THEOREME DE BEZOUT.
Propriété : Soient a et b deux entiers non nuls et d = PGCD(a ; b).
Alors : :
Il existe deux entiers u et v tels que au bv d et
L’ensemble des entiers de la forme aU bV (avec U et V entiers) est l’ensemble des multiples de d.
Théorème de Bézout : Soient a et b deux entiers non nuls.
a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tels que au b v 1 Démonstrations : Voir activité
Exemples et remarques :
8 7 11 × (– 5) 1 donc 8 et 11 sont premiers entre eux.
PGCD(85 ; 40) …. donc il existe u et v tels que ……….
Mais il existe u et v tels que 42u 12v 12 (avec u ….. et v par exemple) mais on peut juste en conclure que PGCD(42 ; 12) est ……….
Les coefficients de Bezout ne sont pas uniques :
Pour a = 4 et b = 7, on a 4 2 + 7 ( 1) 1 donc u 2 et v 1 conviennent 4 ( 19) + 7 11 1 donc u 19 et v 11 conviennent.
Détermination pratique de u et v :
Méthode 1 : on examine les plus petits multiples de a et de b : a 8 et b 13
Méthode 2 : on écrit l’algorithme d’Euclide en détaillant : a 257 et b 45
Conséquence (admise) : Soient a et b deux entiers non nuls. Alors les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(1) d PGCD(a ; b)
(2) d divise a et b et il existe deux entiers u et v tels que au bv d.
Exemple :
On a 178 6 + 82 ( 13) = …………
