D313 Les cigares du Pharaon [***** à la main]
Solution
Ce problème est une variante du problème bien connu posé initialement par Martin Gardner dans Scientific American il y a bien des années : Comment placer six cigarettes qui se touchent toutes entre elles ? Martin Gardner était convaincu que le nombre 6 était un maximum. Quelle n’a pas été sa surprise quand parmi les nombreux lecteurs qui lui ont envoyé plusieurs solutions possibles, quinze d’entre eux ont empilé 7 cigarettes qui se touchaient toutes entre elles ?
Voici comme ils ont opéré respectivement avec 6 et 7 cigarettes :
Les cigarettes ont la fâcheuse tendance de rouler quand on essaie de les superposer les unes sur les autres et il faudrait mettre quelques points de colle pour les rendre solidaires les unes des autres. Des crayons de couleur à base hexagonale sont plus dociles surtout quand on veut les prendre en photos et cela n’altère en rien la méthode de résolution du problème. Voir à ce propos les deux photos réalisées avec 6 crayons et 6 cigarettes. Elles représentent toutes deux rigoureusement le même empilement.
Trois crayons qui se touchent C’est vraiment tout simple :
Quatre crayons qui se touchent Toujours aussi simple :
Cinq crayons qui se touchent
Il ne faut pas s’arrêter en si bon chemin :
Six crayons/cigarettes qui se touchent Trivial Docteur Martin Gardner ! :
Mais la pose d’un(e) septième crayon (cigarette) selon le même principe d’empilement ne permet pas de le (la) mettre en contact avec les six autres crayons (cigarettes)….
Il faut trouver une autre démarche en partant à nouveau de 3 crayons : Trois crayons qui se touchent
Comme les hélices d’une éolienne, les points de contact des trois crayons sont les sommets d’un triangle équilatéral T :
Quatre crayons qui se touchent
Il faut comme précédemment répéter le motif qui repose sur la table au niveau supérieur après avoir imprimé une légère rotation du crayon jaune autour de l’axe vertical passant par le centre de T:
Cinq crayons qui se touchent
Cela redevient simple avec le crayon bleu foncé :
Six crayons qui se touchent
Aucune difficulté pour poser ce 6ème crayon rose :
Sept crayons qui se touchent
Le 7ème et dernier crayon se plante au beau milieu tel un étendard qui s’appuie sur les six autres:
Est-ce possible de réaliser un tel empilement quelles que soient les dimensions des crayons (cigarettes). ?
Non comme l’ont démontré George Rybicki et John Reynolds qui sont cités par Martin Gardner dans son ouvrage « My Best Mathematical and Logic Puzzles », il y a un cas limite qui correspond au ratio
D
L = longueur/diamètre du crayon (cigarette) = 2
3
7 =6,062….
L’empilement est logiquement possible si
2 3 7 D
L . Comme pour la grande majorité des cigarettes, le ratio est compris entre 8 et 10, l’assemblage ne soulève aucune difficulté théorique. Le réussir sans mettre un point de colle aux 7 cigarettes est une autre histoire…
On est ainsi en mesure de venir à l’aide de Tintin : les cigares trapus pour lesquels le ratio D L est égal à 6 < 6,062… ne peuvent pas faire l’objet d’un empilement dans lequel ils se touchent
tous entre eux 2 à 2. A l’inverse,il n’y a aucune difficulté pour empiler les 7 cigares plus traditionnels caractérisés par un ration
D
L =15 >>6,062…
