Partie C – Exemples de nombres transcendants

DM de MPSI2

Devoir non surveill´ e

Probl` eme – Nombres de Liouville

Partie A – Pr´ eliminaires sur les fonctions polynomiales

Soit a, b∈ R, o`u a < b. On rappelle que R^[a,b], ensemble des applications de [a, b] dans R, est un anneau commutatif (pour les lois usuelles).

A.1Montrer queB([a, b],R), ensemble des applications born´ees de [a, b] dansR, est un sous-anneau deR^[a,b]. A.2On appellefonction polynomiale sur un segment [a, b] tout ´el´ement du sous-anneauP deR^[a,b]engendr´e par l’application

Id : [a, b] → R

x 7→ x

et les applications constantes, c’est-`a-dire du plus petit sous-anneau (pour l’inclusion) deR^[a,b] comprenant Id et les applications constantes.

On v´erifie facilement (inutile de le faire) qu’un ´el´ementf deR^[a,b]appartient `aP si, et seulement si, il existe un entier naturelp, des r´eelsλ₀, . . . , λ_p, tels que

f =

p

X

k=0

λkId^k.

Par exemple, la fonctionx7→3x³+x²+¹₂x+₁₂⁷ est polynomiale sur tout segment (obtenue pourp= 3 et (λi)_i∈[[0,3]]= (7/12,1/2,1,3)).

Montrer queP est un sous-anneau deB([a, b],R).

A.3Soitα∈[a, b],f ∈ P. Montrer que l’application τα,f : [a, b] → R

x 7→ ^f(x)−f(α)_x−α six6=α,0 sinon est un ´el´ement de B([a, b],R).

Indication : on pourra dans un premier temps traiter le cas o`u f = Id<sup>n</sup>, o`u n∈N.

Partie B – Condition n´ ecessaire d’alg´ ebricit´ e

Un nombre r´eel αest ditalg´ebrique s’il existed∈N^∗, desnombres rationnelsλ₀, . . . , λ_d, o`u λ_d 6= 0, tels que la fonction polynomialef =Pd

k=0λ_kId^k s’annule enα(i.e.Pd

k=0λ_kα^k= 0).

Un nombre r´eel non alg´ebrique est dittranscendant.

On consid`ere un nombre alg´ebrique et irrationnelα, et on conserve les notations ci-dessus : on a n´ecessaire- mentd>2, on admet que l’on peut choisir la fonction f de telle sorte qu’elle ne s’annule en aucun nombre rationnel (et on effectue ce choix . . .).

B.1Expliquer comment se ramener au cas o`uλ₀, . . . , λ_dsont des entiers relatifs (c’est ce que nous supposons d´esormais).

B.2Montrer que pour tout (p, q)∈Z×N^∗:|f(p/q)−f(α)|>1/q^d.

B.3Montrer l’existence d’un r´eel strictement positifc, tel que, pour tout (p, q)∈Z×N^∗ :

α−p q > c

q^d.

Indication : utiliser la question pr´ec´edente ainsi que A.3, et travailler d’abord sur [α−1, α+ 1].

Partie C – Exemples de nombres transcendants

Soit (an)n>1 ∈([[0,9]])^N∗, une suite de chiffres, ne stationnant pas en la valeur 0 (i.e.pour tout N ∈N, il existen∈Ntel quen>N etan6= 0).

Pour toutn∈N^∗, on posesn =Pn k=1

ak

10^k!. C.1Montrer que (s_n) converge.

Indication : on pourra appliquer le th´eor`eme de la limite monotone.

On noteαsa limite, eton admet qu’elle est irrationnelle.

C.2Montrer par l’absurde queαest transcendant.

Indication : on pourra encadrers_m−s_n, o`u m, n∈N^∗ et m > n, puis faire tendremvers l’infini, et utiliser B.3.