 IAC n  n   DNB   

Révisions – Matrices

Exercice 1 : Soit M₃

 

^IR l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels. On donne les

matrices :



















1 0 0

0 1 0

0 0 1

I ,



















0 0 0

0 0 0

0 0 0

O et















  



4 12 5

0 0 1

2 6 4 A

1) a) Calculer A² etA³. En déduire Aⁿ pour tout entier naturel n ≥3.

b) Calculer



^{I A}

 

^{I AA2}



. En déduire que I  A est inversible et déterminer



IA



^1. 2) On donne la matrice























1 1 1

0 1 2

0 0 1

P et on poseBPAP.

a) CalculerP². En déduire que P est inversible et donnerP^1. b) Démontrer que : n,Bⁿ PAⁿP.

c) On pose C  AI. Pour tout entier naturel n, calculer Cⁿen fonction de n, I, A et A². d) En déduire l’écriture explicite de Cⁿ pour tout entier naturel n.

3) On considère trois suites u, v et w définies par : u₀ v₀ w₀ 1 et



































n n n n

n n n

n n n n

w v u

w

v u v

w v u u

n

5 12 5

2 6 3 ,

1 1

1

 .

a) Vérifier que, pour tout n,







































n n n

n n n

w v u C w

v u

1 1 1

puis montrer que, pour tout n ,

































0 0 0

w v u C w v u

n

n n n

. b) En déduire u_n,v_n etw_nen fonction de n.

Exercice 2 : Soit u la suite définie par : u₀ 0, u₁ 1, u₂ 1et pour tout entier n :

n n n

n u u u

u _3  _2  _1 .

Le but de cet exercice est de déterminer la valeur de u_n en fonction de n.

On note pour tout entier n :

















 _



n n n n

u u u

V ₁

2

.

1) a) Déterminer une matrice M telle que pour tout entier n, V_n1 M V_n. b) Démontrer que, pour tout entier n : V_n MⁿV₀.

2) Soit















 



0 1 0

0 0 1

1 1 1

A ,





















1 0 0

0 1 0

0 0 1

D ,



















0 0 0

0 0 0

0 1 0

N et B ND.

a) Déterminer la matrice



















v b y

u a x P

1 1 1

telle queAP PB. b) Montrer que P est inversible.

c) Montrer que APBP^1et en déduire Aⁿ en fonction de Bⁿ. 3) a) Calculer N² et en déduire pour tout entier n la valeur de Nⁿ.

b) En déduire la valeur de Bⁿ en fonction de n.

c) Calculer enfin V_n puis u_n en fonction de n.

Exercice 3 :

On donne les matrices :

























1 6 3

3 4 3

3 6 5 2

A 1 ,



















1 0 0

0 1 0

0 0 1

I ,























1 0 0

0 1 0

0 0 2

D et





















1 1 1

1 0 1

1 1 1 P

Partie I : Étude des puissances entières d’une matrice

1) Montrer que la matrice P est inversible et calculer sa matrice inverse. Vérifier que















 



















1 2 1 2 1 0 0 1

P 1 .

2) a) Donner Dⁿen fonction de n pour tout entier naturel n.

b) En déduire l’expression de



















0 0 1 P 1

Dⁿ en fonction de n.

3) a) Vérifier que APDP^1 puis montrer par récurrence que pour tout entier naturel n :

1

PD P A^{n n} .

b) En déduire l’expression de















 0 0 1

An en fonction de n pour tout entier naturel n.

Partie II : Étude de suites

Les suites(x_n), (y_n) et (z_n) sont définies par les conditions initialesx₀ 1, y₀ 1 et z₀ 0

et par les égalités : pour tout entier naturel n,



















































2 3 3 1 2 3

2 1 2 3 2 3

2 3 3 3 2 5

1 1 1

n n n n

n n n n

n n n n

z y x z

z y x y

z y x x

On pose























 3 1 3

B et pour tout entier naturel n :



















n n n n

z y x

X .

1) Justifier pour tout entier naturel n l’égalité : X_n1  AX_n B relation (1)

2) On se propose de trouver la matrice colonne UM_3,1

 

IR telle que : U  AUB relation (2) a) Montrer que la relation (2) équivaut à



I A



U B.

b) Calculer la matrice A



I A



. En déduire que : 2U  AB, puis que

















 0 1 0 U .

3) a) A l’aide des relations (1) et (2) , montrer que : X_n1U  A



X_n U



.

b) En déduire, par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a : X_n U  Aⁿ



X₀ U



. c) En utilisant l’expression obtenue dans la partie A, question 3)b), calculer x_n,y_n et z_n, en

fonction de n.