MARTINELLE 24/04/2021 Louison

MARTINELLE 24/04/2021 Louison

Quel est le point de la représentation graphique de la fonction logarithme népérien dans un repère orthonormé qui est le plus proche de l’origine du repère ?

Soit f(x) = ln(x).

Soit ABC triangle rectangle en B avec A sur l’origine du repère, B sur l’axe des ordonnées et C sur la courbe de f.

Voici la représentation graphique de cet énoncé, dans un repère orthonormé :

On a ainsi AB = y et BC = x.

Pour obtenir le point de la représentation graphique de la fonction logarithme népérien qui est le plus proche de l’origine du repère, il faut donc trouver la position où le point C est le plus proche du point A, autrement dit on cherche C tel que AC soit le plus petit possible.

D’après le théorème de Pythagore, on a AC² = AB² + BC² soit AC = √𝐴𝐵²+ 𝐵𝐶² . On a donc AC = √𝑦²+ 𝑥² soit AC = √ln(𝑥)²+ 𝑥² .

Soit la fonction 𝑔 ∶ 𝑥 → √ln(𝑥)²+ 𝑥² définie sur ]0 ; +∞[.

On étudie les variations de g, on cherche pour cela le signe de sa dérivée g’.

On a g(x) = √𝑢 avec { 𝑢 = 𝑣² + 𝑥²

𝑢^′= 2(𝑣^′𝑣) + 2𝑥 et {𝑣 = ln (𝑥) 𝑣^′ = ¹

𝑥

Donc g’(x) = ^𝑢′

2√𝑢

soit g’(x) =

2×^{ln (𝑥)}

𝑥 + 2𝑥 2√ln(𝑥)²+𝑥²

c’est-à-dire g’(x) =

ln(𝑥) 𝑥 + 𝑥

√ln(𝑥)²+𝑥² sur ]0 ; +∞[.

On a √ln(𝑥)²+ 𝑥² > 0 sur ]0 ; +∞[ donc g’(x) est du signe de ^{𝑙𝑛(𝑥)}

𝑥 + x. On résout alors ^{𝑙𝑛(𝑥)}

𝑥 + x > 0

Devant l’impossibilité de résoudre une telle équation avec un niveau lycéen, on se contentera d’une valeur approchée obtenue avec la calculatrice.

Voici le tableau de la calculatrice obtenu en entrant l’expression ^{𝑙𝑛(𝑥)}

𝑥 + x :

x y

0,652 -0,004

0,653 0,00035

On en déduit donc que ^{𝑙𝑛(𝑥)}

𝑥 + x > 0 ⇔ x > 0,653 valeur approchée de l’unique solution, la fonction étant continue et strictement croissante sur ]0 ; +∞[.

On en déduit le tableau suivant :

x 0 0,653

Signe de g’(x) - +

Variations de g

~0,7797 7

+∞

D’après ce tableau, on en conclut que le minimum de la fonction g est g(0,653) ≈ 0,7797.

On a donc AC ≈ 0,7797.

Ainsi, on a BC = x = 0,653 et AB = y = ln (0,653) ≈ -0,426.

On trouve donc le point C (0,653 ; -0,426), qui est le point de la représentation graphique de la fonction logarithme népérien qui est le plus proche de l’origine du repère.