Exercices de mécanique 1
Vecteurs et forcesExercice 1
Une force P d’intensité 100 kN est appliquée au point A. Décomposer P en deux forces parallèles AB et AC.
B P
A
35°
70°
Solution
B P
A
35°
70°
35°
110°
110°
70°
110°
D
C E
Par simple construction géométrique, il est facile de déterminer les angles indiqués sur la figure.
Formule des sinus.
On sait que dans tout triangle ABC, on a :
sinA sinB sinC a b c Appliquons cette formule au triangle ADC :
sin110
.100 163.83 sin 35
DC AC AD
AC N
(0.1) Il est clair que le triangle AED est isocèle, donc AE = AD = 100 N
Exercice 2
L’intensité de la force F est de 500 kN. Quelles sont les intensités des forces F1, F2, F3
dont la résultante est F et parallèles respectivement aux axes Ox, Oy et Oz ?
A
4 m 6 m
3 m
B F
Solution
Coordonnées des points A et B.
: 4, 0, 3 : 0, 6, 0 A
B (0.2)
Ce qui permet de définir le vecteur AB
: 0 4, 6 0, 0 3 ( 4, 6, 3)
AB (0.3)
Et donc le module de AB
2 2 2
4 6 3 7.81
AB m (0.4)
Et dès lors les composantes, selon les trois axes sont : 4 . 500 000 256 080 7.81
6 . 500 000 384 110 7.81
3 . 500 000 192 060 7.81
x
y
z
F N
F N
F N
(0.5)
Note :
On vérifie que
256080 2 384110 2 1920602 500
F kN (0.6)
Déterminer Ax, Ay et Az ainsi que les angles entre A et les axes Ox, Oy et Oz.
A
30°
12 m
y x
z
40° B
A
30°
12 m
y x
z
40° B
O
Solution On a :
cos 12 cos 60 6
OB OA AOB m (0.7)
Donc :
cos 40 4.6 cos 50 3.86 cos 30 10.39
x
y
z
A OB m
A OB m
A OA m
(0.8)
Les angles demandés sont les angles directeurs du vecteur A :
2 2 2
cos .1
4.6 0.3833 67.46
12
x A
A A A
A x
A x y z
(0.9)
De même
cos 3.86 0.3217 71.24
12 10.39
cos 0.8658 30 (
12 ce que l'on savait)
Note : on vérifie que
2 2 2
2 2 2
cos cos cos 1
0.3833 0.3217 0.8658 1
(0.10)
Exercice 4
On donne les trois vecteurs :
8 1 4 1 2 1 2 1 6 1 3 1 2 1 4 1
x y z
x z
x y z
A B C
(0.11) On demande :
1) A B.
2) La longueur de la projection de B sur C 3) A B
4) Un vecteur qui est perpendiculaire à A et à B 5) A B C .
Solution
1)
: 8, 4, 2 : 0, 2, 6
. 8 0 4 2 2 6 4
A B A B
2)
Première méthode : On calcule l’angle entre Bet C
2 2
2 2 2
: 0, 2, 6 : 3, 2, 4
0 2 6 6.32
3 2 4 5.39
. 0 2 2 2 6 4
cos 0.5871
6.32 5.39
cos 6.32 0.5871 3.71
B et C
B C
B C B C
Et donc la projection p est : p B
(0.12)
Deuxième méthode :
La projection p est simplement le produit scalaire de Bpar le vecteur unitaire de C. En effet :
. . 20
cos 1 3.71
c 5.39 B C B C
p B B B
B C C
(0.13)
1 2 3
1 2 3
: 8, 4, 2 : 0, 2, 6
8 4 2 28 48 16
0 2 6
A et B
e e e
D A B e e e
(0.14)
Note : on peut faire la vérification suivante en calculant le module de Dde deux façons différentes.
La formule (1.14), nous permet d’écrire :
2 2 2
28 48 16 57.83
D (0.15)
D’autre part, on sait que
sin
D A B (0.16)
par définition du produit vectoriel.
Calculons l’angle entre les vecteurs Aet B
: 8, 4, 2 : 0, 2, 6
64 16 4 9.17 4 36 6.32
8 0 4 2 2 6
cos 0.069 93.96
9.17 6.32
A et B
A et B
(0.17)
Et donc :
sin 9.17 6.32 sin 93.96 57.83
D A B
d)
Un vecteur perpendiculaire à Aet B est tout simplement donné par A B C’est donc le vecteur D donné par (1.14)
Le vecteur unitaire est donc :
1 2 3
28, 48, 16
1 0.4843 0.8302 0.2767
57.83
D
D e e e
D
(0.18)
Vérifions que 1Dest bien un vecteur unitaire.
2 2 2
1D 0.4843 0.8302 0.2767 1 e) Il suffit d’appliquer la formule :
: 8, 4, 2 : 0, 2, 6 : 3, 2, 4
8 4 2
A B C
Exercice 5
Soit Rle résultante des forces F F F1, 2, 3. F1 = 260 N ; F2= 260 N ; F3= 260 N Déterminer :
a) L’intensité de R
b) Les angles de R avec les trois axes
c) Les coordonnées du point d’intersections de Ravec le plan Oyz
z
x
O y
B
D
A
C
F1
F3
F2 3 m 12 m
4 m
Solution
a) On détermine d’abord les trois forces :
1 1 1
3, 12, 4
1 260 60, 240,80
13
: 3,12, 0 : 0, 0, 4 : 3, 12, 4 9 144 16 13
AB
F F F AB AB
car A B AB AB
(0.20)
De même,
2 2 2
3, 0, 4
1 75 45, 0, 60
5
: 3,12, 0 : 0,12, 4 : 3, 0, 4 9 16 5
AC
F F F AC AC
car A C AC AC
et
3 3 3
0, 12, 0
1 60 0, 60, 0
12
: 3,12, 0 : 3, 0, 0 : 0, 12, 0 12
AD
F F F AD AD
car A D AD AD
Et finalement
1
2 2 2
60 45, 240 60,80 60 105, 300,140 105 300 140 347.3
i
R F
R N
(0.21)
cos 105 0.3023 107.6 347.1
cos 300 0.8638 149.7
347.1
cos 140 0.4031 66.23
347.1
R
R
R
x R x
R x
R
(0.22)
c)
On va établir les équations paramétriques de la droite support de R
On calcule d’abord un vecteur directeur de cette droite. Connaissant le point, les équations paramétriques sont immédiates.
Le plan Oyz, a pour équation x = 0. Cela nous permettra de déterminer la valeur du paramètre k, et ensuite les coordonnées y et z.
300 140
: 105, 300,140 : 1, , 1; 2.86; 1.33
105 105 : 3,12, 0
3
12 2.86 0 1.33
0 3
0, 12 2.86 3 ,1.33 3 0, 3.
R vR
A
x k
Equation de la droite : y k
z k
Comme dans le plan Oxy, on a x k Point de percée :
43, 4
(0.23)
Exercice 6
Calculer le moment de la force Fpar rapport à C.
Quelle est la distance entre C et la droite support de F
z
y O
B
A F
2 m
3 m
F = 500 N
Solution
Calculons le vecteur F
: 0, 4, 0 : 2, 0, 3 : 2, 4, 3 4 16 9 5.39 2, 4, 3
1 500 186.69, 371.39, 278.54 5.39
: 0, 4, 0 : 2, 4, 0 : 2, 0, 0 2
AB
C
A B AB AB
F F
A C CA CA
Le moment de F par rapport à C est donné par la formule : F CA
M
1 2 3
2 0 0 0, 557.08, 742.78
185.39 371, 39 278, 54
C
AB
e e e
F
M
(0.24)
Rappel : le moment d’un vecteur par rapport à un point est un vecteur.
La distance entre C et la droite support de F est :
1 2 3
: (2, 0, 0) : 2, 4, 3 5.39
2 0 0 0, 6,8 36 64 10
2 4 3
1
La distance du point C par rapport à une droite AB est AC AB
d
AB
Or AC AB AB
e e e
AC AB AC AB
AC AB d
AB
0
1.855
5.39 m
(0.25)
Déterminer le moment de F par rapport au point A.
A B
60 mm 80 mm
F = 200 N
Solution
Calculons la force F
2 2
: 80, 0 : 0, 60 : 80, 60 80 60 100
80, 60
1 200 160,120
DB 100
D B DB DB
F F
(0.26)
Et le moment de F par rapport à A est :
1 2 3
3
: 40, 0 : 80, 0 : 40, 0
40 0 0 4800
160 120 0 4800
A
A
A D AD
e e e
F AD F e
F J
M
M
(0.27)
