Universit´e du Littoral Cˆote d’Opale Ann´ee universitaire 2010–2011
Licence Biologie 1 `ere ann´ee vendredi 29 octobre 2010
Devoir de Math´ematiques
Formulaire et calculatrice personnelle autoris´es Autres documents non autoris´es
Le bar`eme est `a titre indicatif Dur´ee : 1h30
Exercice 1. (3 points)
Donner le domaine de d´efinition et la d´eriv´ee, en d´etaillant un minimum, des fonctions suivantes : a.f(x) =xcos(x)
b.f(x) = ln(x)1
c.f(x) =arctan(ln(x))
Exercice 2. (5 points)
Le but de cet exercice est l’´etude de la fonctionf(x) = 2 +x3 x2+ 1. a.Donner, en justifiant, le domaine de d´efinition def.
b.Calculer les limites def aux bornes de son domaine de d´efinition. Justifier succintement.
c.Calculer la d´eriv´ee def. D´etailler un minimum.
d.Donner le tableau de variation def.
e.Dessiner une repr´esentation graphique def dans un rep`ere appropri´e.
Exercice 3. (3 points)
R´esoudre dansRles ´equations suivantes : a.2 cos(2x) =√
2 b.e2x+5 = 100
c.arctan(3x+ 2) = π 4 Exercice 4. (5 points)
Dans cet exercice, on posef(x) = (ex−1)2. a.Donner le domaine de d´efinition def.
b.Calculer les limites def aux bornes de son domaine de d´efinition. Justifier succintement.
c.Calculer la d´eriv´ee def. D´etailler un minimum.
d.Donner un intervalle (le plus grand possible) sur lequelf est strictement croissante.
e.Donner l’application r´eciproque defsur cet intervalle, en pr´ecisant son domaine de d´efinition.
Exercice 5. (4 points)
Calculer les int´egrales suivantes : a.R2
0 x3+ 2x+ 1dx.
b.Ry
0(x−1)exdx(on pourra utiliser une int´egration par partie).
c.R1
−1 1
2+2x+x2dx(on pourra faire le changement de variableu=x+ 1).
d.Rπ4
0 (1 + tan2x)2dx(on pourra faire le changement de variableu= tanx).
