C’est un plongement du simplexe standard dansX de n’importe quelle manière continue. On n’exige même pas qu’il soit injectif.

Il peut donc être dégénéré. Néanmoins, il est toujours possible de définir ses faces, en restrei- gnant σ à une face de ∆^p, qui est un (p−1)-simplexe singulier. Ainsi, l’application bord

∂_p :C_p(X)→Cp−1(X) peut être définie de façon similaire à ce que l’on vient de définir, et on a encore ∂² = 0.