Du Dobble aux codes correcteurs d’erreurs

Du Dobble aux codes correcteurs d’erreurs

Bruno Grenet

Equipe ECO (Exact Computing) – LIRMM´

24 novembre 2016

Equipe ECO ´

I A l’interface entre maths et info : calcul exact`

I Th´ematiques :

I Calcul formel (polynˆomes, alg`ebre lin´eaire, etc.)

I Cryptographie

I Codes correcteurs

I Membres permanents :

I Pascal Giorgi (MCf UM)

I Bruno Grenet (MCf UM)

I Eleonora Guerrini (MCf UM)

I Laurent Imbert (DR CNRS)

I Romain Lebreton (MCf UM)

I D´etails :

http://www.lirmm.fr/eco/

Dobble : Qu’es aqu` o ?

I Chaque joueur a une carte avec 8 symboles

I Chaque couple de cartes aexactementun symbole en commun

I Plusieurs jeux `a partir de ce principe

Dobble : Qu’es aqu` o ?

I Chaque joueur a une carte avec 8 symboles

I Chaque couple de cartes aexactementun symbole en commun

I Plusieurs jeux `a partir de ce principe

Dobble : Qu’es aqu` o ?

I Chaque joueur a une carte avec 8 symboles

I Chaque couple de cartes aexactementun symbole en commun

I Plusieurs jeux `a partir de ce principe

Dobble : Qu’es aqu` o ?

I Chaque joueur a une carte avec 8 symboles

I Chaque couple de cartes aexactementun symbole en commun

I Plusieurs jeux `a partir de ce principe

Dobble : Qu’es aqu` o ?

I Chaque joueur a une carte avec 8 symboles

I Chaque couple de cartes aexactementun symbole en commun

I Plusieurs jeux `a partir de ce principe

Dobble : Qu’es aqu` o ?

I Chaque joueur a une carte avec 8 symboles

I Chaque couple de cartes aexactementun symbole en commun

I Plusieurs jeux `a partir de ce principe

Dobble : Qu’es aqu` o ?

I Chaque joueur a une carte avec 8 symboles

I Chaque couple de cartes aexactementun symbole en commun

I Plusieurs jeux `a partir de ce principe

Dobble : Qu’es aqu` o ?

I Chaque joueur a une carte avec 8 symboles

I Chaque couple de cartes aexactementun symbole en commun

I Plusieurs jeux `a partir de ce principe

Dobble et plan de Fano

I 7 symboles, 7 cartes

I carte = point

I symbole = droite

I loi de groupe

∀ , + =∅

+ + =∅

Dobble et plan de Fano

I 7 symboles, 7 cartes

I carte = point

I symbole = droite

I loi de groupe

∀ , + =∅

+ + =∅

Dobble et plan de Fano

I 7 symboles, 7 cartes

I carte = point

I symbole = droite

I loi de groupe

∀ , + =∅

+ + =∅

Dobble et plan de Fano

I 7 symboles, 7 cartes

I carte = point

I symbole = droite

I loi de groupe

∀ , + =∅

+ + =∅

Dobble et plan de Fano

I 7 symboles, 7 cartes

I carte = point

I symbole = droite

I loi de groupe

∀ , + =∅

+ + =∅

Codes correcteurs : Qu’es aqu` o ?

C¸ a va toi ?

canal bruit´e

Pa vytou?

But : ajouter de la redondance pour rep´erer et corriger les erreurs

Codes correcteurs : Qu’es aqu` o ?

C¸ a va toi ?

canal bruit´e

Pa vytou?

But : ajouter de la redondance pour rep´erer et corriger les erreurs

Codes correcteurs : Qu’es aqu` o ?

C¸ a va toi ?

canal bruit´e

Pa vytou?

But : ajouter de la redondance pour rep´erer et corriger les erreurs

Param` etres des codes correcteurs

Σ^k −→Γⁿ m7−→c

But : corriger une erreur, o`u qu’elle soit

I Tripler chaque bit :

I 07→000, 17→111

I k = 1,n= 3 (ratio 1/3)

I Distance entre deux mots de code ≥3

2^k(n+ 1)≤2ⁿ

3 1

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

n 3 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 17

Param` etres des codes correcteurs

{0,1}^k −→ {0,1}ⁿ m7−→c

But : corriger une erreur, o`u qu’elle soit

I Tripler chaque bit :

I 07→000, 17→111

I k = 1,n= 3 (ratio 1/3)

I Distance entre deux mots de code ≥3

2^k(n+ 1)≤2ⁿ

3 1

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

n 3 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 17

Param` etres des codes correcteurs

{0,1}^k −→ {0,1}ⁿ m7−→c But : corriger une erreur, o`u qu’elle soit

I Tripler chaque bit :

I 07→000, 17→111

I k = 1,n= 3 (ratio 1/3)

I Distance entre deux mots de code ≥3

2^k(n+ 1)≤2ⁿ

3 1

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

n 3 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 17

Param` etres des codes correcteurs

{0,1}^k −→ {0,1}ⁿ m7−→c

But : corriger une erreur, o`u qu’elle soit

I Tripler chaque bit :

I 07→000, 17→111

I k = 1,n= 3 (ratio 1/3)

I Distance entre deux mots de code ≥3

2^k(n+ 1)≤2ⁿ

3 1

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

n 3 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 17

Param` etres des codes correcteurs

{0,1}^k −→ {0,1}ⁿ m7−→c

But : corriger une erreur, o`u qu’elle soit

I Tripler chaque bit :

I 07→000, 17→111

I k = 1,n= 3 (ratio 1/3)

I Distance entre deux mots de code ≥3

2^k(n+ 1)≤2ⁿ

3

1

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

n 3 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 17

Param` etres des codes correcteurs

{0,1}^k −→ {0,1}ⁿ m7−→c

But : corriger une erreur, o`u qu’elle soit

I Tripler chaque bit :

I 07→000, 17→111

I k = 1,n= 3 (ratio 1/3)

I Distance entre deux mots de code ≥3

2^k(n+ 1)≤2ⁿ

3 1

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

n 3 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 17

Param` etres des codes correcteurs

{0,1}^k −→ {0,1}ⁿ m7−→c

But : corriger une erreur, o`u qu’elle soit

I Tripler chaque bit :

I 07→000, 17→111

I k = 1,n= 3 (ratio 1/3)

I Distance entre deux mots de code ≥3 2^k(n+ 1)≤2ⁿ

3 1

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

n 3 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 17

Param` etres des codes correcteurs

{0,1}^k −→ {0,1}ⁿ m7−→c

But : corriger une erreur, o`u qu’elle soit

I Tripler chaque bit :

I 07→000, 17→111

I k = 1,n= 3 (ratio 1/3)

I Distance entre deux mots de code ≥3 2^k(n+ 1)≤2ⁿ

3 1

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

n 3 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 17

Param` etres des codes correcteurs

{0,1}^k −→ {0,1}ⁿ m7−→c

But : corriger une erreur, o`u qu’elle soit

I Tripler chaque bit :

I 07→000, 17→111

I k = 1,n= 3 (ratio 1/3)

I Distance entre deux mots de code ≥3 2^k(n+ 1)≤2ⁿ

3 1

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

n 3 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15 17

Plan de Fano et code de Hamming

1

2 3

4

5 6 7

Mots = ensembles de points

Mots de code = somme nulle

0000000

16 = 2⁴ mots de code Distance 3

Passage d’un mot `a un autre : inversion d’une (ou +) droites (1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1)

↓ ↓ ↓ ↓

1100100 1010001 0000111 1001101

Plan de Fano et code de Hamming

1

2 3

4

5 6 7

Mots = ensembles de points

Mots de code = somme nulle

1001010

16 = 2⁴ mots de code Distance 3

Passage d’un mot `a un autre : inversion d’une (ou +) droites (1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1)

↓ ↓ ↓ ↓

1100100 1010001 0000111 1001101

Plan de Fano et code de Hamming

1

2 3

4

5 6 7

Mots = ensembles de points

Mots de code = somme nulle

1011011

16 = 2⁴ mots de code Distance 3

Passage d’un mot `a un autre : inversion d’une (ou +) droites (1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1)

↓ ↓ ↓ ↓

1100100 1010001 0000111 1001101

Plan de Fano et code de Hamming

1

2 3

4

5 6 7

Mots = ensembles de points Mots de code = somme nulle

16 = 2⁴ mots de code Distance 3

Passage d’un mot `a un autre : inversion d’une (ou +) droites (1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1)

↓ ↓ ↓ ↓

1100100 1010001 0000111 1001101

Plan de Fano et code de Hamming

1

2 3

4

5 6 7

Mots = ensembles de points Mots de code = somme nulle

1001010

16 = 2⁴ mots de code Distance 3

Passage d’un mot `a un autre : inversion d’une (ou +) droites (1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1)

↓ ↓ ↓ ↓

1100100 1010001 0000111 1001101

Plan de Fano et code de Hamming

1

2 3

4

5 6 7

Mots = ensembles de points Mots de code = somme nulle

1011011

16 = 2⁴ mots de code Distance 3

Passage d’un mot `a un autre : inversion d’une (ou +) droites (1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1)

↓ ↓ ↓ ↓

1100100 1010001 0000111 1001101

Plan de Fano et code de Hamming

1

2 3

4

5 6 7

Mots = ensembles de points Mots de code = somme nulle

0011011

16 = 2⁴ mots de code Distance 3

Passage d’un mot `a un autre : inversion d’une (ou +) droites (1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1)

↓ ↓ ↓ ↓

1100100 1010001 0000111 1001101

Plan de Fano et code de Hamming

1

2 3

4

5 6 7

Mots = ensembles de points Mots de code = somme nulle

0011011

16 = 2⁴ mots de code Distance 3

Passage d’un mot `a un autre : inversion d’une (ou +) droites

(1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1)

↓ ↓ ↓ ↓

1100100 1010001 0000111 1001101

Plan de Fano et code de Hamming

1

2 3

4

5 6 7

Mots = ensembles de points Mots de code = somme nulle

0011011

16 = 2⁴ mots de code Distance 3

Passage d’un mot `a un autre : inversion d’une (ou +) droites (1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1)

↓ ↓ ↓ ↓

1100100 1010001 0000111 1001101

Plan de Fano et code de Hamming

1

2 3

4

5 6 7

Mots = ensembles de points Mots de code = somme nulle

0011011

16 = 2⁴ mots de code Distance 3

Passage d’un mot `a un autre : inversion d’une (ou +) droites (1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1)

↓ ↓ ↓ ↓

1100100 1010001 0000111 1001101

Plan de Fano et code de Hamming

1

2 3

4

5 6 7

Mots = ensembles de points Mots de code = somme nulle

0011011

16 = 2⁴ mots de code Distance 3

Passage d’un mot `a un autre : inversion d’une (ou +) droites (1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1)

↓ ↓ ↓ ↓

1100100 1010001 0000111 1001101

Plan de Fano et code de Hamming

1

2 3

4

5 6 7

Mots = ensembles de points Mots de code = somme nulle

0011011

16 = 2⁴ mots de code Distance 3

Passage d’un mot `a un autre : inversion d’une (ou +) droites (1,0,0,0) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (0,0,0,1)

↓ ↓ ↓ ↓

1100100 1010001 0000111 1001101

Dobble comme code de Hamming

Dobble comme code de Hamming

Dobble comme code de Hamming

Et si on veut corriger plus d’une erreur ?

Code de Reed-Solomon :fixons α1, . . .,αn∈Fq

Fq[X]<k −→F_qⁿ

f 7−→(f(α₁), . . . ,f(α_n))

I Distance : d =n−k+ 1

I Erreurs corrigeables : e =

d−1 2

=

n−k 2

Comment corriger autant d’erreurs ?

Et si on veut corriger plus d’une erreur ?

Code de Reed-Solomon :fixons α1, . . .,αn∈Fq

Fq[X]<k −→F_qⁿ

f 7−→(f(α₁), . . . ,f(α_n))

I Distance :d =n−k+ 1

I Erreurs corrigeables : e =

d−1 2

=

n−k 2

Comment corriger autant d’erreurs ?

Et si on veut corriger plus d’une erreur ?

Code de Reed-Solomon :fixons α1, . . .,αn∈Fq

Fq[X]<k −→F_qⁿ

f 7−→(f(α₁), . . . ,f(α_n))

I Distance :d =n−k+ 1

I Erreurs corrigeables : e =

d−1 2

=

n−k 2

Comment corriger autant d’erreurs ?

Et si on veut corriger plus d’une erreur ?

Code de Reed-Solomon :fixons α1, . . .,αn∈Fq

Fq[X]<k −→F_qⁿ

f 7−→(f(α₁), . . . ,f(α_n))

I Distance :d =n−k+ 1

I Erreurs corrigeables : e =

d−1 2

=

n−k 2

Comment corriger autant d’erreurs ?

D´ ecodage des codes de Reed-Solomon I

Probl`eme

Entr´ee :(y1, . . . ,yn)∈Fqⁿ

Sortie :f ∈Fq[X]_<k tel quef(α_i) =y_i pour ≥n−e indices

I Interpolation de Lagrange : k =n et e = 0

I Pour certains n-uplets, aucune solution !

I Si on connaˆıt les bons indices : il suffit de k points (e =n−k)

I Si f existe, on peut le retrouver d`es que e ≤ b^n−k₂ c

D´ ecodage des codes de Reed-Solomon I

Probl`eme

Entr´ee :(y1, . . . ,yn)∈Fqⁿ

Sortie :f ∈Fq[X]_<k tel quef(α_i) =y_i pour ≥n−e indices

I Interpolation de Lagrange : k =n et e = 0

I Pour certains n-uplets, aucune solution !

I Si on connaˆıt les bons indices : il suffit de k points (e =n−k)

I Si f existe, on peut le retrouver d`es que e ≤ b^n−k₂ c

D´ ecodage des codes de Reed-Solomon I

Probl`eme

Entr´ee :(y1, . . . ,yn)∈Fqⁿ

Sortie :f ∈Fq[X]_<k tel quef(α_i) =y_i pour ≥n−e indices

I Interpolation de Lagrange : k =n et e = 0

I Pour certains n-uplets, aucune solution !

I Si on connaˆıt les bons indices : il suffit de k points (e =n−k)

I Si f existe, on peut le retrouver d`es que e ≤ b^n−k₂ c

D´ ecodage des codes de Reed-Solomon I

Probl`eme

Entr´ee :(y1, . . . ,yn)∈Fqⁿ

Sortie :f ∈Fq[X]_<k tel quef(α_i) =y_i pour ≥n−e indices

I Interpolation de Lagrange : k =n et e = 0

I Pour certains n-uplets, aucune solution !

I Si on connaˆıt les bons indices : il suffit de k points (e =n−k)

I Si f existe, on peut le retrouver d`es que e ≤ b^n−k₂ c

D´ ecodage des codes de Reed-Solomon I

Probl`eme

Entr´ee :(y1, . . . ,yn)∈Fqⁿ

Sortie :f ∈Fq[X]_<k tel quef(α_i) =y_i pour ≥n−e indices

I Interpolation de Lagrange : k =n et e = 0

I Pour certains n-uplets, aucune solution !

I Si on connaˆıt les bons indices : il suffit de k points (e =n−k)

I Si f existe, on peut le retrouver d`es que e≤ b^n−k₂ c

D´ ecodage des codes de Reed-Solomon II

Probl`eme

Entr´ee :(y1, . . . ,yn)∈Fqⁿ

Sortie :f ∈Fq[X]_<k tel quef(α_i) =y_i pour ≥n−e indices

I On poseE(X) = Y

i:f(αi)6=y_i

(X −α_i) et N(X) =f(X)E(X)

I Alors pour tout i, y_iE(α_i) =N(α_i) (?)

I Toute solution (E^?,N^?) de (?) satisfaitN^?/E^? =f

I R´esolution par alg`ebre lin´eaire d`es que 2e+k <n :

I e+ (e+k) inconnues

I n´equations

D´ ecodage des codes de Reed-Solomon II

Probl`eme

Entr´ee :(y1, . . . ,yn)∈Fqⁿ

Sortie :f ∈Fq[X]_<k tel quef(α_i) =y_i pour ≥n−e indices

I On poseE(X) = Y

i:f(αi)6=yi

(X −α_i) et N(X) =f(X)E(X)

I Alors pour tout i, y_iE(α_i) =N(α_i) (?)

I Toute solution (E^?,N^?) de (?) satisfaitN^?/E^? =f

I R´esolution par alg`ebre lin´eaire d`es que 2e+k <n :

I e+ (e+k) inconnues

I n´equations

D´ ecodage des codes de Reed-Solomon II

Probl`eme

Entr´ee :(y1, . . . ,yn)∈Fqⁿ

Sortie :f ∈Fq[X]_<k tel quef(α_i) =y_i pour ≥n−e indices

I On poseE(X) = Y

i:f(αi)6=yi

(X −α_i) et N(X) =f(X)E(X)

I Alors pour tout i, y_iE(α_i) =N(α_i) (?)

I Toute solution (E^?,N^?) de (?) satisfaitN^?/E^? =f

I R´esolution par alg`ebre lin´eaire d`es que 2e+k <n :

I e+ (e+k) inconnues

I n´equations

D´ ecodage des codes de Reed-Solomon II

Probl`eme

Entr´ee :(y1, . . . ,yn)∈Fqⁿ

Sortie :f ∈Fq[X]_<k tel quef(α_i) =y_i pour ≥n−e indices

I On poseE(X) = Y

i:f(αi)6=yi

(X −α_i) et N(X) =f(X)E(X)

I Alors pour tout i, y_iE(α_i) =N(α_i) (?)

I Toute solution (E^?,N^?) de (?) satisfaitN^?/E^? =f

I R´esolution par alg`ebre lin´eaire d`es que 2e+k <n :

I e+ (e+k) inconnues

I n´equations

D´ ecodage des codes de Reed-Solomon II

Probl`eme

Entr´ee :(y1, . . . ,yn)∈Fqⁿ

Sortie :f ∈Fq[X]_<k tel quef(α_i) =y_i pour ≥n−e indices

I On poseE(X) = Y

i:f(αi)6=yi

(X −α_i) et N(X) =f(X)E(X)

I Alors pour tout i, y_iE(α_i) =N(α_i) (?)

I Toute solution (E^?,N^?) de (?) satisfaitN^?/E^? =f

I R´esolution par alg`ebre lin´eaire d`es que 2e+k<n :

I e+ (e+k) inconnues

I n´equations

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Probl`eme

Entr´ee :(y1, . . . ,yn)∈Fqⁿ

Sortie :f ∈Fq[X]_<k tel quef(α_i) =y_i pour ≥n−e indices

I On poseE(X) = Y

i:f(αi)6=yi

(X −α_i) et N(X) =f(X)E(X)

I Alors pour tout i, y_iE(α_i) =N(α_i) (?)

I Toute solution (E^?,N^?) de (?) satisfaitN^?/E^? =f

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I e+ (e+k) inconnues

I n´equations

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Probl`eme

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Sortie :f ∈Fq[X]_<k tel quef(α_i) =y_i pour ≥n−e indices

I On poseE(X) = Y

i:f(αi)6=yi

(X −α_i) et N(X) =f(X)E(X)

I Alors pour tout i, y_iE(α_i) =N(α_i) (?)

I Toute solution (E^?,N^?) de (?) satisfaitN^?/E^? =f

I R´esolution par alg`ebre lin´eaire d`es que 2e+k<n :

I e+ (e+k) inconnues

I n´equations

Aller plus loin : o` u va la recherche ?

I Calcul efficace : alg`ebre lin´eaire rapide, interpolation avec erreurs, etc.

I Plus d’erreurs :d´ecodage en liste

I Plus petits alphabets, meilleurs ratios k/n nouveaux codes Dans l’´equipe ECO:

I Etude th´´ eorique des param`etres admissibles

I Alg`ebre lin´eaire rapide

I Algorithmique des polynˆomes

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