1S VERTE 2016-2017 DEVOIRS DE MATHEMATIQUES SUJETS

(1)

1S VERTE 2016-2017

DEVOIRS DE MATHEMATIQUES SUJETS

DV 13/09/2016 page 2 DV 27/09/2016 page 3 DS 19/10/2016 page 4 DV 16/11/2016 page 7 DS 23/11/2016 page 8 DV 02/12/2016 page 11 DS 04/01/2017 page 12 DV 12/01/2017 page 15 DV 26/01/2017 page 16 DS 08/02/2017 page 18 DV 07/03/2017 page 21 DS 29/03/2017 page 23 DV 13/04/2016 page 26 DS 10/05/2017 page 27 DV 23/05/2017 page 32

(2)

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 13/09/2016 ½ HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

EXERCICE I : (5 points)

On considère la fonction définie sur ]2 ; +∞[, on a : = 3 +

En considérant deux réels et , déterminer le sens de variation de cette fonction sur ]2 ; +∞[

EXERCICE II : (12 points)

1. Compléter ci-dessous sans justifier.

Encadrer au mieux à l’aide du sens de variation des fonctions de référence.

a) si −5 ≤ ≤ 0 , alors ………. ² ………....

b) si ≤ ≤ , alors ………..…. ………

c) si −4 ≤ ≤ 2 , alors …………... ² ………..

d) si −2 ≤ ≤ 2 , alors ………. ……….….

2. a. Sachant que ∈ [1 ; 5 ], encadrez au mieux.

= 1

− − 3 = − + 4

2. b. Ecrire = « avec un seul », puis l’encadrer au mieux pour ∈ [3 ; 5]. Dans cette question, il est inutile de justifier le sens de variation de la fonction de référence utilisée.

EXERCICE III : (3 points)

On considère une fonction ! définie sur [−5 ; 3 ] et on donne son tableau de variation.

−5 −2 1 3

! 10 4

0 1

Déterminer le sens de variation des fonctions "# $ sur leur ensemble de définition : a) la fonction est définie sur %1 ; 3 & par = _'

b) la fonction $ est définie sur [−2 ; 1] par $ = −4! .

NOM :

(3)

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 27/09/2016 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

1° Résoudre dans les équations :

3 ² + = 4 3 + 7 − 5 = 0 1

9 − 4 + 36 = 0 2° Factoriser = 5 ² − 6 + 1

3° a) Etudier le signe de = − − + 2 b) Résoudre dans l’inéquation : ≤ 0 c) Résoudre dans l’inéquation : > 0 EXERCICE II : (3 points)

Résoudre dans

, | − 5| ≤ 10

. /| − 4| < 3| | < 2 12 3⁴,56"7, 6⁴!2 38ℎé;,

EXERCICE III : ( 4 points)

On considère la fonction définie sur ]4 ; +∞[ par = 1° Montrer que, pour ∈]4 ; +∞[, on a : = 1 − 2° Montrer que la fonction est majorée sur ]4 ; +∞[

EXERCICE IV : (6 points) Les questions 1 et 3 sont à traiter sur cette feuille, sans justification.

On considère la fonction définie sur[−2 ; 2] par = − 3 + 2 Un logiciel de calcul formel donne les informations suivantes :

est strictement croissante sur [−2 ; −1] , strictement décroissante sur [−1 ; 1 ] et strictement croissante sur [1 ; 2].

1° Dresser le tableau de variations.

2° Encadrer au mieux a) pour ∈ [−1 ; 1 ] b) pour ∈[0 ; 2] c) pour ∈<−2 ; = 3° Dresser le tableau de signe de

NOM :

(4)

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S Jaune -Verte 19/10/2016 3Heures UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE - AUCUN DOCUMENT

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

Veillez à rendre un travail propre et écrit lisiblement.

1° Soit la fonction définie sur ℝ par = |2 − 3|

a) Déterminer l’expression de la fonction sans utiliser la valeur absolue.

b) Dresser le tableau de variation de la fonction en justifiant.

2° Résoudre dans ℝ les équations et inéquations suivantes par la méthode de votre choix :

| | = 5 ; |2 − 3| = | + 6| ; |2 | ≤ 5 ; | − 3| ≤ 0,01

EXERCICE II : (4 points) Soit m un réel.

On considère l’équation : − 2; + 3 + ; = 0

Discuter suivant les valeurs du réel ; le nombre de solutions de l’équation dans .

On sait qu’une parabole @ d’équation A = , + . + 8 passe par les points : 0 ; 3 , 1 ; 5 et 2 ; 15 .

1° Ecrire un système de trois équations d’inconnues a, b et c traduisant le fait que les points A, B et C appartiennent à la parabole @.

2° Résoudre le système et donner l’équation de la parabole.

EXERCICE IV : (10 points)

Résoudre dans les équations et inéquations suivantes :

a) 2 + 4 − 30 = 0 (indication : on pensera à poser une variable X) b) 4 + 2 − 6 > 0

c) ^B≤ ^C

(5)

EXERCICE V : (11points)

On considère deux fonctions et $ définies sur par :

4 3 et $ 2 ² 7 5

1° La courbe représentative de la fonction est donnée en annexe.

Par lecture graphique,

a) Dresser le tableau de variation de la fonction . b) Dresser son tableau de signe.

2° a) Déterminer les variations de la fonction $ . Dresser son tableau de variation.

b) Résoudre $ 0

c) Dresser le tableau de signe de $

d) Tracer la courbe représentative _D dans le repère donné en annexe.

3° Etudier, par le calcul, la position relative des courbes _E et _D.

4° En utilisant au mieux les questions précédentes, résoudre : / F 0

$ F 0

EXERCICE VI : (4 points)

Des mathématiques au jardin

Michel doit organiser un carré de jardin de 4;

de côté de la façon suivante :

• Deux espaces plantés en fleurs : le carré AEFG et le triangle HCI.

• Le reste du carré sera semé en gazon.

• L’aire fleurie doit être égale à l’aire engazonnée.

Quelle doit-être la mesure du segment [AE] ? On notera la mesure G.

On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 1 8; près.

(6)

ANNEXE Exercice V

NOM :

(7)

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 15/11/2016 30mn CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

EXERCICE I : (8 points) 1° Lecture graphique :

Pour chacune des droites ci- dessous, déterminer, si possible, :

• un vecteur directeur à coordonnées entières,

• l’équation (réduite),

• le coefficient directeur

• l’ordonnée à l’origine.

Aucune justification n’est demandée.

Droites Vecteur directeur Equation réduite Coefficient directeur Ordonnée à l’origine I_J

I_K I_L I_M

2° Dans ce même repère,

Tracer la droite 6_B d’équation A = −

Tracer la droite 6N passant par −4 ; 2 et de coefficient directeur . Calculer l’ordonnée à l’origine de 6N. EXERCICE II : (12 points)

Dans un repère orthonormé, on donne 2 ; 3 8; 1 1° Déterminer une équation cartésienne de la

droite .

2° On considère la droite Δ d’équation 2 5A 1 0. 2°a) Tracer la droite Δ

2° b) Déterminer les coordonnées du point d’intersection de Δ avec l’axe des abscisses.

2°c) Déterminer la position relative des droites et Δ .

3° On considère la droite 6 d’équation : 2 A 3 0.

3° a) Tracer la droite 6

3° b) Déterminer les coordonnées du point d’intersection des droites Δ et 6.

NOM :

(8)

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S Corail-Jaune -Verte 23/11/2016 4H UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE - AUCUN DOCUMENT

Vous pouvez traiter les exercices dans l’ordre que vous voulez.

EXERCICE I : (5 points) Résoudre dans , l’inéquation :

, 1

9 F 1 3 . 4 ² 4 0

On donne la courbe d’une fonction polynôme définie sur . Les points A, B, C, D, E, S₁ sont sur la courbe _E.

Les tangentes à la courbe en A, Q , C et E ont été tracées.

Les points R 4,7 ; 0 et Q 4 ; 0,4 sont des points de _E. 1. Par lecture graphique, sans justifier, déterminer

4 ; ⁴ 4 ; 2 ; ⁴ 2 ; 2 ; ⁴ 2 ; 5 ; ⁴ 5 . 2. a. Rappeler la formule donnant l’équation de la tangente à _E en S, ; , T.

2. b. Déterminer une équation de la tangente à la courbe _E en A , en Q , en C.

3. Dresser le tableau de variations de la fonction . On fera une ligne pour ′ .

(9)

EXERCICE III : (8,5 points)

Partie A : Restitution organisée de connaissances On considère la fonction ! définie sur par ! = . Soit , un réel quelconque.

Calculer ^{' V W ' V}

W , et retrouver le nombre dérivé de la fonction ! en ,.

Partie B :

On considère la fonction définie sur par : 2 5 6 1. a. Calculer la dérivée.

1. b. Etudier le signe de ′ .

2. Dresser le tableau de variation de la fonction . 3. a. Encadrer au mieux pour ∈ 1 ; 3 . 3. b. Encadrer au mieux pour ∈ 0 ; 2 .

4. Déterminer une équation de la tangente au point d’abscisse 1.

5. Existe-t-il un ou des points en lesquels la courbe _E admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses ?

6. On considère la fonction $ définie sur par $ 2 6.

6. a. Retrouver par un calcul approprié l’information donnée par la ligne 3 de l’écran logiciel.

6. b. Interpréter graphiquement cette information.

Six entiers naturels consécutifs sont tels que le produit des deux plus petits nombres est égal au triple de la somme des quatre plus grands.

Déterminer ces six entiers.

(10)

EXERCICE V : (8 points) Les deux parties sont indépendantes.

X est un parallélogramme.

Partie A : Cette partie doit être traitée sans utiliser de repère.

On considère les points Y et Z définis par [[[[[[\ = [[[[[\ "# ZY [[[[[\ = [[[[[\. 1. Faire une figure précise qui sera complétée au fur et à mesure.

2. Exprimer XY[[[[[[\ et XZ[[[[[[\ en fonction des vecteurs [[[[[\ et [[[[[\. X 3. Montrer que les points X, Y, Z sont alignés.

4. a. Construire en justifiant le point ] défini par [[[[[\ + 2 ]] [[[[[\ = X[[[[[[\. On pourra exprimer [[[[[\ en fonction de [[[[[\ et ] [[[[[\. X

4. b. Démontrer que [[[[[\ = − Z] [[[[[[\. Que peut-on en déduire ? Partie B :

On considère le repère ; ; X ou ; [[[[[\ ; X[[[[[\ .

On considère les points Y et Z définis par [[[[[[\ = , [[[[[\ "# ZY [[[[[\ =_V [[[[[\ où , est un réel non nul.

1. a. Donner les coordonnées des sommets du parallélogramme.

1. b. Déterminer les coordonnées des points Y et Z.

2. Montrer que les points X, Y et Z sont alignés quelle que soit la valeur du réel non nul ,.

EXERCICE VI : (9,5 points)

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère :

• les points : −3 ; 5 , 2 ; 1 , 3 ; −2 et X −6 ; −5

• la droite 6 d’équation : − 3A − 9 = 0.

On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure avec tous les points et les droites.

1. a. Montrer que et X sont des points de 6.

1. b. Déterminer le point d’intersection de la droite 6 et de l’axe des abscisses.

2. a. Les droites et 6 sont-elles parallèles ?

2. b. Déterminer une équation cartésienne de la droite .

2. c. Déterminer les coordonnées du point d’intersection des droites et 6. 3. On considère la droite Δ d’ équation A = + 2

3. a. Donner le coefficient directeur, l’ordonnée à l’origine et un vecteur directeur de la droite Δ. 3. b. Les droites Δ et 6 ont-elles des points communs ?

4. On considère le point ^ _ ; −3 .

4. a. Calculer _ sachant que , et ^ sont alignés.

4. b. Vérifier que est le milieu du segment [ ^].

5. Déterminer les coordonnées du point ` défini par X`[[[[[\ = X[[[[[[\.

Veillez à rendre un travail propre et écrit lisiblement.

(11)

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1 S VERTE 02/12/2016 20mn CALCULATRICE NON AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

EXERCICE I : ( 4 points ) vrai ou faux ? Démontrez les affirmations vraies.

Pour les affirmations fausses donner un contre-exemple.

1° Si une fonction définie sur [−3 ; 2] est telle que : − 3 > 2 alors est strictement décroissante sur [ − 3 ; 2 ]

2° Pour tout de [0 ; +∞[, on a : ≥ ².

Retrouver les équivalences vraies parmi les situations suivantes.

Dans le cas où l’équivalence n’est pas vraie, préciser laquelle des implications est vraie.

Aucune justification n’est demandée. Inscrivez votre réponse dans la colonne de droite.

Une réponse exacte rapporte 2 points, une réponse erronée enlève 1 point

1 (P) ∶ 2 est un entier naturel multiple de 10 (Q) : 2 est un entier naturel multiple de 5.

2 (P) : ≥ 2 (Q) : > 2

3 (P) : ≥ 3 (Q) : ² ≥ 9

4 (P) : 0 ≤ ≤ 5 (Q) : 0 ≤ | | ≤ 5

5 Pour fonction définie sur _ℝ:

(P) : ⁴ , = 0 (Q) : la fonction admet un extremum ,

6 (P) : [[[[[[\ = X[[[[[\ (Q) : X est un carré

7 (P) : ![\ b−53 c est un vecteur directeur de 6 (Q) : la droite 6 a pour équation 3 + 5A = 0

8 (P) : [[[[[\ = 2[[[[[\ (Q) : milieu de [ ]

Nom :

(12)

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S Corail-Jaune -Verte 04/01/2017 4H UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE - AUCUN DOCUMENT

EXERCICE I : (16 points) A Etude du signe d’une fonction d

On considère la fonction $ définie sur ℝ par $ = − + 6 + 15 + 8. On se propose de déterminer le signe de $ par trois méthodes différentes.

Les trois méthodes sont indépendantes.

1^ère méthode :

Par lecture de l’écran d’une calculatrice graphique, dresser le tableau de signes de la fonction $

2^ème méthode

a) Démontrer que pour tout de ℝ, on a : $ = + 1 − + 8 . b) Etudier le signe de $ sur ℝ.

3^ème méthode : Etude des variations de la fonction $ : a) Calculer sa dérivée.

b) Etudier le signe de sa dérivée.

c) Dresser le tableau de variation de la fonction $.

d) Calculer $ 8 .

e) En déduire le signe de $ sur ℝ.

B Etude des variations de la fonction e

On considère la fonction définie sur ℝ par = + 2 + ^B + 8 . On appelle _E la courbe représentative de la fonction .

a) Calculer sa dérivée.

b) Déterminer le signe de ’ . ☺ on fera le lien avec la partie A c) Dresser le tableau de variation de la fonction .

d) Le réel 550 est-il un majorant de la fonction sur ?

e) Existe-t-il des points en lesquels _Eadmet une tangente parallèle à l’axe des abscisses ? Si oui, préciser leurs coordonnées.

f) Déterminer une équation de la droite g, tangente à _E au point h d’abscisse 5.

(13)

Dans un parallélépipède rectangle de longueur 12cm et de largeur 9cm, on extrait un cube d’arête cm, comme le montre les figures ci-dessous (avant - après).

Fig1 : Fig2 :

1° Exprimer en fonction de , le volume i du solide obtenu à la fig2.

2° Quelle valeur doit-on donner à pour que le volume restant soit maximal ? Justifier.

X est un carré de centre j et k est le milieu de .

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chaque affirmation, retrouvez la réponse exacte.

Aucune justification n’est demandée. Une réponse juste rapporte 0,75point ; une réponse fausse enlève 0,25 point ; l’absence de réponse n’est pas pénalisée. En cas de total négatif, la note sera ramenée à 0.

1° L’angle orienté S[[[[[\ ; j[[[[[\T a pour mesure :

(a) ^l (b) ^l (c) ^Bl (d) ^l 2° L’angle orienté _Skj[[[[\ ;k[[[[\T a pour mesure :

(a) ^l (b) ^l (c) ^l (d) m 3° L’angle orienté _Sjk[[[[\ ;[[[[[\T a pour mesure :

(a) ^l (b) 0 (c) ^l (d) m 4° L’angle orienté _SjX[[[[[[\ ;jk[[[[\T a pour mesure :

(a) ^l (b) ^l (c) ^l (d) ^l 5° L’angle orienté S[[[[[\ ; X[[[[[\T a pour mesure :

(a) ^l (b) ^l (c) ^Bl (d) ^l 6° L’angle orienté SX[[[[[\ ; j[[[[[\T a pour mesure :

(a) ^l (b) ^l (c) ^Bl (d) ^l

(14)

EXERCICE IV : (2,5 points)

XG est la ligne brisée ci-contre.

1° Déterminer la mesure principale de l’angle orienté S[[[[[\ ; XG[[[[[\T.

2° Les droites et XG sont-elles parallèles ?

EXERCICE V : (3,5 points)

1° Les propositions ] et n sont-elles équivalentes ? Si non, retrouvez l’implication vraie. Aucune justification n’est demandée.

a) Soit un réel.

] ∶ cos ^√ n : ^Bl_N b) , , sont trois points du plan.

] ∶ S[[[[[\ ; [[[[[\T 0 n : , , ,t5$2é3 c) Soient ![\ et u\ deux vecteurs non nuls

] ∶ ![\ ; u\ ^l 2m n ∶ ![\ ; u\ ^l 2m

2° Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Vous justifierez votre choix en démontrant les affirmations vraies et en donnant un contre-exemple pour les affirmations fausses.

A1 : Pour tout réel de 0 ; 2m , on a sin F 0.

A2 : Un même point du cercle trigonométrique est associé aux réels : ^l

B et ^{C l}

B .

Trigonométrie : les questions sont indépendantes 1° Soit un réel. Exprimer en fonction de cos et de sin :

cos b^l c cos 2m 2sin m 3 cos m 5 sin b^l c 2 sin

2° Résoudre dans m; m . Pour les inéquations, on s’aidera de schémas faits sur la copie.

a) 2 cos √3 0

b) cos 1 1 2 sin 0

c) 1 2 cos F 0 d) √2 2 sin F 0 3° Résoudre dans _> , puis dans 0 ; 2m l’équation : cos 2 .

4° Soit un réel de 0 ; m tel que cos ¹ ₄^x⁵.

a) Calculer sin .

b) Sachant que ∈ y _B^l ; ^l_B ;^l_B ; _B^lz , déterminer quelle est la valeur de .

(15)

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 12/01/2017 30mn CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

Dans chaque cas, déterminer ′ .

On donnera une écriture de ′ sous la forme d’un quotient « simple ».

Préciser si la vérification calculatrice confirme votre résultat.

1° La fonction est définie et dérivable sur ]0 ; +∞[ par : =7

2° La fonction est définie et dérivable sur _ℝ par : =2 − 3

+ 2

3° La fonction est définie et dérivable sur [1 ; +∞[ par : = 4

1 − 2 +1

4° La fonction est définie et dérivable sur _{ℝ − {2}} par : = −3

− 2 ²

(16)

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 26/01/2017 45mn CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

On considère la fonction définie sur 12 22

4 .

On désigne par _E sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1° a) Calculer la dérivée.

On montrera que ∶ ⁴ 12 3 4

4 .

b) Etudier le signe de ⁴ .

2° Dresser le tableau de variation de la fonction .

3° Etudier la position relative de _E et de la droite D d’équation A 1. 4° Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe _E

Tracer la droite D.

5° On donne l’algorithme suivant Entrée Affecter la valeur 1 à Traitement Tant que 1 + 0,5

Affecter à la valeur 1 Fin Tant que

Sortie Afficher

On obtient comme affichage : 26.

Interpréter cette valeur.

NOM :

(17)

EXERCICE II : (8 points) Les réponses seront écrites sur cette feuille.

La courbe ci-dessous représente une fonction .

Aucune justification n’est demandée. Par lecture graphique,

1° Déterminer l’ensemble de définition (en utilisant des intervalles) : X ⋯

2° Lecture des limites : Compléter

t5;_{→ ‡} ⋯ t5;_→ ⋯ t5;_{→ ‡} ⋯ 3° La courbe _E admet des asymptotes que vous préciserez :

4° Compléter le tableau de variation de la fonction , y compris signe de la dérivée et limites de la fonction.

(18)

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S Corail-Jaune -Verte 08/02/2017 4H UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE - AUCUN DOCUMENT

EXERCICE I : (8 points) Partie A :

On considère la fonction définie sur ] − ∞; 3[∪]3 ; +∞[ par = − + . + ^‰ .

Déterminer les réels . et 8 sachant que 1 ; −1 est un point de _E et que la tangente à _E au point d’abscisse 5 est parallèle à l’axe des abscisses.

Partie B :

On admet que est définie sur ] − ∞; 3[∪]3 ; +∞[ par = ⁻ ²^{+ +2}₋₃ .

1° Déterminer ′ , étudier le signe de ′ . 2° Dresser le tableau de variations de la fonction .

3° Etudier la position relative de la courbe _E par rapport à la droite D d’équation A = − − 2. 4° On donne une copie d’écran de calculatrice que l’on ne demande pas de justifier.

☺ ^Š

Š S T = ′

Interpréter graphiquement l’information donnée sur la copie d’écran.

On considère une cuve de base carrée et de volume 4; . La cuve a un fond, mais pas de couvercle.

L’objectif est de déterminer les dimensions de la cuve pour qu’elle ait une aire minimale.

1° On note la mesure en mètres du côté de la base carrée.

En utilisant le volume imposé, exprimer la hauteur ℎ de la cuve en fonction de . 2° Montrer que l’aire totale de la cuve est donnée par = ² + ^N pour ∈]0 ; +∞[

3° Etudier les variations de la fonction On montrera que ⁴ = ^{2 −2}^{S 2}₂^{+2 +4}^T.

4° En déduire les dimensions de la cuve qui rendront l’aire minimale, et préciser cette aire minimale.

(19)

Les deux parties sont indépendantes Partie A :

Soit la suite !_‹ définie pour tout entier naturel 2, par : !_‹= ^‹

‹

On donne ci-dessous la courbe de la fonction définie sur 3 ; ∞ par .

1° Représenter les termes !_C , ! , ! , ! , ! de la suite sur l’axe des ordonnées de ce repère. On laissera apparents les traits de construction.

2° Calculer les trois premiers termes de cette suite.

3° a) Calculer !_‹ !_‹ pour tout 2 de , puis étudier son signe.

b) En déduire le sens de variation de la suite !_‹ . 4° Montrer que pour tout 2 de , on a : !_‹ 0 3.

Partie B :

On considère la suite u_‹ définie par u_‹ 2u_‹ 3 et u_C 1. 1° Calculer u et u .

2° a) On donne l’algorithme :

Initialisation : Affecter à u la valeur 1 Traitement : Pour 5 allant de 1 à 12

Affecter à u la valeur 2u 3 Fin pour

Sortie : ^Afficher_u L’affichage obtenu est : 8189.

Expliquer ce que représente cette valeur.

b) Recopier et modifier l’algorithme proposé pour qu’il affiche tous les termes de u_C à u . NOM :

(20)

Le plan est rapporté à un repère orthonormé j ; Œ\ ; •\ . On considère les points 0 ; 4 6 ; 3 5 ; 2 . a. Calculer le produit scalaire [[[[[\ . [[[[[\

b. En déduire la valeur exacte de cos Ž, puis la valeur arrondie à 1° près de Ž.

EXERCICE V : (4 points)

X est un parallélogramme, avec 4 ; X 5 et 7. 1° Calculer [[[[[\ . [[[[[\ et montrer que [[[[[\ . X[[[[[\ 4

2° Calculer la valeur exacte de cosŽX. 3° Calculer la valeur exacte de X.

EXERCICE VI : (3 points)

X est un trapèze rectangle de hauteur tel que 4 , 8 et X 2 1° Calculer [[[[[\. X[[[[[[\ en décomposant les vecteurs.

2° Que peut-on dire des diagonales et X ?

EXERCICE VII : (4 points)

, , sont trois points alignés dans cet ordre. j est un point de la perpendiculaire à passant par . 1° Démontrer que : j[[[[[\ . j[[[[[\ j[[[[[\ . j[[[[[\ [[[[[\ . [[[[[\

2° Sachant que j 30 ; 15 et 5 , calculer à 1° près la mesure de l’angle _ Žj .

EXERCICE VIII : (3 points)

1° Démontrer que pour tout réel , on a : sin sin b ^lc sin b ^lc 0 2° Démontrer que pour tout réel , on a : 813 352 352 2 1 0

(21)

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 07/03/2017 1 Heure CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

On considère la suite !_‹ définie sur • par !_‹ =3 ‘ 0,85^‹ 5 1° Calculer !_C ; ! ; !

2° Etudier le sens de variation de cette suite.

3° Montrer que pour tout 2 de •, on a : 5 0 !_‹ 8. Que peut-on en déduire ? 4° Déterminer, à l’aide de la calculatrice, le plus petit entier 2 tel que |!_‹ 5| 0 0,1 EXERCICE II : (4 points)

Soit la suite !_‹ définie par !_C 2 et !_‹ !_‹ où est la fonction représentée ci-dessous.

1° a) Construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite. Laisser apparents les traits de construction.

b) Emettre quatre conjectures sur cette suite !_‹ .

2° On admet que la fonction est définie sur 4 ; ∞ par 5 ^’ a) Exprimer !_‹ en fonction de !_‹.

b) Calculer la valeur exacte de ! et ! .

c) A l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à 10 près de !_N. NOM :

(22)

On considère la suite !_‹ définie sur • par !_C = 10 et !_‹ = 0,5!_‹+ 22 − 1 Calculer ! et !

EXERCICE IV : (7,5 points) à traiter entièrement sur cette page

On considère la suite ,_‹ définie sur • par ,_C = 1000 ,_‹ = 0,8 ,_‹+ 300 1° On veut déterminer le plus petit entier 2 tel que ,_‹ > 1400 .

a) Compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il affiche cette valeur : INITIALISATION : A prend la valeur …

N prend la valeur … TRAITEMENT : Tant que ….

N prend la valeur … A prend la valeur ….

Fin du Tant que

SORTIE : Afficher …

b) Faire fonctionner l’algorithme Valeur de N

Valeur de A Test tant que

c) Préciser l’affichage obtenu

d) Interpréter cette valeur.

2° On admet que pour tout 2 de •, on a : ,_‹ < 1500 Déterminer le sens de variation de la suite ,_‹ .

(23)

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S Corail-Jaune -Verte 29/03/2017 4H UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE (Mode examen)

AUCUN DOCUMENT

MODE EXAMEN

TI 83 Premium : Calculatrice éteinte, on appuie sur 3 touches : annul + enter + on Puis on suit les « instructions » : [F3] puis [oui]

EXERCICE I : (8,5 points)

On considère la fonction définie sur ]−∞ ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[ par : = ² + 2 + 6

− 1 ² .

On nomme sa courbe représentative.

1. Etude de la fonction :

1. a. Déterminer la fonction dérivée ′.

Montrer que

⁴ =−4 − 14

− 1 1. b. Etudier le signe de ⁴ .

1. c. Dresser le tableau de variation de la fonction . 2. a. Encadrer au mieux pour ∈ [2 ; 3].

2. b. Déterminer le plus grand entier minorant de sur ] − ∞; 1[. 3. Déterminer une équation de la tangente au point d’abscisse −1.

4. On donne une copie d’écran de calculatrice que l’on ne demande pas de justifier.

☺ ^Š

Š S T = ′

Interpréter graphiquement l’information donnée sur la copie d’écran.

(24)

On a étudié la fréquence cardiaque au repos (FCR), en pulsations par minute, d’un groupe de 61 sportifs amateurs, hommes et femmes. Les résultats de cette étude sont récapitulés dans le tableau ci-après :

FCR 42 43 45 46 48 49 50 51 52 53 54 55 57 59 61

Effectif 1 1 2 3 5 1 7 4 9 8 5 7 1 6 1

1. Déterminer la médiane et les quartiles de la série des FCR.

2. a. En utilisant les fonctions statistiques de la calculatrice, donner la valeur approchée à 10 près de la moyenne ̅ et de l’écart-type 3 de cette série.

2. b. Calculer le pourcentage de sportifs dont la FCR est située dans l’intervalle [ ̅ − 23 ; ̅ + 23]. 3. On souhaite comparer les FCR des sportifs aux FCR d’un deuxième groupe de 61 personnes pratiquant peu d’activité physique. L’étude des FCR des personnes de ce deuxième groupe a donné les résultats ci- dessous :

Moyenne Ecart-type Médiane 1^er Quartile 3^ème Quartile Minimum Maximum

59,8 6,23 60 57 63 45 70

3. a. Construire les diagrammes en boîte des deux séries.

3 .b. Expliquer (en 5 lignes maximum) quelle incidence semble avoir la pratique régulière d’activités sportives sur la FCR d’un individu.

Une grande surface compte le nombre de chèques cadeaux remis aux clients (montant en €)

Montant 5 10 20 50 100

Nombre de chèques 24 48 19 2 4

Pour chaque affirmation, retrouver la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 0,75 point, une réponse erronée enlève 0,25 point. L’absence de réponse n’est pas pénalisée.

Sur votre copie, inscrire le n° de l’affirmation et votre réponse.

A1 : la valeur moyenne ̅ des chèques remis, arrondie à l’euro, est : (a) 10€ (b) 15€ (c) 37€ (d) autre.

A2 : la valeur médiane Y" est telle que :

(a) Y" = 19 (b) Y" < ̅ (c) Y" > 15 (d) Y" ≥ ̅. A3 : Au moins 75% des chèques remis ont une valeur inférieure ou égale à :

(a) 5€ (b) 10€ (c) 15€ (d) 20€.

A4 : Au moins 75% des chèques remis ont une valeur supérieure à : (a) 5€ (b) 10€ (c) 15€ (d) 20€.

A5 : l’écart interquartile de la série est :

(a) 45€ (b) 40€ (c) 67,50€ (d) autre.

A6 : l’écart-type de la série, arrondi à l’euro, est :

(a) 19€ (b) 105€ (c) 365€ (d) autre.

(25)

EXERCICE IV : (9,5 points)

Soit la suite !_‹ définie par : !_C = 9 et !_‹ !_‹ 2 ( 2 ∈ •) 1. a. Calculer ! , ! .

1. b. Montrer que la suite !_‹ n’est ni arithmétique, ni géométrique.

1. c. Donner à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée à 10 ^B près de !_’ .

1. d. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les droites d’équation A 2 et A . Construire les quatre premiers termes sur l’axe des abscisses du repère donné. (Aucune explication demandée, mais on laisse les traits de construction).

1. e. Quelles conjectures peut-on faire ?

2. On considère la suite u_‹ définie par u_‹ !_‹ 3 pour 2 ∈•. 2. a. Montrer que la suite u_‹ est géométrique.

2. b. Exprimer u_‹ , en fonction de 2 , pour tout 2 de _•.

2. c. En déduire que pour tout 2 de _•, on a : !_‹ 3 6 ‘ b c^‹. 2. d. Calculer la valeur exacte de !_’.

3. a. Etudier les variations de la suite !_‹ .

3. b. Montrer que pour tout 2 de _•, on a : 3 0 !‹ 9. 4. a. Déterminer la limite de la suite !_‹ .

4. b. A l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier naturel 2 tel que : |!_‹ 3| 0 0,01. NOM :

(26)

EXERCICE V : (5 points)

Un rayon lumineux a une intensité de 43 candelas.

En traversant une plaque de verre teintée, ce rayon lumineux perd 23% de son intensité lumineuse.

On superpose 2 plaques de verre identiques et on note 5_‹ l’intensité du rayon, exprimée en candela, à la sortie de la 2^è•–plaque.

On a 5_C = 43.

1. Quelle est l’intensité 5 à la sortie de la 1^ère plaque ? 2. a. Quelle est la nature de la suite 5_‹ ? Justifier.

2. b. Exprimer 5_‹ en fonction de 2.

3. Déterminer l’intensité lumineuse, à 0,1 près, de ce rayon après avoir traversé 4 plaques de verre.

4. On voudrait savoir le nombre minimum 2 de plaques pour que ce rayon traversant ces plaques perde 80% de son intensité.

4. a. Recopier et compléter l’algorithme pour qu’il affiche ce nombre minimum.

Variables : Z entier ; k réel Initialisation : 0 → Z

… → k Traitement : Tant que ….

……… → Z … … … → k Fin tant que

Sortie : Afficher …

4. b. Recopier et compléter le tableau suivant en faisant autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l’exécution de cet algorithme. (Arrondir les valeurs au centième).

Zk

Test « Tant que »

4. c. Préciser l’affichage obtenu.

4. d. Interpréter cet affichage.

Soient !_‹ et u_‹ les suites définies pour tout entier naturel 2, par : !_‹ =1

4 2^‹+ 42 − 5 u_‹ = 1

4 2^‹− 42 + 5 1. Calculer !_C , ! , u_C , u .

2. a. Exprimer ,_‹ en fonction de 2.

Montrer que la suite ,_‹ de terme général ,_‹ = !_‹+ u_‹ est géométrique de raison 2. 2. b. Calculer la somme _‹ = ,_C+ , + ⋯ + ,_‹ en fonction de 2.

3. a. Montrer que la suite ._‹ de terme général ._‹ = !_‹ − u_‹ est arithmétique de raison 2. 3. b. Calculer la somme _‹ = ._C+ . + ⋯ + ._‹ en fonction de 2.

4. En déduire les sommes ™_‹ = !_C+ ! + ⋯ + !_‹ et i_‹ = u_C+ u + ⋯ + u_‹ en fonction de 2 .

(27)

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 13/04/2017 40 mn CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

Les probabilités seront données sous forme décimale.

Dans un lycée, on propose aux élèves deux activités sportives : basket et natation.

5% font les deux activités. 30% choisissent natation. 20% choisissent seulement basket.

On interroge au hasard un élève à la sortie du lycée.

On considère les événements :

Z « l’élève interrogé fait de la natation » « l’élève interrogé fait du basket » 1° Traduire les données en termes de probabilités

2° Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : a) « L’élève choisit seulement natation »

b) « L’élève choisit au moins une activité » c) « L’élève ne choisit pas d’activité »

Les probabilités seront données sous forme de fraction irréductible.

Un sac contient quatre jetons indiscernable au toucher portant les lettres ; š ; G ; . On tire successivement sans remise deux jetons du sac.

On notera :

« avoir un A au 1^er tirage » ; « avoir un A au 2^ème tirage » ; š « avoir un L au 1^er tirage » ; …. š ; G ; G .

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. On note G la variable aléatoire qui désigne le gain algébrique du joueur, sachant que :

• Il gagne 10€ s’il obtient 2 fois la lettre A

• il gagne 1€ s’il obtient exactement 1 fois la lettre A

• il perd 5€ s’il n’obtient pas la lettre A 2. a Définir la loi de probabilité de G.

2. b. Calculer l’espérance de la variable aléatoire G. Interpréter la valeur obtenue.