Coupes parallèles

Nous nous intéressons dans cette section au problème de reconstitution lorsque les coupes sont parallèles. Le résultat restreint à dimension 3 est bien entendu moins fort que le résultat obtenu ci-dessus mais on voit apparaître naturellement la théorie de Morse classique. On obtient éga-lement un autre type de forme médiane qui était le point clef dans la démonstration de l’article.

Cette partie est issue de recherches personnelles indépendantes d’autres travaux qui existent à ce sujet.

5.3.1 Notation et Hypothèses

Pendant toute cette partie sur les coupes parallèles,O désigne l’objet original qui est, en terme mathématiques, une sous-variété avec bord deRⁿ, de classeC^∞et de dimensionn.M =∂O est son bord, qui est lui-même une sous-variété (sans bord) de Rⁿ, de classe C^∞ et de dimension n −1. {P} désigne l’ensemble des coupes, qui est sont des hyperplans parallèles de Rⁿ. R désigne l’objet reconstitué.

Pour la fonction de n-ième coordonnée xⁿ:O →R on pose :

O^b_a={s∈ O|a≤xⁿ(s)≤b} etR^b_a ={s ∈ R|a≤xⁿ(s)≤b}. (5.1) Quitte à faire une rotation de l’espace, nous supposons que toutes les coupes sont perpendicu-laires à l’axe xⁿ qu’on note :

P_c={p∈Rⁿ|xⁿ(p) =c}. (5.2)

En supposant que {P} = {P_c1,· · · , P_ck} avec c₁ < c₂ < · · · < c_k, notons l’étalement d’un ensemble de coupes parallèles :

E({P}) = max{c_i−ci−1|i= 2,· · · , k}. (5.3) Nous supposons que la fonction de lan-ième cordonnéexⁿn’admet qu’un nombre fini de points critiques qui sont tous non-dégénérés. On suppose de plus que pour deux points critiques p et q quelconques,xⁿ(p) =xⁿ(q) si et seulement si p=q.

5.3.2 Résultat

En s’inspirant de la théorie de Morse nous allons montrer étape par étape le résultat suivant :

Théorème 5.3.1 Il existe > 0, tel que pour tout ensemble de coupes parallèles {P} tel que E({P})< , l’objet reconstruit R est homotopiquement équivalent à l’objet original O.

Pour cela nous montrons d’abord :

Lemme 5.3.2 Pour tout niveau h fixé, il existe > 0 tel que pour toute paire de coupes parallèles {Pa, Pb} satisfaisant h− < a < h < b < h+, l’objet reconstitué R^b_a et l’objet original O_a^b sont homotopiquement équivalents relativement à O^b_b∪ O^a_a.

Remarque Plus précisément, le résultat veut dire qu’il existe deux fonctions continues f : R^b_a→ O_a^b etg :O_a^b → R^b_a telles que

On peut remarquer une analogie avec deux lacets homotopiquement équivalents ayant le même point de base, O^b_b ∪ O^a_a jouant le rôle du point de base.

Démonstration Nous montrons le résultat en dimension 3, mais la preuve se généralise faci-lement en dimensions supérieures. non-vide. Par ailleurs, O^a_a et O_b^b ont le même nombre de composantes connexes.

Ensuite, notons I_a,b = S ∪S⁰ ∪ (J_a,b ×[a, b]) (observons que cet objet ressemble à la forme médiane qu’on a définit dans section 4.2.4). Alors l’objet reconstitué R^b_a et l’objet originalO^b_a

sont tous les deux homotopiquement équivalents àIa,b (relativement àO^b_b∪ O_a^a). On peut alors conclure.

Cas 2) et 4). Les deux sont en fait symétriques, il s’agit d’une transformation (x, y, z) 7→

(x, y,−z). On ne démontre que le cas 2).

On prend d’abord suffisamment petit pour qu’il n’y a qu’un point critique dans la région x⁻¹₃ ([h−, h+]) (cela est assuré par la dernière hypothèse). Et on se focalise sur la composante connexe S de O^a_b où se trouve ce point critique. Pour les autres composantes connexes, la conclusion a été prouvée dans le premier cas.

Lorsqueest suffisamment petit, on aO_a^a=∅, ce qui prouve queO_b^aetR^a_b peuvent se rétracter àO_b^b(relativement àO^b_b∪O_a^a). Il s’en suit qu’ils sont homotopiquement équivalents relativement àO^b_b∪ O_a^a.

Cas 3). Observons que pour un suffisamment petit, le nombre de composantes connexes de O_b^b est égal à celui de O^a_a plus ou moins un. Les deux cas sont en fait identiques quitte à inverser l’axez : (x, y, z)7→(x, y,−z). Supposons donc que c’est plus un.

Nous avons donc une composante connexeSdeO_a^aet deux composantes connexesS⁰etS⁰⁰deO^b_b de sorte que J_a,b¹ ={p∈R²|(p, a)∈S et (p, b)∈S⁰}etJ_a,b² ={p∈R²|(p, a)∈S et (p, b)∈S⁰⁰} sont non-vides. On définit I_a,b = S ∪S⁰ ∪S⁰⁰ ∪(J_a,b¹ ×[a, b])∪(J_a,b² ×[a, b]). Encore une fois, l’objet reconstitué R^b_a et l’objet original O_a^b sont tous les deux homotopiquement équivalents à I_a,b (relativement àO_b^b∪ O_a^a). On peut alors conclure.

Notons finalement que le résultat se renforce facilement en lemme suivant :

Lemme 5.3.3 Pour tout niveau h fixé, il existe > 0 tel que pour toute paire de coupes parallèles {P_a, P_b} satisfaisant h− < a < b < h+, l’objet reconstitué R^b_a et l’objet original O^b_a sont homotopiquement équivalents relative à O_b^b∪ O^a_a.

Démonstration En effet, il suffit de considérer :h− < a < b < h eth < a < b < h+. Or, dans tous les deux cas, nous revenons au premier cas dans la preuve du lemme 5.3.2 qu’on a déjà traité.

Démonstration (du théorème 5.3.1) Maintenant qu’on a montré le lemme 5.3.3, il suffit d’appliquer un argument de compacité. NotonsQ(h, ) la propriété :

pour toute paire de coupes parallèles {P_a, P_b} satisfaisant h− < a < b < h+, l’objet reconstitué R^b_a et l’objet originalO_a^b sont homotopiquement équivalents relativement à

O_b^b∪ O_a^a.

D’après lelemme 5.3.3, pour tout h, il existe (h)>0 tel queQ(h, (h)) est vraie.

Les intervalles (h− (h), h+(h)) forment bien un recouvrement de z(O) et sa compacité implique qu’il y a en fait un nombre fini d’intervalles (h_i−_i, h_i+_i),i= 1,· · · , N qui couvrent z(O). Quitte à changer l’ordre des intervalles et jeter ceux qui sont inutiles, on suppose que h1−1 < h2−2 < h1+₁ < h3−3 <· · ·< hN+_N. On définit= min{hi−1+_i−1−(hi−i)|i= 2,· · · , N}, qui est justement le dans l’énoncé.

5.3.3 Remarques

5.3.3.1 Pourquoi est-il légitime de poser des hypothèses sur les points critiques Ces hypothèses simplifient la discussion ci-dessus et ne sont pas très contraignantes. En effet, nous pourrons les enlever en utilisant des petites perturbations et en appliquant une rotation à l’espace.

5.3.3.2 Le résultat se généralise pour les coupes quasi-parallèles

On aurait pu prendre d’autre fonction que xⁿ dans la discussion comme ce que l’on a fait pour la théorie de Morse. Dans le cadre le plus général, nous pourrons considérer :

— une sous-variété V de dimension n de Rⁿ, appelée "espace curviligne", dans laquelle vit l’objet original : V ⊇ O,

— une injection de classe C^∞ f :V →Rⁿ. telles que

— f(O) satisfait les hypothèses imposées ultérieurement.

Alors le théorème s’applique sur l’image de l’objet original f(O) et la fonction hauteurxⁿet on obtient l’équivalence homotopique entre l’objet reconstitué et l’image de l’objet original dans Rⁿ. En utilisant le difféomorphisme f on arrive à montrer l’équivalence homotopique entre l’image inverse de l’objet reconstitué et l’objet original dans l’espace curviligne V. Il faut juste remarquer que l’image inverse de l’objet reconstitué dans l’espace curviligne n’est pas tout à fait le même que l’objet reconstitué directement dans V. Mais dans certains cas, coordonnées cylindriques par exemple, nous pourrons montrer qu’ils sont homotopiquement équivalents.