Chapitre 4
Fonctions R´ eelles et Continuit´ e
On utilisera la notation suivante : SiI est intervalle de la forme [a, b], ]a, b], [a, b[ ou ]a, b[, on notrera I l’intervalle [a, b].
4.1 Limites
4.1.1 D´ efinitions
D´efinition 4.1.1 (Limites finies) SoitI un intervalle born´e,x0∈I et f :I\ {x0} →R.
– On dira quef admetl∈Rcomme limite `a gauche dex0ou encore quandxtend versx0par valeurs inf´erieures `ax0si et seulement si
∀ε >0, ∃η >0 tel que∀x∈I, x0−η < x < x0⇒ |f(x)−l|< ε.
On notera limx→x0
x<x0 f(x) =l.
– On dira quef admetl∈Rcomme limite `a droite dex0 ou encore quandxtend versx0par valeurs sup´erieures `a x0 si et seulement si
∀ε >0, ∃η >0 tel que∀x∈I, x0< x < x0+η⇒ |f(x)−l|< ε.
On notera limx→x0
x>x0 f(x) =l.
– On dira quef admetl∈Rcomme limite enx0ou encore quand xtend versx0 si et seulement si
∀ε >0, ∃η >0 tel que∀x∈I, x0−η < x < x0+η ⇒ |f(x)−l|< ε.
On notera limx→x0f(x) =l.
Exemple 4.1.2 SoitE:
R −→ R
x 7−→ E(x) la partie enti`ere. Alors – limx→1
x<1 E(x) = 0.
– limx→1
x>1 E(x) = 1.
– E n’a pas de limite lorsquextend vers 1.
Exemple 4.1.3 Soitn∈N∗et x0∈R. Alors limx→x0xn =xn0. Soitε >0. On a
xn−xn0 = (x−x0)(xn−1+xn−2x0+. . .+xn−10 ).
Pour|x|<|x0|+ 1 on a
|xn−1+xn−2x0+. . .+xn−10 | ≤ |xn−1|+|xn−2x0|+. . .+|xn−10 |< n(|x0|+ 1)n−1. Donc si|x−x0|<min nε,1 +|x0|
on a|xn−xn0|< ε.
Th´eor`eme 4.1.4 f admetl comme limite enx0 si et seulement si f admetl comme limite `a droite et `a gaughe dex0.
D´efinition 4.1.5 (Limites infinies) SoitI=]a, b[ un intervalle born´e etf :I→R.
– On dira quef tend vers plus l’infini lorsque xtend versbpar valeurs inf´erieures `ab si et seulement si
∀M >0, ∃η >0 tel que∀x∈I, b−η < x < b⇒f(x)> M.
On notera limx→b
x<bf(x) = +∞.
– On dira quef tend vers moins l’infini lorsquextend versbpar valeurs inf´erieures `absi et seulement si
∀M <0, ∃η >0 tel que∀x∈I, b−η < x < b⇒f(x)< M.
On notera limx→b
x<bf(x) =−∞
– On dira quef tend vers plus l’infini lorsquextend versapar valeurs sup´erieures `aasi et seulement si
∀M >0, ∃η >0 tel que∀x∈I, a < x < a+η⇒f(x)> M.
On notera limx→ax>af(x) = +∞.
– On dira queftend vers moins l’infini lorsquextend versapar valeurs sup´erieures `aasi et seulement si
∀M <0, ∃η >0 tel que∀x∈I, a < x < a+η⇒f(x)< M.
On notera limx→a
x>af(x) =−∞
Exemple 4.1.6 On a limx→0
x>0
1
x= +∞et limx→0
x<0
1
x=−∞.
SoitM >0. Pour 0< x < M1 on a 1x> M et commeM est quelconque, cela montre que limx→0
x>0
1 x = +∞.
SoitM <0. Pour 0> x > M1 on a 1x< M et commeM est quelconque, cela montre que limx→0
x<0
1 x =
−∞.
D´efinition 4.1.7 (Limites `a l’infini) SoitI=]a,+∞[ un intervalle etf :I→R. – On dira que la fonctionf tend vers le r´eell lorsquextend vers +∞si et seulement si
∀ε >0, ∃M >0 tel que∀x, M < x⇒ |f(x)−l|< ε.
On notera limx→+∞f(x) =l.
– On dira que la fonctionf tend vers plus (resp. moins) l’infini lorsquextend vers +∞si et seulement si
∀N >0 (resp.N <0 ), ∃M >0 tel que∀x, M < x⇒f(x)> N (resp.f(x)< N ).
On notera limx→+∞f(x) = +∞.
On d´efinit de mˆeme la limite en moins l’infini.
Exemple 4.1.8 Soitn∈N∗. Sinest pair :
x→+∞lim xn= +∞ lim
x→−∞xn= +∞
et sinest impair,
x→+∞lim xn= +∞ lim
x→−∞xn=−∞.
En effet, soitN >0 donn´e. Alors pourx≥max(1, N) on axn ≥x≥N et donc limx→+∞xn= +∞.
Les limites en−∞se traitent de la mˆeme mani`ere.
Proposition 4.1.9 On a les limites suivantes 1. limx→+∞lnx= +∞
2. limx→+∞lnx x = 0+
Preuve :On montre par r´ecurrence que pour toutn∈Non a ln(2n) =nln 2.
1) SoitM >0. CommeRest archim´ed´een, il existeN ∈Ntel queNln 2> M. Ainsi pour toutx >2N on a puisque ln est croissante
lnx >ln(2N) =Nln 2> M.
2) On a limn→∞ n
2n = 0. En effet, pour tout n ≥ 4 on montre par r´ecurrence que n2 ≤ 2n. Ainsi 0 < 2nn < 1n et comme limn→∞1
n = 0, le th´eor`eme des gendarmes implique que limn→∞ n
2n = 0. Il existeN ∈Ntel que quel que soitn∈N,n > N implique n2ln 2n < ε2. Soit alorsx >2N. Il existen≥N tel que 2n≤x <2n+1. On a alors
lnx
x ≤ (n+ 1) ln 2
x ≤ (n+ 1) ln 2
2n <2(n+ 1) ln 2 2n+1 < ε.
4.1.2 Op´ erations sur les limites
Les op´erations que nous avons pour les limites de suites sont encore valables dans le cas des fonctions : Proposition 4.1.10 (Op´eration sur les limites) SoitIun intervalle,fetgdeux fonctions d´efinies surI,x0∈I´eventuellement infini,aun r´eel. Alors
1. limx→x0f(x) =l implique limx→x0|f(x)|=|l|.
2. limx→x0f(x) =l et limx→x0g(x) =l′ implique limx→x0f(x) +g(x) =l+l′. 3. limx→x0f(x) =l et limx→x0g(x) =l′ implique limx→x0f(x)g(x) =ll′. 4. limx→x0f(x) =l6= 0 et limx→x0g(x) =l′ implique limx→x0
g(x) f(x)= ll′.
Exemple 4.1.11 SoitP(x) =pnxn+. . . ,+p0 un polynˆome de degr´en∈N∗,pn >0. Alors sin est pair :
x→+∞lim P(x) = +∞et lim
x→−∞P(x) = +∞
En effet :
x→+∞lim P(x) = lim
x→+∞pnxn+pn−1xn−1+. . .+p0
= lim
x→+∞xn(pn+pn−1x−1+. . .+p0x−n)
= lim
x→+∞xnpn= +∞.
De mˆeme pour la limite en−∞.
Proposition 4.1.12 Soitf :X →Y etg:Y →Rdeux fonctions,x0∈X tels que limx→x0f(x) =y0
appartient `a Y et limy→y0g(y) =l.Alors limx→x0g◦f(x) =l.
Preuve :Soitε >0. Alors il existeη >0 tel que|y−y0|< η implique|g(y)−l|< ε.
Ensuite il existeη′>0 tel|x−x0|< η′ implique|f(x)−y0|< η.
Alors quel que soitxtel que|x−x0|< η′, on a |g◦f(x)−l|< ε.
Proposition 4.1.13 On a les limites suivantes 1. limx→0
x>0 lnx=−∞.
2. limx→0
x>0 xlnx= 0.
Preuve :
limx→0 x>0
lnx = lim
x→0 x>0
−ln1
x car lnx−ln1
x = ln(x/x) = ln 1 = 0
= lim
X→+∞−lnX en posantX = 1 x
= −∞.
limx→0 x>0
xlnx = lim
x→0 x>0
−xln 1
x car lnx−ln 1
x = ln(x/x) = ln 1 = 0
= lim
X→+∞−lnX
X en posantX = 1 x
= 0.
4.1.3 Comparaisons et limites
D´efinition 4.1.14 SoitV un sous-ensemble deRetx0∈R. On dit queV est un voisinage ouvert de x0 s’il existeη >0 tel que ]x0−η, x0+η[ soit inclus dansV.
Th´eor`eme 4.1.15 Soitλ∈R,X un sous-ensemble deR,x0∈X etf :X →Rune fonction telle que – Il existe un voisinage ouvertV dex0tel que pour toutx∈V ∩I on aitf(x)≥λ,
– f(x) tend versllorsquextend versx0. Alorsl≥λ
Preuve :Supposons qu’on aitλ > l et soitε= λ−l2 >0.
Il existeη1 >0 tel que ]x0−η1, x0+η1[⊂V. Il existeη2 >0 tel que pour toutx∈X,|x−x0|< η2
implique|f(x)−l|< ε.
Ainsi pour toutx∈I tel que|x−x0|< η1 et|x−x0|< η2, on a 0< λ−l≤f(x)−l < ε= λ−l
2 et c’est absurde. doncλ≤l.
Th´eor`eme 4.1.16 SoitX un sous ensemble de R, f etg deux fonctions d´efinies surX,x0∈X. On suppose que
– Il existe un voisinage ouvertV dex0tel que pour toutx∈V ∩X on aitf(x)≥g(x), – f(x) tend versllorsquextend versx0 etg(x) tend versl′ lorsquextend versx0. Alorsl≥l′
Preuve :On applique le th´eor`eme pr´ec´edenth=f−g
Th´eor`eme 4.1.17 (des gendarmes) SoitX un sous-ensemble deR,x0∈Xetf, g, htrois fonctions d´efinies surX telles que
– il existe un voisinage ouvertV dex0 tel que pour toutx∈V ∩X on aitf(x)≥g(x)≥h(x), – f(x) eth(x) tendent versl lorsquextend versx0.
Alorsg(x) tend versl lorsquextend versx0.
Preuve : Soitε >0. Comme limx→x0f(x) =l, il existeη1>0 tel que pour toutx∈X,|x−x0|< η1
implique|f(x)−l|< ε.
Comme limx→x0h(x) =l, il existeη2>0 tel que pour toutx∈X,|x−x0|< η1implique|h(x)−l|< ε.
Soitη <min(η1, η2) tel que ]x0−η, x0+η[⊂V. Alors pour tout x∈X tel que|x−x0|< ηon a
−ε≤h(x)−l < g(x)−l≤f(x)−l < ε.
Proposition 4.1.18 On a limite suivante limx→0ln(x+1)
x = 1
Preuve :En comparant les aires des rectangles de longueur 1 et de largeur x, de longueur x+11 et de largeurxet l’aire que mesure ln(x+ 1), on obtient
x
x+ 1 ≤ln(x+ 1)≤x ∀x >0.
Ainsi
1
x+ 1 ≤ln(x+ 1)
x ≤1 ∀x >0 et le th´eor`eme des gendarmes donne limx→0
x>0
ln(x+1) x = 1.
On d´emontre sur le mˆeme principe que limx→0
x<0
ln(x+1) x = 1.
Th´eor`eme 4.1.19 Soitf et gd´efinie sur un intervalle I=]a, b[. On suppose que – Il existe un voisinage ouvertV debtel que pour toutx∈V ∩Ion aitf(x)≤g(x), – limx→b
x<b f(x) = +∞.
Alors limx→b
x<b g(x) = +∞.
On a les r´esultat analogue suivant : 1. Si f ≤g et limx→a
x>a f(x) = +∞alors limx→a
x>a g(x) = +∞.
2. Si f ≥g et limx→b
x<b f(x) =−∞alors limx→b
x<b g(x) =−∞.
3. Si f ≥g et limx→ax>a f(x) =−∞alors limx→ax>a g(x) =−∞.
sif ≤get f tend vers−∞et ena.
Preuve : SoitM >0. Il existeη8>0 tel que ]b−η1, b+η1[⊂V et il existeη2>0 tel que pour tout x∈I,b−ε < x < bimplique alorsf(x)> M.
Soitη= min(η1, η2). Pour toutx∈Itel queb−η < x < bon a alorsg(x)> f(x)> M ce qui montre que limx→b
x<b g(x) = +∞.
4.1.4 Limites des fonctions major´ ees et croissantes
Proposition 4.1.20 Soitf une fonction d´efinie sur un intervalle I =]a, b[ (b ´eventuellement infini), croissante et major´ee. Alorsf admet une limite finie `a gauche enb. De mˆeme, sif est d´ecroissante et minor´ee, elle admet une limite finie `a gauche enb.
Preuve :On supposef croissante et major´ee. Soitl= supIf existe carf est major´ee. On montre que f tend versllorsquextend versb.
Soitε >0, il existex0∈I tel quef(x0)> l−ε. On poseη =b−x0. Alors commef est croissante, quel que soitxtel que x0=b−η < x < bon al≥f(x)> l−εet donc limx→b
x<b f(x) =l.
Proposition 4.1.21 Soitf une fonction d´efinie sur un intervalle I =]a, b[ (b ´eventuellement infini), croissante et non major´ee. Alors limx→b
x<bf(x) = +∞. De mˆeme, si f est d´ecroissante et non minor´ee,
limx→b
x<b f(x) =−∞.
Preuve :SoitM >0. Commef n’est pas major´ee, il existex0∈]a, b[ tel que f(x0)> M. Ainsi pour toutx∈]a, b[,x > x0 impliquef(x)> f(x0)> M. Comme M >0 est quelconque, on a donc montr´e que limx→b
x<b f(x) = +∞. On d´emontre de mˆeme l’autre r´esultat.
Proposition 4.1.22 Soitf une fonction d´efinie sur un intervalle I =]a, b[ (a´eventuellement infini), d´ecroissante et major´ee. Alorsf admet une limite finie `a gauche ena. De mˆeme, sif est croissante et minor´ee, elle admet une limite finie `a gauche ena.
Proposition 4.1.23 Soitf une fonction d´efinie sur un intervalle I =]a, b[ (a´eventuellement infini), croissante et non minor´ee. Alors limx→a
x>a f(x) =−∞. De mˆeme, si f est d´ecroissante et non major´ee,
limx→a
x>a f(x) = +∞.
Proposition 4.1.24 Soitf une fonction croissante d´efinie sur un intervalle I=]a, b[. Alorsf admet une limite `a droite et `a gauche en tout point de ]a, b[.
Mˆeme r´esultat lorsquef est d´ecroissante.
Preuve :on applique les deux propositions pr´ec´edentes en tout point int´erieur.
4.1.5 D´ efinition s´ equentielle de la limite d’une fonction
Th´eor`eme 4.1.25 SoitIun intervalle, α∈I et f une fonction d´efinie surI. Alors
x→αlim
x6=α
f(x) =l
si et seulement si
quelle que soit la suite (xn)n∈Nune suite d’´el´ements deI convergeant versαon a lim
n→∞f(xn) =l.
Preuve :⇒) Soit (xn)n∈N une suite d’´el´ements de I convergeant vers αet soitε >0.
Commef(x) tend versl lorsque xtend versα, il existe η >0 tel que pour tout x∈I, |x−α|< η implique|f(x)−l|< ε.
Ensuite comme (xn)n∈N converge versα, il existeN ∈Ntel quen≥N implique|xn−α|< η.
Ainsi pour toutn≥N on a |f(xn)−l|< ε, donc limn→∞f(xn) =l.
⇐) On raisonne par contrapos´ee et on montre que si limx→αx6=α f(x)6=lalors il existe une suite (xn)n∈N
une suite d’´el´ements de I convergeant vers αtelle que limn→∞f(xn)6=l.
commef ne tend pas versl lorsque xtend vers α, il existe ε > 0 tel que pour toutη > 0, il existe x∈I, d´ependant deη, tel que |x−α|< η et |f(x)−l|> ε.
Pourn∈N∗, on choisitη=n1. Il existexn∈I tel que|xn−α|<n1 et|f(xn)−l|> ε.
Alors la suite (xn)n∈N tend versαmais (f(xn))n∈Nne tend pas vers l.
4.1.6 Existence de limite : crit` ere de Cauchy
Proposition 4.1.26 (Crit`ere de Cauchy) Soit f : X →R une fonction, x0 ∈X. Alors f admet une limite enx0si et seulement
∀ε >0, ∃η >0/∀x, x′ ∈X, |x−x0|< η et |x′−x0|< η⇒ |f(x)−f(x′)|< ε.
Preuve :⇒) : On suppose quef admet une limite lorsquextend versx0. Notons lcette limite.
Soitε >0. Commef(x) tend versl lorsque xtend vers x0, il existe η >0 tel que pour tout x∈X,
|x−x0|< η implique|f(x)−l|< ε2.
Ainsi, pour toutx, x′∈X,|x−x0|< η et|x′−x0|< η implique
|f(x)−f(x′)|=|f(x)−f(x0) +f(x0)−f(x′)|<|f(x)−f(x0)|+|f(x0)−f(x′)|< ε.
⇐) : On suppose maintenant que
∀ε >0, ∃η >0/∀x, x′ ∈X, |x−x0|< η et |x′−x0|< η⇒ |f(x)−f(x′)|< ε,
et on montre qu’il existel∈Rtel que pour toute suite (xn) qui converge versx0, on a limn→+∞f(xn) = l. Ainsi, la d´efinition s´equentielle de la limite donnera limx→x0f(x) =l.
Premi`ere ´etape :Soit (xn)n∈Nune suite qui tend versx0. Montrons que (f(xn))n∈Nest de Cauchy.
Soitε >0. Par hypoth`ese, il existe η >0 tel que pour toutx, x′ ∈ X, |x−x0|< η et |x′−x0|< η implique|f(x)−f(x′)|< ε.
Ensuite comme (xn)n∈Ntend versx0, il existe N ∈Ntel que ∀n∈N,n≥N implique|xn−x0|< η.
Ainsi, pour tout n, m∈N, n > N et m > N implique|xn−x0|< η et |xm−x0|< η d’o`u|f(xn)− f(xm)|< ε.
La suite (f(xn))n∈Nest donc de Cauchy et commeRest complet, elle converge vers un certainl qui `a priori d´epend de la suite (xn)n∈N. On montre maintenant quel ne d´epend pas de la suite (xn)n∈N. Deuxi`eme ´etape :On montre qu’en fait ne d´epend pas de la suite (xn). Soit (x′n)n∈N une autre suite qui tend versx0. La suite (f(x′n))n∈Nest de Cauchy et converge vers un certainl′.
Raisonnons par l’absurde et supposons quel6=l′. Alorsε= |l−l2′| >0.
Il existeη >0 tel que∀x, x′∈X, |x−x0|< η et|x′−x0|< η⇒ |f(x)−f(x′)|< ε.
Comme (xn)n∈N tend versl, il existeN ∈Ntel que pour tout n≥N on ait|xn−x0|< η. De mˆeme il existeN′∈Ntel que pour toutn≥N′ on ait|x′n−x0|< η.
Alors pour toutn≥max(N, N′) on a
|f(xn)−f(x′n)|< ε= |l−l′| 2 . Lorsquentend vers l’infini on obtient
0<|l−l′| ≤ |l−l′| 2 et c’est absurde ! Doncl=l′
4.2 Continuit´ e
4.2.1 D´ efinition
D´efinition 4.2.1 Soitf une fonction r´eelle d´efinie sur un intervalleI.
– Lorsquex0un point int´erieur deI, on dira quefest continue enx0si et seulement si limx→x0f(x) = f(x0), autrement dit si
∀ε >0,∃η >0/∀x∈I, |x−x0|< η⇒ |f(x)−f(x0)|< ε.
Sif n’est pas continue enx0 elle est dite discontinue enx0.
– Lorsque x0 appartient I, on dira que f est continue `a gauche de x0 si limx→x0x>x0 f(x) = f(x0), autrement dit si
∀ε >0,∃η >0/ ∀x∈I, x0−η < x < x0⇒ |f(x)−f(x0)|< ε.
– Lorsquex0appartientI, on dira quefest continue `a droite dex0si limx→x0x<x0 f(x) =f(x0), autrement dit si
∀ε >0,∃η >0/ x0< x < x0+η⇒ |f(x)−f(x0)|< ε.
Proposition 4.2.2 f est continue enx0si et seulement sif est continue `a droite et `a gauche dex0. Exemple 4.2.3 La fonction ln est continue en toutx0∈]0,+∞[ :
x→xlim0
ln(x)−ln(x0) = lim
x→x0
ln x x0
= lim
t→0ln(t+ 1) = lim
t→0tln(t+ 1)
t = 0.
Exemple 4.2.4 Soitf :
R −→ R
x 7−→ E(x) o`uE est la partie enti`ere dex. Alors quel que soitn∈N, f est continue en tout point de ]n, n+ 1[.f est continue `a droite den mais est discontinue `a gauche den, en particulier, elle n’est pas continue enn∈Z.
Th´eor`eme 4.2.5 (D´efinition s´equentielle de la continuit´e) SoitI un intervalle,α∈I et f une fonction d´efinie surI. Alorsf est continue enαsi et seulement si
quelle que soit la suite (xn)n∈N deI convergeant versαon a lim
n→∞f(xn) =f(α).
Preuve :On applique simplement la d´efinition s´equentielle de la limite.
Proposition 4.2.6 Soit I un intervalle de R, f : I → I continue et (un)n∈N d´efinie par u0 ∈ I et un+1=f(un). Si (un)n∈Nconverge versl∈I on af(l) =l.
Preuve :D’une part limn→∞f(un) =f(l) carf est continue.
D’autre part, limn→∞f(un) = limn→∞un+1= limn→∞un=l.
D´efinition 4.2.7 SoitIun intervalle,x0∈Ietf :I\ {x0}:→Rune fonction telle que limx→x0x6=
x0 f(x) existe.
La fonction
g:
I −→ R
x 7−→ f(x) six6=x0
limx→x0
x6=x0 f(x) sinon.
est appel´e prolongement par continuit´e def enx0. En particulier,g est continue enx0. Exemple 4.2.8 La fonction f :
]0,+∞[ −→ R
x 7−→ xlnx est prolongeable par continuit´e en 0 en posantf(0) = 0 car limx→0,x>0xlnx= 0.
4.2.2 Op´ erations alg´ ebriques sur les fonctions continues
Les op´erations que nous avons pour les limites sont encore valables pour les fonctions continues : Proposition 4.2.9 SoitI un intervalle,f etg deux fonctions d´efinies surI,x0∈I. Alors
1. Si f est continue enx0, alors|f| est continue enx0.
2. Si f et gsont continuesx0alorsf+g etf g sont continues enx0. 3. Si f et gsont continues en x0 et si g(x0)6= 0 alors fg est continue enx0.
Proposition 4.2.10 Soitf :X →Y etg:Y →Rdeux fonctions,x0∈X tels quef est continue en x0 etg est continue eny0=f(x0). Alorsg◦f est continue enx0.
Exemple 4.2.11 Les fonctions puissances sont continues en tout pointx0∈]0,+∞[ comme compos´ee de fonctions continues.
D´efinition 4.2.12 On dit quef est continue sur un intervalleI=]a, b[ si et seulement sifest continue en tout pointx0∈]a, b[.
On dit que f est continue sur un intervalle I = [a, b] si et seulement sif est continue en tout point x0∈]a, b[, continue `a gauche debet `a droite dea.
On dit que f est continue sur un intervalle I =]a, b] si et seulement si f est continue en tout point x0∈]a, b[, continue `a gauche deb.
On dit que f est continue sur un intervalle I = [a, b[ si et seulement sif est continue en tout point x0∈]a, b[, continue et `a droite dea.
On noteC0(I) ou encoreC(I) l’ensemble des fonctions continues surI.
Proposition 4.2.13 La somme, le produit de fonctions continues sur un intervalleIest encore conti- nue surI. Le quotient de fonctions continues est continues surI priv´e des points o`u le d´enominateur s’annule. Les compos´ees de fonctions continues sont continues.
Exemple 4.2.14 Les fonctions sinus, cosinus, exponentielle, logarythme n´ep´erien, fonctions puis- sances, polynˆomes sont continues sur leurs domaines de d´efinition.
4.2.3 Uniforme continuit´ e
D´efinition 4.2.15 Soitf une fonction d´efinie sur une partieX deR. On dira quef est uniform´ement continue surX si
∀ε >0,∃η >0/ ∀x, x′∈X, |x−x′|< η⇒ |f(x)−f(x′)|< ε.
Remarque : contrairement `a la continuit´e,η ne d´epend ni dexni dex′ : il est “uniforme” par rapport au point o`u on consid`ere la continuit´e.
Exemple 4.2.16 Soita >0 etf :
[−a, a] −→ R
x 7−→ x2 . Pour x, x′∈[−a, a] on a
|f(x)−f(x′)|<|x−x′| · |x+x′| ≤2a|x−x′|.
Ainsi, quel que soit ε > 0, il existe η = 2aε tel que |x−x′| < η implique |f(x)−f(x′)| < ε : f est uniform´ement continue sur [−a, a].
Proposition 4.2.17 Sif :X→Rest uniform´ement continue surX, elle est continue surX.
Proposition 4.2.18 Soit I = [a, b] un intervalle, a et b deux r´eels distincts et soit f : I → R une fonction continue. Alorsf est uniform´ement continue surI.
Preuve :On raisonne par l’absurde et on suppose quef n’est pas uniform´ement continue. Il existe donc ε >0 tel que pour toutη >0, il existex, x′ d´ependant deη tels que|x−x′|< η et|f(x)−f(x′)|> ε.
Pourη= 1n,n∈N∗, on obtientxn et x′n tel que |xn−x′n|<n1 et |f(xn)−f(x′n)|> ε.
La suite (xn)n est born´ee car [a, b] est born´e, d’apr`es le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une suite (xni)i qui converge vers un certainα∈[a, b].
Comme
|x′ni−α| ≤ |x′ni−xni|+|xni−α|< 1 ni
+|xni−α|
et que limi→+∞ 1
ni = 0 et limi→+∞|xni−α|= 0, on a limi→+∞|x′ni−α|= 0 et donc (x′ni) converge aussi versα.
Maintenant f est continue en α donc limi→+∞f(xni) = f(α) et limi→+∞f(x′ni) = f(α). Donc, en passant `a la limite dans l’in´egalit´e|f(xni)−f(x′ni)|> ε, on obtient 0≥ε et c’est absurde carε >0.
Doncf est uniform´ement continue sur [a, b].
4.3 Propri´ et´ es d’une fonction continue sur un intervalle
Proposition 4.3.1 Soitf : [a, b]→Rune fonction continue. Alorsf est born´ee sur [a, b].
Preuve : On commence par montrer quef est major´ee. Supposons que f ne soit pas major´ee. Alors pour tout n ∈ N, il existe xn tel que f(xn) ≥ n. Comme [a, b] est born´e, d’apr`es le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass, il existe une suite extraite (xni)i∈Nqui converge vers un certainc∈[a, b].
Commef est continue, on a limi→∞f(xni) =f(c).
D’autre part, pour toution a f(xni)≥ni et commeni tend vers +∞ lorsqueitend vers +∞, on a limi→∞f(xni) = +∞.
Ainsif(c) = +∞! C’est impossible doncf est major´ee sur [a, b].
On d´emontre de mˆeme quef est minor´ee.
Proposition 4.3.2 Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Alors il existe α, β ∈ [a, b] tels que f(α) = sup[a,b]f et f(β) = inf[a,b]f
Preuve :Montrons maintenant qu’il existeα∈[a, b] tel quef(α) = sup[a,b]f.
Par d´efinition de la borne sup´erieure, quel que soit ε >0, il existe x∈[a, b] d´ependant de ε tel que f(x)>sup[a,b]f −ε.
Soitn∈N∗. Pour ε=n1, il existexn ∈[a, b] tel que sup[a,b]f ≥f(xn)≥sup[a,b]f−n1. On obtient alors une suite (xn)n de [a, b] tel que (f(xn))n∈N converge vers sup[a,b]f.
Comme [a, b] est ferm´e et born´e, on peut de (xn)n∈Nextraire une sous suite convergente (xni)i∈N. Comme (f(xni))i∈N est une suite extraire de (f(xn))n∈N qui converge vers sup[a,b]f, elle converge elle-mˆeme vers la mˆeme limite sup[a,b]f.
Soitα= limi→∞xni. Alors comme f est continue on a limi→∞f(xni) =f(α) d’o`uf(α) = sup[a,b]f. On d´emontre de mˆeme qu’il existeβ ∈[a, b] tel quef(β) = inf[a,b]f.
En r´esum´e des deux derni`eres propositions, on dit qu’une fonction continue sur un intervalle ferm´e born´e est born´ee et atteint ses bornes.
Th´eor`eme 4.3.3 (Bolzano) Soitf une fonction continue sur [a, b] telle quef(a)f(b)≤0. Alors il existec∈[a, b] tel quef(c) = 0.
Preuve : Si f(a) = 0 alors c= aconvient et si f(b) = 0 alors c =b convient. Sinon, f(a)f(b) <0 : f(a) etf(b) sont de signes contraires. Supposons par exemplef(a)<0 etf(b)>0. On posea0=aet b0=bet on construit par r´ecurrence une suite d’intervalles emboit´es
[a, b] = [a0, b0]⊃[a1, b1]⊃. . .⊃[an, bn]⊃. . . (4.1)
∀n∈N, bn−an= b−a
2n , (4.2)
∀n∈N, f(an)<0 etf(bn)>0. (4.3)
Lorsque a0, a1, . . . , an−1 et b0, b1, . . . , bn−1 sont construits et v´erifient (4.1), (4.2) et (4.3) on pose m= bn+a2 n. Trois cas peuvent se produire :
– Soitf(m) = 0 alors on pose c=met le th´eor`eme est prouv´e.
– Soitf(m)<0 on posean=cetbn=bn−1. – Soitf(m)>0 on posean=an−1 etbn=c.
Ainsi, soit `a un moment on trouvec∈[a, b] tel quef(c) = 0, soit on construit deux suites (an)n∈N et (bn)n∈N v´erifiant (4.1), (4.2) et (4.3).
Les suites (an)n∈N et (bn)n∈N sont adjacentes donc convergent vers une mˆeme limite c. On a alors d’une part :
n→∞lim f(an)f(bn) =f(c)2≥0 et d’autre part, puisquef(an)<0 etf(bn)>0,f(an)f(bn)<0 donc
n→∞lim f(an)f(bn)≤0.
On en d´eduit quef(c)2= 0 et doncf(c) = 0.
Corollaire 4.3.4 SoitI un intervalle etf :I→Rune fonction continue. Si f ne s’annule pas en un point deIalorsf est ne change pas de signe surI.
Preuve :On d´emontre la contrapos´ee, `a savoir sif change de signe surI, alorsf s’annule en un point deI. Puisque f change de signe surI, il existeα, β∈I tel quef(α)f(β)≤0. D’apr`es le th´eor`eme de Bolzano, il existeγ∈I tel quef(γ) = 0.
Corollaire 4.3.5 (Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires) Soitf une fonction continue sur [a, b]
et soits∈Rtel que inf[a,b]f ≤s≤sup[a,b]f. Alors il existec∈[a, b] tel quef(c) =s.
Preuve :Soitα, β∈[a, b] tel quef(α) = inf[a,b]f et f(β) = sup[a,b]f. Siα=β alorsf(α) =f(β) =sdoncc=αconvient.
Si α < β on applique alors le th´eor`eme de Bolzano `ag =f −s sur l’intervalle [α, β] :g(α)g(β)≤0 donc il existec∈[α, β]⊂[a, b] tel que g(c) = 0 c’est `a diref(c) =s.
Corollaire 4.3.6 Soitf une fonction continue et croissante sur [a, b] alorsf([a, b]) = [f(a), f(b)].
Soitf une fonction d´ecroissante et continue sur [a, b] alorsf([a, b]) = [f(b), f(a)].
Preuve : Supposonsf croissante. Soit alorsm=inf[a,b]f =f(a) etM = sup[a,b]f =f(b). D’apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, quel que soitγ∈[m, M] il existec∈[a, b] tel quef(c) =γ. Ainsi [f(a), f(b)]⊂f([a, b]).
R´eciproquement, quel que soit c ∈ [a, b], f(a) ≤ f(c) ≤ f(b) car f est croissante. Donc f([a, b]) ⊂ [f(a), f(b)].
Corollaire 4.3.7 L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Preuve :SoitI un intervalle etf :I →Rcontinue. Pour montrer quef(I) est un intervalle, il suffit de montrer que quel que soitα, β∈f(I) tels queα < β on a [α, β]⊂f(I).
Soita, b ∈I tel quef(a) =α et f(b) =β et soit γ ∈[α, β]. Alors d’apr`es le corollaire pr´ec´edent, il existec∈[a, b] tel quef(c) =γ, c’est `a direγappartient `af(I) : [α, β]⊂f(I).
4.3.1 Fonction r´ eciproque d’une fonction continue
Nous avons vu qu’une fonction strictement monotone est bijective. Nous allons maintenant voir une r´eciproque : toute fonction bijective et continue sur un intervalle est strictement monotone. On d´emontre pour cela le lemme suivant.
Proposition 4.3.8 Soit f : [a, b] → R une fonction continue et injective. Alors f est strictement monotone sur [a, b].
Preuve :On suppose quef(a)< f(b) et on montre quef est strictement croissante sur [a, b]. Soit donc x, y∈[a, b] tel que x < yet montrons quef(x)< f(y). On distngue pour cela deux cas :
Premier cas :y=b. Soitφ:
[a, b[ −→ R
t 7−→ φ(t) =f(b)−f(t) . Commef est injective,φne s’annule pas sur [a, b[, elle est donc de signe constant sur [a, b[. Or, φ(a) =f(b)−f(a)>0 doncφ(t)>0 quel que soitt∈[a, b[, d’o`uf(x)< f(b).
Deuxi`eme cas :y6=b. Soitψx:
]x, b] −→ R
t 7−→ ψx(t) =f(t)−f(x) .ψxne s’annule pas sur ]x, b] donc ψxest de signe constant sur ]x, b]. Or d’apr`es le premier casψx(b) =f(b)−f(x)>0 donc ψx(t)>0 quel que soitt∈]x, b] d’o`uf(y)> f(x).
Th´eor`eme 4.3.9 Soit I un intervalle et f : I → f(I) continue. Alors f :I →f(I) est strictement monotone surIsi et seulement sif est une bijection.
Preuve :Nous avons d´ej`a vu que sif est strictement monotone alorsf est bijective.
R´eciproquement, supposonsf bijective et continue. Soit alors a, b∈I,a < b. Supposons que f(a)<
f(b) et montrons quef est strictement croissante surI.
D’apr`es la proposition pr´ec´edente,f est strictement monotone sur [a, b] et comme f(a)< f(b),f est strictement croissante sur [a, b].
Soitx, y∈I, x < y. On doit montrer quef(x)< f(y).
Soitα= min(a, x) etβ = max(b, y). D’apr`es la proposition pr´ec´edente,f est strictement monotone sur [α, β]. Or α≤a < b≤β donc [a, b]⊂[α, β] etf est strictement croissante sur [a, b]. Par cons´equent f est strictement croissante sur [α, β]. Comme x et y appartiennent `a [α, β] et comme x < y on a f(x)< f(y).
Question : on a vu que sif est bijective,f est inversible au sens des fonctions. Si de plusf est continue, f−1 est-elle aussi continue ?
Th´eor`eme 4.3.10 Soit I un intervalle et f : I → f(I) une fonction continue et bijective. Alors sa fonction r´eciproquef−1est continue.
Preuve :D’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edentf est strictement monotone, par exemple strictement croissante.
Alors comme nous l’avons vu au chapitre pr´ec´edent,f−1est aussi strictement croissante.
Soitα∈f(I) eta∈Itel quef(a) =α. Nous avons alorsf−1(α) =a. Commef−1 est croissante,f−1 admet une limite (finie ou infini) lorsquey tend versαpar valeurs inf´erieures. On a alors
x→alim
x<a
f−1◦f(x) = limy→α
y<α
f−1(y) et d’autre part
limx→a x<a
f−1◦f(x) = limx→a
x<a
x=a
d’o`u limy→αy<α f−1(y) =a. De mˆeme limy→αy>αf−1(y) existe carf−1est croissante et on a mˆeme limy→αy>αf−1(y) = a. Ainsif−1est continue enα.
Exemple 4.3.11 La fonction exponentielle est continue surR.
Proposition 4.3.12 SoitI=]a, b[ etJ =]α, β[ deux intervalles deR,a,b,αetβ´eventuellement infinis.
Soitf :I→J une fonction continue et bijective. Alors sif est croissante, sa fonction r´eciproquef−1 satisfait limt→αf−1(t) =aet limt→βf−1(t) =b.
Sif est d´ecroissante, limt→αf−1(t) =bet limt→βf−1(t) =b.
Preuve :On prouve que limt→βf−1(t) =bdans le cas o`uf est croissante. Commef croissante,f−1 est elle aussi croissante et limx→b
x<b f(x) =β. f−1 admet une limite (finie ou +∞) et on a d’une part
limx→b x<b
f−1◦f(x) = lim
t→β t<β
f−1(t) car lim
x→b x<b
f(x) =β et d’autre part
x→blim
x<b
f−1◦f(x) = lim
x→b x<b
x=b d’o`u limt→β
t<β f−1(t) =b.
Exemple 4.3.13 Les fonctions arcsinus, arccosinus et arctangente sont donc continues. La fonction racine est continue en tant qu’inverse def :
[0,+∞[ −→ R
x 7−→ x2 .
Proposition 4.3.14 1. limx→+∞ex= +∞
2. limx→−∞ex= 0.
3. limx→−∞xex= 0 4. limx→+∞ex
x = +∞
5. limx→0ex−1 x = 1
Preuve : Les deux premi`eres limites sont une cons´equence de la proposition pr´ec´edente et du fait que limx→+∞lnx= +∞et que limx→0
x>0 lnx=−∞.
x→∞lim ex
x = lim
X→+∞
X
lnX = +∞.
x→∞lim xex= lim
X→+∞XlnX = 0.
x→0lim ex−1
x = lim
X→1
X−1 lnX = lim
t→0
t
ln(t+ 1) = 1.
