Autour du theoreme de Bertini

Autour du theoreme de Bertini

Daniel PERRIN

1 Introduction

Ce que j’ai envie d’appeler th´eor`eme de Bertini est le r´esultat suivant :

1.1 Th´eor`eme. On note X l’espace projectif P^N_k avec k alg´ebriquement clos de car- act´eristique z´ero et N ≥ 1. Soient E et F deux faisceaux localement libres sur X, de rangs respectifs q et q+ 1. On suppose que le faisceau HomO_X(E,F) est engendr´e par ses sections globales. Soit f : E → F un homomorphisme et soit Z le sous-sch´ema de X, lieu de d´eg´en´erescence de f. Alors, pour f g´en´eral dans HomO_X(E,F), Z est lisse de codimension 2 dans X.

2 Matrices de rang r

On a le r´esultat suivant :

2.1 Th´eor`eme. Soient p, q des entiers >0 et r un entier ≤Min (p, q). Soit M:=M<sub>p,q</sub> l’espace des matrices p×q `a coefficients dans k, muni de sa structure de vari´et´e affine, et soit Cr (resp. C_r⁰) l’ensemble des matrices de rang ≤r (resp. =r). L’ensemble Cr est un ferm´e de M et C_r⁰ est un ouvert de C_r. La vari´et´e C_r est irr´eductible et de codimension (p−r)(q−r) et l’ouvert C_r⁰ est lisse.

D´emonstration. Il est clair que Cr est un ferm´e de Mp,q car il est d´efini par l’annulation des mineurs (r+ 1)×(r+ 1) et C_r⁰ en est un ouvert pour la mˆeme raison. Pour montrer que C_r est irr´eductible, on consid`ere la matrice J =

I_r 0 0 0

o`u I<sub>r</sub> d´esigne la matrice identit´e d’ordre r. L’ensemble C<sub>r</sub> est alors l’image du morphisme ϕ: M<sub>p,p</sub> ×M<sub>q,q</sub> → C<sub>r</sub> qui au couple (P, Q) associe P J Q. Comme les M sont des espaces affines, cela montre que C<sub>r</sub> est irr´eductible. De plus, l’image de la restriction de ϕ`a GL(p, k)×GL(q, k) est

´

egale `aC<sub>r</sub><sup>0</sup> et ses fibres sont toutes isomorphes `a l’ensemble des couples (P, Q) qui v´erifient P J =J Q. Un calcul par blocs montre que P et Qsont de la forme suivante :

P =

A B

0 D

et Q=

A 0 G H

o`u A est une matrice r×r. La dimension des fibres est donci :=p²+q²+r²−pr−qr et on en d´eduit que la dimension de C_r vautp²+q²−i=pr+qr−r² comme annonc´e.

Pour montrer la lissit´e deC_r⁰, comme c’est un espace homog`ene sous le groupeGL(p)×

GL(q), il suffit de montrer qu’il est r´eduit, ce que j’admets provisoirement.

2.2 Exemple. Dans le casp=q+ 1 etr =q−1, on voit queC_q−1⁰ est lisse de codimension 2 dans M_q+1,q.

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3 Lieu de d´eg´en´erescence

Avec les notations du th´eor`eme, le lieu de d´eg´en´erescence de f est le sch´ema dont l’ensemble sous-jacent est form´e des points en lesquels le rang de f est ≤ q−1. Pour la structure de sch´ema, voir [H].

4 Engendr´e par ses sections

On suppose d´esormais qu’on est sur un espace projectif P^N et que les faisceaux E et F sont dissoci´es de rangs respectifs r et r + 1. On a donc E = Lr

j=1O_P(−m_j) et F = Lr

j=0O_P(−n_i). Alors, le faisceau HomO_P(E,F) est isomorphe `a HomO_P(O_P,F ⊗ E^∨)' L

i,jO_P(m_j−n_i) et il est engendr´e par ses sections si et seulement si on a m_j ≥n_i pour tous i, j.

5 La preuve du th´eor`eme

On pose H = Hom(E,F) et on consid`ere le produit H×X et, dans ce produit, le sous- sch´emaZ des (f, x) tels quef(x) est d´eg´en´er´e. On montre queZ est lisse de codimension 2 dans H ×X. Il en r´esulte, par le th´eor`eme de lissit´e g´en´erique, que ses fibres le sont aussi. Pour voir la lissit´e, on montre que la projection surP² deZ est lisse et c’est parce que c’est un fibr´e (de fibres les Cr.

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