I I
SSMtr.RCIEMENT
Nous remercions tout d'abord ALLAH qui norc a donné ht vçlonté et le courage à
fin d'accompllir ce trcnail.
Nous tenons à remercier nos pqrents, nos familles qui n'o'ntjamais cessé ab noug soutenir.
Nous tenow aussi à remercier notre encadreur Mr. Amnr Êoulassel qui n'ous a aià1i et nous a encouragé nous le remercie d'tnoir propcsà ce sujet el de naus
encadré durant cette saison, de ses conseils et sa dlsponibilité
Nous exprimons rms gratitudes &tx membres de iwy pour ouoir accePté da' lire et
d'examiner ce mëmoire.
Nous tenons à remercier tous ceux qui nous ont entourés pendant toute notre dul,ie d'énde pour leurs bonnes humeurs et surlout les collègu'es (e la promotion bietr
sîtr,
Nos vifs remerciements vont à tous les enseignants qui nous ont suivis dur'cnt lei
cinq années passées.
Enfn nous adressons nos rernerciements à toutes Wrsonneq ayant contribuëE de près ou de loin à la rénlisation de ce tr,rvqil
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IIEDICACE
qvolr remercié ALIÀII qui m'a donræ laforce et la patîence
d'accomplir ce travail ; queje le dédie :
À mes chères parents, qui dieu les prolège et les gardes ;
À mes frères,
À toute la famille (Ilebbqche), À tous mes amis,
À tqus mes collègueq,
À notre ancqdreur Mn Am4r poulassel
' totges les personnes qui m'ont aidés, @ proches ou de loin.
<< Housserr, >>
"'l b,
t;'for
DEDIC.ù.CE
Après avoir remercié ALLAItr qui m'a donné la for.::e et la
d'accomplir oe travail ; que je le dedie : À met très chères pareryts que dieu les garde et les
À mon mari,
) -.
A mes jr'ères el ma sæur,
À toute Iq famitle Boucharna,
A tous nes @nis et nes callègues,
À tuus ceux qui m'pnt aidé de proche ou de loin.
ommaffe
l*^rrt*
I
I sommairc I
I.7.2.2 Matériaux ftansversalement isotropes...,...I6
corclusioo" -" ..-...-...r7
Chryilre II : Lois de compo amen, magnéto_mécanique pour les milietL
isotropes
II.2.3 Conditionsaux limitesmécaniques.,...
Il.3.Couplage magnétG.mécaûique...,,__
' '...,, ' ' '...,2|
''.,.''''....,..22 ...23
l*- "t*
Conclusion . . .
1t".,*t*
ChqitTe
IV,l Géonétrile et Faractéristiquçs
w.l.l Dimensip! dF noyau
IV.l.2 Dimension dês bobines...,..,..,.,,
w.3.1 Ploblèqlqmagnétique..., IV.3.2 Problèm€ méoanique... .. .... . .. ;
IV,4 Disqétirstiotr 0r élémenb ti4is...1 IV.5 Applicatioi du modèle
IV.5. I Pot€naiçl ct ilduction magnétlque.,.
IV.5.2 Forces et {épl$aments...
Conclusiotr gétréfab
: Application E résultsE
..-...49
IV.l.3 Géométrie de translbrmaûeuÎ tri
IV.2 hopriétés çt çaractéristiques dles utilisé&s...i...,...51 ry3 Itrtrodûctibtr de coDditior' rùr
etr mrg4étoctrtihue.. . . .. . ... -.. -.. -...57
lr*-4-.e
+iE- r4,-*-"*a_.r...}È.a|-r|s. 2{È,{Nrr.r _ i!; , ;,*..r.Ê&.i.é{,.
i Introduction
| ,/'1 , / t
I uenerurc
I Iwroduction Générut Dans Ie contexte ,plus
lllectuique, ou ,Tout Electrique,, les fabdcants des véhicules terestres et aé ens cherchert à augmenter la puissance embarquée à maLsse cgale. La seule solution est d,augmenter ia densité de flux magnétique dâns les matériaux magnellques constitutifs des machines électriques. Lejs matériaux présentant lgs densiÉs de flux les plus élevées ont Ie désavantage de se déformer sous l,effet du champ malnétique ce qut conduit à
:ï#i:::ïTï:":lJ'*ï:îïï;ïïï"ï:J::,':ï:îîï"ïi:'t::;
déformation provient du réarangement sous champ magnétique de la microsrructùe en domaines magnétiques constitutifs de toul matériau magnétique I l].
La probrématique cLe cette étud9 porte sur re componement des matériaux fenomagnériques, par conséquent l'étudre de la déformation de magnétostrlction (l,effet direct). Cette défomation est la déformation sponLanée induite dans les matériaux ferromagnétiques par Ia pré,sence d,un champ magnétique.
L'intérêt de ce travail ost d,estimer la déformation d,un transforinateur tdphase sournis à un champ magnétique. ll s,agit d,une approche numérique par élérnents finis qui suppose le développement préalable et l,implémentatjon d,une loi der componement magnéto_mécanique anisotrope. (L'obj ectif consiste à fiablir un modèle magnéto-mécanique anisorope capable de rendre compte de l,effet dirÊct de la magnétostriction).
Le premier chapitre traite des connaissances de base des matériaux feromagnctiques et leurs alliages utilisés dans la çonstruction des hansforaateurs, ainsi que le phénomène de magnétostriction, puis le compoftement mécanique des ûateriaux isotropes et aniso[ropes.
Le second chapitre concerne I'élabontion des lois macroscopiques couplées du componement magnéto-mécanique, dans l,jntérêt de créé un modèle isotrope pour les calculs des déformations stl.ucturales d,un matériau ferromagnétique.
Le troisième chapitre est consacre à Ia modélisation du componrlmenr magneto- mécanique anisobope, donc le développement d,un autre modèle anisotrope pow leli calculs des déformations.
Le quatrième chapitre conceme la mise en ceuvre du rnodèle anisotrope, I,application du calcul des déformations de la structure d,un bansformateur triphâsé.
Ctbupitre I
l G:énérul,ités sur les matériaux ferromagnétiques
lCnofu" t Gén&ûlitzs sar les ûurtëriauxlenomagnaiques
Intmduction
L'aiinantation des substarces :[erromagûétiqùes constifue €ncore aujourdhnr la seule source d'induction magnetique écotromiqu€ment acceptable. De ce fait, la tôle magnétique â bas, de fe.
allié au silicium €st Ie rxEtériaù le plus ernployé dans les appareillages de production, de tranEort et de traûsfonnaioa de l énergie électrique. Deux grandes fartrillgs d,acle$ sont olfertes pour la coNtruction des circuils magûétiques des gquip€ments électriques dont la concephotr est basee sur I'actioû d'un charnç magnétique. L€s tôles à grains orieûtés sort utilis€es exclusivement poÙI los circùts magnétiques des machines statiqùes (h"aNformateus), et les tôles à gnins ron
onentes sont utilisées pour la construction des machines toumarltes (génerateurs, altemateurs.
moteùrs) [2].
Les constructeùrs électricigns évaluett l,efficacité inhiaseque d,un matériau rnagrétique à partir de la valeur des peftesrtotales massiques mesurees à llnduction et â la fréquence de travail.
L'éventail des caractéristi$res magnétiqucs des prcduits dispodbles (pertes et aimantation) est aûalysé sur la base de la composition chimique de l,acier, cle la texture du matériau, de la taille de grai4 de I'epaisseur de ra tôre, du rôle éventuel du rcvêtement isora't et du traitemetrt sup€rfiriel d'affinqnent des domaines nalFetiques par faisceaÙ laser. Les perspectives d,améltomton des perfonDances magtrétiques sont enfill dédui.tÊs de I'influence de ces differelts paramètres [2J.
ce chapitre contient trcis parties, la Femièrc partie coûceme les qahria'x
ferromagnétiques constitutii:s des circuits magnétiques des hmsformateurs, le second est consaqé aù phâromèDe de magnétostrictirra, et La demiàe partie contient le cornDon$ment mécanique des maôeriaux isotrol|es et anisotropes.
Ll Constitutior général d'ùtr trrùrsformarcur
Le transfomâteur se colnpose essentielllement d,un cirouit magnétique et oircult électnque [3] :
lCn@t" t cht&atMs sar tcs n qtériotxldromagnûiqaes
Se<orrdùe
C.rl,tt|la Prirnair,r
FTgure I.1 Ïarsformafeur à colontres.
I.1.1 Circ-ùit él€ctriqùe
Pour les ha$fomatreuri d€ basse teûsjotr et faible puissance, les enroulements primaires et s€condaires sotrt constitués par rles bobines en file cuirre émaillé, chaque couche étant isoléç de la suivante par du papier. pour les appareilles à haute t€Dsio[ et grande puissance, les bobines, quelque fois Èaclionnées er galetes, sont colstituées par du fil rond ou méplat Éoré au cartor mp.égné et separées par des isolads t€ls que fibre, mica... etc [3].
I.1.2 Circuit mrgrétique
Le noyau est compose d'uû empilage de tôles ferromagnétiques a haut perméabilité et à cnstaux orientés, isolées électrirluement etrhes elles. Il doit être conçu de façon à réduire les perûes par courant de Folrcâùlt ett par hystérésis qui se produisent lors de la variation périodique du flùx magnétiqùe. On parvient à Ésouùe ce problème en pr€nant des mesures â savoir [3] :
o Emploi d'acier magnétiquement doux ayatrt une petite surface de cycle d,hysterésis
€t faible perte par hys,terésis.
. Emploi d'acier speci$ux presentânt, grâce â des additifs, ute resislivite élevée
r Emploi de tôles cLont l'épaisseur est choisie tel que les coumrts de Foucault soient prahqusment salrs eff et.
.-__ page 3
lchaùte t Gén&dités sur les mntériauxfeîonragÉt:,qkes
Parmi les aciers électriques les plus utilises dans Ia constitution des circùts magnétiçes I'alliage fer-silicium, On distùrgue deux iàmilles de tôles de Fe_Si :
Les tôles à gnins non orientés, NO, (sensiblemort itlotropes dars le platr) sont produites par laminage d'abord à chaud (1000-13000.C) pùs à ûoid (t0040"C) jùsqu,à 40_60/100 mnû suivir d'un roouit (800'c). Les tôres dites "ser'i-proc€ss', sort ensuito isorées et déooupés. Les tôres dites 'fully proc€ss" sont ecrouies 35/100 mm dec_oupées, recuitgs et isolées. Ces dernieis sont utilisés pour la oonstruction des nachines toumaûtes [4] .
Les tôles à grain o.ientecs, GCr, (atrisotropes dans l,axe de larninage) sont iamrnées une fois à chaud et deux fois à froid puis rectritesr Elles sont ùîitées à la magqésie avant de subir ùr
recuit de recrisfa]llsation qui va favoriser la croissance dt,s cristaùx suivant l,a\e de laminage et permet d'obt€rir la lexlue cristâlllographique de Goss, du noo de sotr irlvcûteut (GOSS en aaglais signifie aussi g.^in orii:nted st€el sheet, ça ne s'inveûte pas I). Les tôres Go dile HiB
@rononcer "aie bi') subissent un process plus évolué qui permet d,augrnenter la ta le des gmins et d'améliorer l'orisntation- Uû revé,tement spécial penoet en outrer d,appliquer une conlrarnte de hacûon permæente qùi aupente la pemreabilité et dimùue les pertes [4]. Donc les tôl€s à grains oriefiés sont utilisées exclusivernent pour les circuils magnétiques des hansi.omateu{s.
I.2 InllueDce des élémetrts dralliag,,
Les performaaces magrétiques d'un aoier électrique sont liées à plusieus caracténstiques, notarnmett la valeur de sa polarisation mappétiqùe à saturation, de sa Ésistivité électrique et de sa coDsatrte d'anisotropie magrréto<ristalline. L'acier électrique idéal est celùi qu posséderait u.tre polaisation rnagnétique à saturatic,n et une résistivité électrique très éleve€s et, srmultaEément, une constante d,anisotropie voisine de zéro. Afm de teùd.e vers cet optimum, il
est possible' par addition essentiell'nent d) silicium et de l'aluminium, d,améliorer les valeurs de certaitr€s caractéristques physiques et magnetiques des alliages de fer ainsi obtenus. Dzurs la
structure cubique cenkée du fei., l,aimantalion est la plus facile quand la directior dù chamD d'excitation est pâraltèle aux directioùs <001> (Fig I.2).
r(1)
_ loorl
ffis:y'
: I é44 lrtll
t L-v
/ E(^t,)
lcnotu "r Génerulites saf tes nutériaax fefionugnëtiqres
o,80 80 8000
Figure I.2 Induction nagnétique (Il) etr fonction de la direction du r,harnp (II).
?0.c
\". l\r
Figure I.3 Poladsation magnétiqùe
à sahlatior (Js ) des a iages Fe-Si et Fe_Al.
t0
L'addition au fer dc siliciun et d,aluminium pçImet d,abaisser de façon sensible la constmûe danisotropie Kt qui trâdùrt la dlifficulté avi:c laquelle les mone !i magnétiques pivoteDt r/els la direction du champ d'excitatio' extédeur. Cependant, la polariszrtion magnétique ii sahrration décroît €n fonction des teneurs en siliciurn et en alumidun (Fig L3). n en résultr, ùre
dégradation de la perméabilité de I'acier car pour un même champ d,excitation dollne orermettafi dobtenir la saturction du ûatériaù, I'iûductior âcquise est plus faible. Ilû outre, la conductibililé thermique diminue fortemed quaùd la teneur en silicium aùtgûerrte. Cat effet n,est pas négligeable car les pertes d'enffgie sont évacuéçs à l,erJérieur des circûts magréhques par çondùctiotr tlermique dans le plan des tôles revêtues ou non d,un isolaût. La préscnce de silicium et d'aluminium en solution solid,: dans le ffl augûente considérabl€melt la résistv(é éleclrique
et par consequent fait dec.oître les pe.t€s. Eû pratique, l,addition de silicium est limitib au maxlmum à eûviron 3,3 o/o en raison des problèmes de lamimge à û.oid engordrés par la Èagilité de I'alliage à haute teneur en siliciun. La tçoeur €n alùmidum, moins néfaste pour la ductilité.
dépasse rdement 0,8 % er rai$û de sa gatrde affinité pow l,ox.ygene et l,azole alr cou$ de l'élaboration et des taitements themiques [21.
I.3 Propriétés des mrtériâur ferr.omagnétiques
L'utilisation d'un batériau magnétique doux dans uae rnaohino élechique vise à carraliser le
flrx magnétique pour maximisr la convrrsion d'erergie. CeÉe réiption est mesurée par I'induction qui est la quantité de flux magnérjique par unité de surfaoe. L,équation psnneltaût de relier I'induction au champ magnritique est :
_-_ page s
lcholiue I céûrql ë, sar t6 maûtrhaxfenonngrrétiques B = Uo(1 +dH= l]îlHr
(r.l)
B : inductioû magnétiqre (?.)
tb : p€rméabilité du vide (A,tûl)
I : susaeptibilité magtrétique (sons ,/i,ittis)
H: ù?trnp magné*iqte (,4,/n)
Pour la plupart des matériaux I est une cotrstante positive ou Dégative très faible à I'excepûon de fer du rickel et ilu cobalt. Les mateliaux qui nous interessent pour leurs propnétés magtrétiques ont au oontrinre de fo{te sùsceptibilité I: f.tD. pou.les matériaux rsotr.operr, ,( est un scalaiie et pow les matériauK arisotoop$s I esr m tetseur 3 x3 [5] .
I.4 Classification des matérianx ferromagnétiques
ræs matédaux fenomagnétiques sotrt générarement séparés en deux classes : res naténaùx doux et les matériaux durs (aimants peman ents).
I.4.1 Matefiaux fe rro nra gtrétique {lour
Les matériaux ferromagnétiqueli doux peuvent être ainlantés à l,aide de chânps maigûéhques
faibles. Ils sont ulilisés dans les machines électjques pour cæalis€r et çotrcenlref le flùx magtrétique [5]. La caractûistique principale des matériaÙx feromagnétiques est le cycle d'hysterésis de la caractéristique induotiorL B en foaotion de I'aimantation H. Les matiriaux ferrornagnétiques doux ont un chamD @ercitifplus faible (inférieur à I 000 A.m,r). L,application d'une faible induction magnétiq'e porrra donc reto'mer ou annuler I'aiûantation du malédau t6l.
Figure I.4 Cycle d'hystérésis pour les Eatériaux fenomagnétiques doux.
Pâge 6
lCnWdre t GénûaIitA, sal te| ,rrqtéria xlenonagnétiques L4.2 Matériaux fenîmagnétique dur
Les matériaux magnétiques durs coDservert leul état d,aimantatior inital rnêrne lors de
l'application d'un champ magnétique relativernent élevé. Ils sont utilisés comme souce de
chmp magnétique dans les machines électriques [5]. l,es ferromagnétiques duls ont un chGp
coercitif importat (de 50 à I 500l<A/rn). Ce cycle d,hystâésis est Aès hrge, c,est_à_di.€ que Ie champ magnétique exterie'r, qui doit êt.e appliqre pour annuler ou ietoùmer l,arnantation naturelle du matédaù, doit être très élevé [6].
Figure I.5 Cycle d'hystéresis pour les matériaux ferromagnétiques dur.
I.5 Théorie d€s domaines magr étiques
La theorig des domaines magnétiques permet d,expliquer les mécadsm€s iesponsables de
l'aimdtation des matériaux ferrr:,ma3gétiquru usuels. Elle a éte élaboÉe par pierre Weiss [5], I.5.1 Organisation etr dotrrsine
C€tte théorie stipule que le materiau {}st coositué de domaines (domaiûe de Weis.s) où I'aimantatioû iDteme est aligrée selon une tlirection uniqùil. Cette aimantation à l,iûtérigur des domahes est appelee aimmtation spontatrée. Iæs domaires sort separés pal des parois doot I'epaisseur est, daûs les malériaux usùels, braucoup plus petite que la taille des domarLes. Ces parois ported le nom de parois de Bloch i'5], c,est ule région où les mometrts magûéùques changent gmduellement d'un domaine de Wsiss à I'autre, darls ur axe perpendiculaire à la paioi.
B
Pa€.eT
Chopite I GénAaIitA, s!r/ ks natériorx lqroftsgn&i4aes
Figure L6 Domaines magrLetiques.
L'état global d'aimantâtion du matâiau est donné par I'oiientatioû relative de la diiectioû de
I'aimantation des domaines. tt I'etat désaimantg, I,orientation de l,aimantation de chaque domaitre magnétique est tron pn{ictible. Lt disposition des domaiaes est tglle que la somme des moments magnétque et mlle 0t I'aimant liol globale rËsullanie est nulle. À l,etar aimânûe à satuahon, 1'aimâtrtaûon de tous les domaines magnétiqu€s est alignee s€lon une drrechon unique t5l.
tr'igEre L7 Mouvemeût desi parois des domaines magrrétqùes lorc de l,aimantatio! d,un nlatériau ferromagûétique.
L6 Phéaomènes de couplsge mflgnéto-mécaniqùe
Les phenomènes de couplage magÉto-mécaique oût deùx marifestations prmcipales : Ia deforEatioû de magûétoshiotion (dite de Joule) et I'eIIet des contraiûtes sur l,aimantation [7].
On s'intâesso par la suite s€ulernent .i la déformation de Joule.
H]
---1) tfiif,l'r.i|.lh
ùlTi
lCnWn" t Gëné Ms sur tes nutëriauxfenonngnaî4aes I.6.1 M.gtrétostriction
La ma$étostsictotr est le nom domé aux divers changements des propriétés élastiqu€s d,un materiau feûomagnétique obriervrls lors du processus d,aiEartatiod. Les effets réciproqùes, changement d'aimaotation indùit par le r:hangernent des propriétés élastrques, sonr égal€metrt
nommes magnetostriotion ou parfois magnétoshiction inverse. Le princlpal effet de magrétostriction est l,effet JoL e longitudinal qui correspond à la varialion de ioùguerù. d,nûe pièce ferromagnétique dans la direction d'açrplication d,u champ magnétique. Les auhes ellèts sont [8] :
. L'effet de Villari, ohangement du champ d,induction B dû à ure conûamte lorgitudiûale.
r L'effet de Villari trarBversg changemert du champ d,iaduction B dû à une coûtraiûte trarsvers e.
. L'efet de Joule trarsverse, oh:mgemert de dimeasion dans la direouon ttransverse à la direction d'application du champ nragnâique.
' Le chargement du module d'young Ë et du module de cisaillement c eû fbûctior de I'aimaûtation.
. L'eff* de Guillcmil (et etret dle Guillemin inverse),
effet de flexion duÈ au champ magnétiqu€ (et effet reci proque, aimantation due à la flexioû dù maténau) .
. L'effet de Weidman (et effet dÈ rùeidman inrerse), effet de torsion dû à uû chahp circulaire et longitudinal (et effet reciproque, aimantatiorr longihrdmal e du€ à la torsion d'une barre cùcullaire et aimantée).
. Le chatrgement de volume sous ainaatatiou (et effgt inverse, changemelt de I'aimantation lonque le r,olune change)_
L6J Magnétostriction macroxopique
Tout comm€ l'aimzmtation des ûatériaux ferromagnétiques, la magnetostricrion est la manifestation rnacroscopique des pbéûomàres microscopiques. L€s moments magnetque, des differents domaines magnétiques d'ùr hatâiau ferromagnritique s'oriented suivant ril direction du champ magnétique imposé. Ce mouvement est accompagné d,une défonnation ét astlqùe du matériau epelé magnétostriction d€ Joule. Cet effet est rep.és€nté sur la figure (l.E) oti les
cortours violets désignett les domaines magnétiques et ou les flèches vertes dési€rent I'orieûtation des moments magnr:tiques au sein drx domaines. La différence de lonsueur ont e l"état désaimanté et 1'etat d'aimæLtation imposée tron nullç €st troté€ e.
lcnooin" r Gën&aIMt sttr les tnntâierx feûonwgnhiqaT
ljH fl= ri
llHil'{)
rq)
|.4> directioa d'àimantàtion imposée
Figure I.8 ReF€s€ntation schématique de l,effet de magnâostriction avec lue Ent € l'état désaimaûte et ùr état d'aimantatior imposee non nuJle.
La magnétostrictioo d'u! rDatériaù deperd par defuition du champ magnétrqlæ appliqué à ce materiau, et par suite de tous les auftes làcteurs affectant l,aimantation de c€ marenau comme son hi$oire magnetique ou sa tolnpérah[9. La magnétoshiction varie ahsi selon des cycles d'hystéÉsis en fonction de l,intensité du champ hagnetiqûe appliqùq B où H. La défbûnation Ê
due à l'effet de hagûétostriction est génâalement très faiblc, de l,ordre de 10-6 â. 10-r, . et
varie avec I'intensité du cha'p appriqué, B ou H. comme pour raimantaûoù, la deformat:on de magaetostriotion du rnaûeriau dteint une valeul limitc (E â rralulation), appelée magnélostriction à satuaùon dont la valeur est de l'orde de 10-6 à 10-s
I.6.3 Mignétostriction de Joule
Dms la suite de la section, seuls les efÊets Joule (longitudhal et transverse) sotrl. traités car ils sont predoEinants. La ma$ritostriction sera donc le phénomène par lequel, sous |,efet d,uû cbamp magnétique, rm matériau fenomagnétique changer de dimensions. ce chansement de dimersion est suprpose ne pas s,accompaguer de chargeme t de volume.
La figure (L9) présente là variation sous champ magtrétique, de la dcfbrmertion de magnetostriction de quelques métaux et alliages métalliques [9] :
--_ ___- jPage 10
lcnwin"r GénqaIAc sar tes ruMriqur fqrcf,tsgrrétiqves
!sriâtiontrêtàrrlve de lonsuèu,
5D
31) 2tJ
l{,
al
-20 -3{
16 .lc 32 AO .r+r :,e o_1
Ch.mf' maqnet què àÊptiruè Hr 'kAlftj
Figùre I.9 Effet Joùle lonljtudlinal de quelques métaB et alliages métalliques en lbrction
du chaûrp magnétique appliqué.
La deformation de magnétostridion é\,olue de façoq fortemett oo1r linéaire avec ]te champ magnéhque appliqué. De plus, pour certains maleriaux tel que le 1èr, ou bier c€rtahs :![iages à base d cobalt (co) et de nickel (Ni), la variatior, ra varialion de la defomatior de magn&ostriction en fonction du: champ nagnétique n,est pas moûotorre. pour le cas clu 1,er, la déformatiotr de magnétostriction est positive, sous champ :faible, puis decroit et change de signe
sous chmp élevé. Le coûtportement non liaéaire de c.ctte caracténstque d{p€trd considerablemelt du matériau airsi quo des conditions exti.ieures appliquées (chmp
magnétique et coûtrainte mécani,lue appliqués à la stmcturo.
I.7 Comportem€nt mécanique des matériaLux
Lorsqu'on applique uoe contaiirte sur un matériau, ir se déforme. Les graûdeurc utilis€es pour décrire l'état méoa que sont la contafute o et la dléformation élastique e, qul sont des tens€ùrs d'ordre 2. La toi de coblport€mert (loi de Hooke) qui Lx relie peut s,écrire sous la forme [l0] :
(r.2)
lcnoem t GénhotitS mr tes rutbiaax
t : Conhainte mécanique
C : Matioe d'élasticité (module de youûg €t coeffcie
€ : Déformation totale (élastiqug thermioue et de
L7.l Mrérirur isotrcpes
La plupart des allieges métalliques sont cotrsidérés
ù nateriau sort itrd€p€,ûdmtes de la directiol.de hdep€daDtes (c'est-à{ire des çonstaûtes élastiques) confomite, pa: oppositior aùx 2l constmtes élastioues
Les deux constaDtes élastiques sont géûéralemed ca€ffci€Nrt de Poissotr r.
La loi de Hooke dans le formulaire rigidité €st [l U :
tlb-l
Ywltl lot'l tl
Y^l
lory l
1
E
€tcr
en
ezz
ext
€zt try
E : Module de Yormg
z : Coefficient de poissoû
La matice de codomrité est égale à l,invers€ de la 0 +'Xr- 2y)
1-y-y
-v I -r, -y-y1
000 000 000
l-v v
y l-y
00 00 00
l-t
0 0 0
0 0 0
1- Zv 0 0
ow
ozz
nlz 64
00
0000 l*v 0
0 l+r,
00
0 û 0 0 0
poissoû) iction)
où par definitioa les progietés matiàes ont seulernent 2 variables daqs lçurs mahic€s de rigidité et de
le cas misotrope geÉral.
par Ic module dc Young E €t le
0 0 0 0
l-
0
0 0 0 0 0
1- 2v
"w êz
"tz
êzt
"rg
(r.3)
de rigidite, et est dolr€e pû :
1*v tp
(r.4)
L7.2 Matériau anisotrope$
Les matériaux anisotropes diferent des isotropes par leurs propdétés physiques (modùles d'élasticité, coefficients de poisson,
conduotiviÉ th€rqique...etc) qui ort des valcurs drfl:érentes en fonctioll de l,orientalion spatiale du corps physique.
Iæ comport€mert élastiquc du mzûeriau qst mqdélisé pa, un tens€ur dordre 4 [Caa]
contgnant 81 coefiicients éla$iques. Le lrombre de coqlfici€nts iûdépendaDts est néduit â 2l en
telaùt compte de la s]Ânét ie d€s tenseurs de contrahlos €{ de defomatiors, et de la stabilité én€rgétique du tensqrr. Or a :
lcnota"r
oij = Ciikr. ekr
ttj : Tens€urs de containtes
C;.y11 : Tenæurs de rigiditri ep1 I Tenseurs de défomntions
Gën&alilet sar les nathiarx lqlomognûiqaes
Du fait de ces propriétés de syrnétrig le tenseur C:,jd peut être reFessnté sous la fo.me d'une matrice 6x6, où les directions représentent les direçtioûs de la déformation.
(r.s)
o
6zz
6!"
6zr 6*/
ctt clt
C:r cqr
4t
cat
crr C::
Cl:
cst
cat
-17
\-43 c53
'63
(r.6)
Exx
"t!
et"
Êzx
9-, ct+
Çzc c34 cqq
Cy
caq
sr4 sl5 sl6l
St4 S25 5:26 j
sr4 SJ5 sr6l s44 s45 s46
sj.r ùs ssr |I
sri+ srs srrJ atr
Ê$
Ezz
"!,
êzr
"tr
cts ct r
Çzs czt
c:s c:r cq5 cq6
cl5 cso
cas cca
De màne, le tetrseur (S) de confonnite peut être €cdls commc
stt S:r
Sl
s+t
rt:
Sz.r
Sl:
sqz é5),
ù13
S.:
'33
Sq:
Ss:
St;l
o!!
ozz
olz
dzx
or!
sst 16l
(1.7)
IAtWW t cénbûIit& str Ic: ndériawîeîorrxqnffiiqaes
Pamti la yari€té des maldaux ânisoûope, otl dis:tingue deux typ€s de plùq grande wleùr
praùque, les matâiâux dits orthotropes et traNv€{salen€nt isotroD€s.
I.7.2.1 M.tériaùx orthotmpes
Uû matériau orthohope a au moins 2 plans de symétrie orthogonau4 où les propnét€s du matgriaÙ soût iûdép€ndades de la direction dans claque plan (le long 4esquellcs ses caractéiistiques r€stert inchargées). De tels matériarx récessitert 9 variables indéDendmûes (c'est-iidire des coostartes élastiques) dans leurs matriçes coqstitutives.
La folme geléraliséo de ta loi de Hooke peut êho définit coume sùir [l2l :
ûrr
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l _t fzyq ErErL
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(r.8)
Avec :
4 :7- vrytlr - vlzrT - vzrt'z - 2vrlv Jzvac
ExEJEz
Lc comportement élastique d'ur matâiau composite orthotrope peùt être d€cfit pa. les 9 modules ind€peûdanh :
. 3 moû es d'young É'
. 3 coefficienls de Poissol y
. 3 modules de cisaillemqrts G La matriçe de coDfonn ité prend la forme .
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