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Submitted on 1 Jan 1958
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Forme de la fonction d’onde “ de Morse ” et extension de la méthode de M. E. Pillow
Raymond Grandmontagne
To cite this version:
Raymond Grandmontagne. Forme de la fonction d’onde “ de Morse ” et extension de la méthode de M. E. Pillow. J. Phys. Radium, 1958, 19 (2), pp.151-152. �10.1051/jphysrad:01958001902015100�.
�jpa-00235792�
151.
FORME DE LA FONCTION D’ONDE
«DE MORSE
»ET EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. E. PILLOW
Par RAYMOND GRANDMONTAGNE,
Institut de Physique Générale de l’Université de Lyon.
Résumé.
2014On donne le tracé de la fonction d’onde de Morse pour la molécule N+2 et les
nombres quantiques
v =11 et v
=17. On compare
avec unecourbe approchée déduite de la méthode de M. E. Pillow légèrement modifiée.
Abstract.
2014Two forms of the Morse wave function are given for the N+2 molecule with quan- tum numbers v
=11 and v
=17. They are compared with approximate curves drawn according to M. E. Pillow’s method after sligth modifications.
LE JOURNAL
DEPHYSIQUE
ET LERADIUM
TOME19, FÉVRIER 1958,
Introduction.
-P. Morse [1] a donné l’équation
de la fonction d’onde de l’oscillation anharmonique
d’une molécule biatomique dans le cas, devenu
classique, où le potentiel est représenté par :
D. R. Bates [2] a donné quelques dessins de ces
fonctions d’onde pour les nombres quantiques
v
=0 ; 1 ; 2 et diverses molécules. Il est rare de trouver d’autres dessins analogues et surtout pour des nombres quantiques plus élevés. On s’est pro-
posé ici de tracer deux représentations graphiques
des fonctions a’onde de l’ion N+ dans l’état X 2M+-
pour v
=11 et v
=17. On compare ce tracé à celui qui est fourni par 1 a méthode de distorsion d’ondes de M. E. Pillow à laquelle l’auteur a fait
subir quelques modifications.
Méthode de calcul.
-Le principal obstacle au
calcul numérique des fonctions d’onde de Morse,
est l’évaluation du polynôme de Laguerre qui y
figure. On écrit en effet : :.
où Nv est un facteur de normalisation
La difficulté provient du nombre élevé des
«
chiffres perdus » en faisant la somme des termes
du polynôme. Lorsque son degré v dépasse 10’ la précision requise sur le calcul de chaque terme
devient prohibitive.
.
Par le changement de variable, déjà utilisé
dans un précédent travail [4] : z
=A + y avec
A = K - v - 1 on obtient un nouveau polyrôme
en y dont le degré reste v ; mais il se trouve qu’il est exempt de la
«perte de chiffres o du polyrôme
initial. Par exemple pour v
=17 on a cherché une
cinquantaine de points, donc calculé une cinquan-
taine de polynômes avec une perte moyennes de trois chiffres seulement. Les neuf dixièmes des
points sont calculables avec une table de loga-
rithmes à cinq décimales, les autres avec sept déci-
males. Le calcul des exponentielles est sans diffi- culté, et on passe pour finir de z à r.
Résultats.
---On a donc tracé par ce procédé les
courbes reproduites ci-contre. Le but de ce travail étant de comparer ce tracé (qualifié d’exact pour la commodité du langage) avec celui (qualifié d’approximatif) qui a été inspiré par la méthode de M. E. Pillow ; celle-ci a subi deux modifications successives. La première a fait l’objet de la note [4].
Par la suite il a paru impossible de maintenir l’approximation Log (1 + e)
~ epour le calcul de r - re à partir de z. On a donc admi.s, en deu-
xième analyse, que le
«centre » de la fonction d’onde correspondait bien à la valeur :
déjà admise ; mais on a écrit son abscisse
Cette modification entraîne une complication insi- gnifiante de calculs, et doit être employée, non
seulement pour la recherche du
«centre » du
niveau v, mais encore pour le calcul de chacune des distorsions que la méthode comporte Moyennant cette mise au point, on a obtenu les
courbes tracées en pointillé sur le graphique. On
corstate alors,les résultats suivants : :
ZÉRO CENTRAL.
--Une excellente coincidonre du zéro exact et du zéro centralise manifeste. D’ailleurs le calcul de l’abscisse de ce zéro a été poussée au
moyen d’un calcul d’approximation sur le poly-
nôme. Même pour v = 17, la différence d’abscisse n’att,eint pas le dix-millième d’angstrôm. Il est parfaitement impossible de séparer ces points sur
le graphique : leur distance serait de 1/25 de milli-
mètre lorsque la fonction d’onde s’étendrait
sur 35 cm. Étant donnée cette coïncidence on est induit à penser qu’elle peut se retrouver pour des niveaux dépassant beaucoup 17. Ce résultat doit
être -considéré comme la réponse définitive à la
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01958001902015100
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question du « centre » de la fonction d’onde de
Morse, déjà soulevée dans la note [4]. Il justifie
aussi l’adoption de l’expression
(qui n’y avait été démontrée que pour 11 ’assez
faible) pour les niveaux dépassant 10.
ZÉROS LATÉRAUX.
-La coïncidence est bien moins satisfaisante, surtout quand le nombre
quantique s’élève. Cependant l’erreur n’est pas
maximum pour les zéros extrêmes ; mais pour ceux
qui les précédent. Pour u = 111a valeur des zéros
approchés est encore assez voisine des zéros réel pour servir de point de départ pour une méthode
d’approximation.
MAXIMA ET MINIMA.
-L’anharmonicité se
traduit, comme on le sait,.par une diminution de
l’amplitude du premier maximum (ou minimum)
FIG. 1.
-Tracé des fonctions d’onde de N+ pour l’état X 2Fa et les nombres quantiques
v =11
et
v =17 (données Herzberg. 1950).
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