La dernière phase de la résolution, déterminant les constantes d’intégration à partir des conditions initiales, portera sur la solution de l’équation complète SEC (attention aux confusions avec SGESSM ! ).

Sup PCSI1 - Exercices de physique Oscillations électriques et mécaniques amorties

1 Oscillateurs électriques et mécaniques amortis

Un peu de méthode !

Dans le cas le plus général (équations différentielles avec second membre), on aura : SEC = SGESSM + SPEC Les cas usuellement envisagés en physique mettront en jeu des seconds membres invariants, ou des fonctions affines du temps (rampe). Dans ces deux cas, la méthode la plus efficace est de déterminer la SPEC par identification, en injectant une forme analogue à celle du second membre dans l’équation différentielle.

La dernière phase de la résolution, déterminant les constantes d’intégration à partir des conditions initiales, portera sur la solution de l’équation complète SEC (attention aux confusions avec SGESSM ! ).

Les conditions de continuité portant sur l’intensité i(t) traversant une bobine ou sur la tension u(t) aux bornes d’un condensateur (ou la charge q(t) qu’il porte) seront déterminantes pour expliciter les conditions initiales.

Les relations : u = L.(di/dt) et i = C.(du/dt) permettent de tirer des conditions initiales sur les valeurs des dérivées des fonctions i(t) ou u(t).

Exemple :

Supposons qu’à t = 0

: i

= 0 et u

= 0. On ferme K à t = 0.

En écrivant la loi de maille sur (E, R, C) à t = 0

, on tire : i(0) = i

(0) = E/R, donc : (du/dt)(0) = E/RC.

Par ailleurs : L(di

/dt)(0) = u(0) = 0 donne accès à : (di

/dt)(0).

1. Régime transitoire d'un circuit R-L-C :

L'interrupteur K est fermé à l'instant t = 0, C étant déchargé et la bobine n’étant pas parcourue par un courant. La valeur de R est choisie pour avoir :

R = R

= C

L 2 1

a. Etablir l’équation différentielle sur u(t). Montrer que R = R

conduit au régime critique.

b. Etudier l'évolution de la tension u(t) aux bornes de L et C. On pourra poser  o² = 1/LC.

R : Ecrire la loi de nœud en introduisant les intensités traversant L et C. Ecrire la loi de maille ; en la dérivant par rapport au temps :

0 ) 1 ( 1

²

²   u t 

LC dt du RC dt

u

d . Les Conditions Initiales donnent : u = 0 et

RC E dt du 

2. Oscillateur amorti :

On envisage le dispositif représenté ci-contre, où deux ressorts verticaux identiques, de longueur à vide l

et de raideur k supportent une masse m.

A l’instant initial, on lâche la masse m sans vitesse en la position M

située à mi-chemin des points d’attache des deux ressorts, alors non tendus. On note g l’intensité du champ de pesanteur.

E

R

L C

K R

E

C

K u

i L

Mo

g

z z = 0

lo

lo

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2 Les frottements sont pris en compte sous la forme d’une force –f.𝑣⃗ de norme proportionnelle à la vitesse du mobile. Le facteur f est supposé suffisamment faible pour avoir des oscillations.

1°) Donner sans calcul différentiel l’allure du graphe z(t).

2°) Etablir l’équation différentielle du mouvement. Expliciter la forme générale de z(t).

Déterminer les constantes d’intégration à partir des conditions initiales.

3°) Le temps de réponse à 1 % du système, , est défini comme la durée nécessaire pour que l’écart relatif entre z(t) et z() soit majorée par 1 %. Calculer un ordre de grandeur pour  en fonction de m et f.

4°) Faire un bilan énergétique du phénomène. Dans quelles proportions la variation d’énergie potentielle de pesanteur du mobile s’est-elle dégradée par frottement ?

R : 1°) à t = 0 : z = 0, v = 0 ; à t→  : z

= mg/2k, v

= 0.

2°) R.F.D. : md²z/dt² = mg – 2.kz- f.dz/dt. D’où z(t) = mg/2k + A.exp(-  t) cos(  t+  ). A et  déterminées par les CI : z(0) = 0 et dz/dt (0) =0 ; tan  = -  /  ; A = -(mg/2k)/cos  .

3°) chercher t tel que exp(-  t) < 0,01.

4°)  E

= 0, donc W

=  E

. avec E

= - mgz +2.(1/2) kz². W

= -m²g²/4k.

3. Etincelle de rupture :

On place une bobine d’inductance L dans un circuit comprenant un générateur de f.é.m.

constante E et un interrupteur K. La résistance totale du circuit est notée R.

On prendra R = 40 ^ ; E = 40 V et L = 4,0 mH.

Le régime permanent étant établi, on ouvre brusquement l’interrupteur K. L'espace d'air entre les deux cosses de l'interrupteur va se comporter comme l'isolant situé entre les électrodes d'un condensateur, jusqu'au claquage de cet isolant, à une tension de l'ordre de 1000 V, où il devient alors conducteur. On assimile donc la coupure ainsi réalisée à un condensateur de capacité C = 10 pF = 10.10

F, avant le claquage.

a. Etudier la d.d.p. u(t) aux bornes de la coupure. Etablir l’équation différentielle satisfaite

par u(t) : u u E

u _  Q

_ 

² _ 

²



avec ^

² = 1/LC et Q = L ^

/R = 1/RC ^

.

b. En déduire la solution : t  A t B t  E

t Q

u    

 



 

   

sin cos

2 . exp )

(

avec :

² 4 1 1

0

 Q

 



c. Calculer numériquement 

, Q et la valeur  = 2Q/ 

. Interpréter. Que peut-on dire de la valeur du facteur _



 



  t Q exp 2 

?

d. Déterminer A et B à partir des conditions initiales. Justifier les approximations :

 ≈ ^

et B ≈ QE.

e. Montrer, compte tenu des valeurs numériques données, que u(t) croît rapidement et

que le potentiel explosif (de l’ordre de 1000V) est donc rapidement atteint. Calculer

approximativement la valeur que prendrait u(t) en l’absence d’étincelle aux bornes de

l’interrupteur, et donner l’instant t

où cette valeur serait atteinte.

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3 f. Montrer qu’au moment de l’éclatement de l’étincelle, la d.d.p. u(t) et l’intensité i(t) sont bien représentées par les expressions : u = b.t et i = I

(1 – a.t²). Evaluer numériquement I

, a et b.

g. Calculer numériquement l’instant t

pour lequel la valeur u(t

) = 1,0 kV est atteinte.

R : a), b), c)  >> 2  / 

: décroissance exp. Négligeable sur la durée du phénomène.

e) Montée sinusoïdale de u(t), u

 20 kV ; t

=  / 2 

.

f) Ecrire un DL1 de u(t) en 0. du/dt(0) se déduit à partir de l’éq. diff. du circuit et des conditions de continuité. u = QE ^

.t ; de i = Cdu/dt avec u = QEsin ^

t d’où par un DL2 sur i(t) :

g) i(t) = (E/R)(1- ^

²t²/2). t

= 1000 / (E/RC) = 10 ns.

4. Exploitation d’un graphe expérimental :

On envisage la réponse d’un circuit série RLC en régime libre. Proposer un montage permettant d’observer l’évolution de la tension sur le condensateur u(t). Une étude théorique amène : 𝑢(𝑡) = 𝑈 . exp − 𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) avec ici ω ≃ ω

≃1/√𝐿𝐶

Exploiter le graphe fourni pour en déduire l’inductance L de la bobine et la résistance totale R du circuit, sachant que la capacité du condensateur vaut C = 0,10 µF.

L’axe des temps est gradué en millisecondes.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 0,2 0,4 0,6 0,8

u(t)