PARAMAGNÉTISME ORBITAL ET ANISOTROPIE MAGNÉTIQUE DES MÉTAUX DE TRANSITION

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Submitted on 1 Jan 1971

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PARAMAGNÉTISME ORBITAL ET ANISOTROPIE MAGNÉTIQUE DES MÉTAUX DE TRANSITION

F. Ducastelle, F. Cyrot-Lackmann

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F. Ducastelle, F. Cyrot-Lackmann. PARAMAGNÉTISME ORBITAL ET ANISOTROPIE MAGNÉ-

TIQUE DES MÉTAUX DE TRANSITION. Journal de Physique Colloques, 1971, 32 (C1), pp.C1-

536-C1-538. �10.1051/jphyscol:19711180�. �jpa-00214003�

ANISOTROPIE

PARAMAGNÉTISME ORBITAL ET ANISOTROPIE MAGNÉTIQUE DES MÉTAUX DE TRANSITION

F. DUCASTELLE

ONERA, 29, avenue de la Division Leclerc, 92, Châtillon F. CYROT-LACKMANN

Physique des Solides, Faculté des Sciences, Bâtiment 510, 91, Orsay

Résumé. — On utilise un développement en moments de la densité d'états pour étudier dans l'approximation des liaisons fortes, le paramagnétisme orbital et son anisotropie, ainsi que l'anisotropie magnétique des métaux ferromagné- tiques.

On montre que les grandeurs caractérisant l'anisotropie changent de signe quand le remplissage de la bande d varie, et qu'elles dépendent de la valeur du rapport c/a comparée à la valeur « idéale », c/a = 1,63 pour des métaux hexagonaux.

Abstract. — The orbital paramagnetism and its anisotropy, and the magnetic anisotropy of ferromagnetic metals are studied in a tight-binding scheme, using an expansion of the density of states in its moments. It is shown that the sign of the quantities related to the anisotropy change when rilling the d band, and that these quantities depend on the value of the c/a ratio compared to the «ideal» value cj a = 1.63.

Introduction. — On étudie ici certaines propriétés magnétiques des métaux de transition comme le paramagnétisme orbital et l'anisotropie magnétique des métaux ferromagnétiques qui font intervenir des transitions entre les diverses bandes d et qui dépendent donc de tous les états de ces bandes. Ces grandeurs ont déjà été étudiées dans l'approximation des liai- sons fortes en utilisant des développements en pertur- bations dans les calculs de structure de bandes [1-3].

Les calculs numériques sont lourds, et peu de résul- tats systématiques ont été obtenus à ce jour.

On utilisera ici une approche différente, basée sur le calcul des moments de la densité d'états. Dans l'approximation des liaisons fortes, ces moments m„

se calculent par une méthode de décompte de chemins sur le réseau faisant intervenir les intégrales de recou- vrement à deux centres liées à la position et à la forme de la courbe de densité d'états [4-5]. Le calcul des premiers moments, seul aisé en pratique, suffit pour obtenir une bonne estimation des propriétés intégrales de la densité d'états, par exemple la somme des énergies à un électron E

. Ces moments fournissent également des résultats qualitatifs exacts ; ainsi on peut montrer que si deux densités d'états ont les mêmes p premiers moments, la différence des énergies de bande E%

s'annule au moins p — 1 fois entre les limites de la bande d [5]. De plus, les moments M

de E

considéré comme fonction de E

, position du niveau de Fermi, sont directement reliés aux moments ôm

:

ÔM„ = Sm„

/(n + 1) (n + 2) .

On étudiera ici la variation des moments de la densité d'états due et à une perturbation dont on ne gardera que les contributions intra-atomiques.

I. Paramagnétique orbital. — Quand on applique un champ magnétique, le moment orbital des élec- trons de valence est bloqué au premier ordre en per- turbation. La contribution du second ordre est par contre importante pour les métaux de transition,

et est à l'origine du paramagnétisme orbital, ou de Van Vleck.

La perturbation est ici

U

= — jU

L . H où L est le moment orbital, et H le champ magnétique. Le moment d'ordre n de la densité d'états s'écrit

m, = jjTT{X + <V)

, (1) J6 étant l'hamiltonien non perturbé, et N le nombre

d'atomes soit en ne conservant que les termes en "XS

ôm

= m„ - ml = ^ ^ - £

<V

(rd £_

(rd +

+ jè^ I [ H J , ^ ] ^ , ^ ] . (2)

4 N

p+a=»-2

ml et nl~2 sont les moments de la densité d'états non perturbée pour toute la bande d'une part, et pour la bande normalisée à l'unité de symétrie r^

d'autre part ;

U

(r

) = — Tr

"V

, p; étant la dimen-

Pi

sion de l'espace r

dans lequel on prend la trace.

Les premiers moments ne dépendent ni de la struc- ture cristalline, ni de la direction de H .

En effet

ôm

= ôm

= 0

ôm

= O B H)

i Tr L

= 10O

H

) (3) ôm

= 0

si on néglige les intégrales de dérive de la bande [4-5].

Le second moment permet déjà de donner l'ordre de grandeur de la susceptibilité orbitale x '>

repré- sentant la densité d'états par une gaussienne ajustée à son second moment,

y = 20-^- J _ ^e ~ ^E ^

\j\i

\I2TC

soit pour une bande à moitié pleine, avec V ^ ~ l e V [5],

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19711180

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x - ^{300 x} 10-6 u. e. m./atome, ordre de grandeur tout à fait comparable aux estimations expérimentales et théoriques antérieures [6]. Les moments suivants dépendent de la structure cristalline par l'intermédiaire des intégrales de recouvrement, et de la direction de H pour un réseau non cubique. On a calculé dm4 pour des structures CFC et HC. Dans ce dernier cas, on trouve que 6m4 n'est anisotrope que si le rapport c/a s'écarte de sa valeur

idéale >> clai, = J8/3 = 1,63.

et 6m4, étant les moments calculés pour un champ parallèle ou perpendiculaire à l'axe de symétrie d'ordre six, on trouve

- Sm4J/(yB ⁼ 12 5[9(2 ddo2 -

ddn2 - dda2) + 2(ddn - dd6)'

+ 3(ddo - ddn)'] (4) où ddo, ddn et dd6 sont les intégrales à deux centres définies par Slater et Koster [7], et ( = 3 ^&y avec

q est la variation relative des intégrales de recouvre- ment avec la distance interatomique R, [5].

De la formule (4), on tire un ordre de grandeur de

en utilisant pour ddo, ddn, dd6 et les valeurs calcu- lées dans [5] et en ajustant les densités d'états à leurs premiers moments avec une série d'Edgeworth, soit Ax/x - ^{2 x} Cet ordre de grandeur dépend bien sûr du modèle utilisé pour la densité d'états.

Par contre, le fait que les trois premiers moments soient isotropes implique, indépendamment de ce modèle que Ax doit changer de signe au moins deux fois quand le remplissage de la bande d varie.

Nous n'avons calculé que la contribution due à une variation du rapport cla. Pour un empilement compact idéal, l'anisotropie existe encore et apparaît à partir du sixième moment.

Les mesures d'anisotropie de la susceptibilité des métaux de transition sont encore rares [8-101 et con- tradictoires Ill-121 ; leur résultats sont portés dans le tableau 1. AX/X change bien de signe suivant les métaux, mais est nettement plus fort (de 10 à 60 %)

que nos estimations. Il serait intéressant de calculer AX à l'aide des structures de bandes, au cas où les résultats expérimentaux se confirmeraient.

II. Anisotropie magnétique des métaux ferromagné- tiques. - L'hamiltonien comprend ici un terme qui décrit la dérive des bandes de spin f et de spin 1,

et un terme de couplage spin-orbite qui induit l'aniso- tropie [2, 3, 14, 151

Il est facile de voir que pour une structure non cubi- que (perturbation en R2), le premier moment aniso- trope est le sixième. Dans le cas d'une structure cubi- que (perturbation en R4), le premier moment aniso- trope est alors le dixième ce qui implique que la pre- mière constante d'anisotropie change de signe au moins huit fois quand le remplissage de la bande d varie, 1 et 6 restant fixés. En fait A et 6 varient suivant les métaux et alliages ferromagnétiques ; on comprend cependant que les constantes d'anisotropie de ces systèmes soient de signe et de grandeur différents ainsi que le montrent les résultats expérimentaux [16]. Par exemple, la constante KI change deux fois de signe dans le domaine d'existence de la phase CFC du sys- tème nickel-cobalt. Quant à la constante K2, elle est reliée aux termes du sixième ordre en perturbation et on s'attend à un caractère oscillatoire encore plus accentué, ce qui semble bien le cas [16].

Dans le cas d'une structure HC, on peut faire des calculs tout à fait analogues à ceux du 1, en particu- lier on trouve que le sixième moment n'est anisotrope que pour un c/a non «idéal » ; sinon il faut aller jusqu'au huitième moment. Ceci explique sans doute l'anisotropie relativement faible d'un métal HC comme le cobalt. Un calcul analogue à celui effectué en 1 donne 1 K 1 < ^{3 x} 106 erg/cm3, avec R ⁼ 10- eV et 6 = 1 eV. De plus le changement de signe observé pour K vers 250 OC pourrait être dû à la diminution du terme dépendant de c/a, puisque le c/a du cobalt rejoint la valeur idéale quand on s'approche de la transformation HC-CFC qui a lieu à environ 420 OC.

On pourrait encore étudier d'autres grandeurs, comme les rapports gyromagnétiques g et g', ainsi que leur anisotropie dans le cas de structures non cubiques. On trouve bien que

pour les métaux ferromagnétiques ; l'anisotropie de g (ou g') pour le cobalt devrait être faible :

TABLEAU 1

Valeurs expérimentales des susceptibilités mgnétiques de monocristaux de métaux de transition hexagonaux (les susceptibilités sont exprimées en 1 0 - ~ u. e. m./mole)

Métal

(*) A~ = XII - XI.

Référence

Y 190 60 - 26 - 0,43

Sc 263 + ⁵⁵ + ^{0,55 [ i l ] [91}

(*) xorbital est obtenu de xtOta, par déduction du terme de Pauli isotrope.

(**) Cette valeur estimée par Gardner et Penfold [13] paraît plus réaliste que celle donnée par Ross et al. [12].

C 1 - ⁵³⁸ F. DUCASTELLE, F. CYROT-LACKMANN

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151 DUCASTELLE (F.) et CYROT-LACKMANN (F.), à paraître JETP, 1963, 17, 12281.

dans J. Phys. Chem. Solids. [12] Ross (J. W.), FRADIN (F. Y.), ISAACS (L. L.) et LAM [6] MORI (N.), J. Phys. Soc. Japan, 1968, 25, 72. 1968, ^@. J.), Phys. Rev., 1969, 183, 645 et erratum

à paraître.

269 926' cités dans le second article. De nombreux ^Wavaux

_{[13] GARDNER} 11, 549. (W. E.) et PENFOLD (J.), Phil. Mag., 1963,

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39, 1282. [16] Voir par exemple KNELLER (E.), Ferromagnetismus,

[7] SLATER (J. C.) et KOSTER (G.), Phys. Rev., 1954, 1962, Springer-Verlag, Berlin-Gottingen-Heidel-

94, 1498. berg, p. 190.