A2849–Comme des gigognes [** à la main]
G₁ - a et b étant deux entiers distincts > 1, démontrer que l’expression a b a b a... dans laquelle il y a une infinité de radicaux a b imbriqués les uns dans les autres converge vers une limite L.
Déterminer les couples (a,b) tels que :
1) L prend la valeur entière la plus petite possible 2) L = 202
G₂ - On considère l’expression Ak = 2 – 2 2 2... 2 2 dans laquelle les radicaux 2 sont imbriqués les uns dans les autres k fois. Déterminer k de sorte que l’écriture décimale de Ak contient 2021 zéros après la virgule suivis du chiffre 4..
Solution proposée par Daniel Collignon G1
On définit la suite (u_n) ainsi : u_1 = a^(1/2)*b^(1/4)
u_{n+1} = u_1 * u_n^(1/4)
Par récurrence nous montrons que u_n = u_1^(1+1/4+...+1/4^(n-1)).
D'où u_n = u_1^((4/3)(1-1/4^n))
ou encore u_n = a^((2/3)(1-1/4^n))*b^((1/3)(1-1/4^n)) D'où L = u_1^(4/3) ou encore L = a^(2/3) * b^(1/3) L^3 = a²b
1) D'où a=dx^3 > 1 et b=dy^3 > 1, de sorte que L = dx²y minimal pour d=1, x=2 et y=3.
Ainsi L_min = 12 obtenu pour a=8 et b=27 2) L = 2021, d'où L^3 = a²b
Comme 2021 = 43*47, nous en déduisons (a,b) = (43,43*47^3) ou (47, 47*43^3) (le cas a=b=43*47 étant exclu)
G2
La suite (A_n) se calcule par la récurrence A_k = 2 - V(4 - A_{k-1}) avec A_0 = 2 et V() désigne la racine carrée
On montre que 0 < A_k < 1 pour k>0, que (A_n) est strictement décroissante, et qu'elle converge vers 0.
A chaque étape on divise environ par 4, puisque A_k / A{k-1} = 1/(4-A_k) Comme 4^5 = 2^10 = 1024 ~ 10^3, et que nous cherchons 4 =< 10^2022 * A_k < 5 k doit être de l'ordre de 5*(2022/3) = 3370
Plus précisément, on peut remarquer que V(2+V(2+V(2+...))) = 2cos(pi/2^(n+1)) Cela découle de l'application itérée n fois de 2cos(t) = V(2+2cos(2t)) avec t=pi/2^(n+1) Ainsi A_n = 2(1-cos(pi/2^(n+1))) = 4sin²(pi/2^(n+2)) puisque 1-cos(u) = 2sin²(u/2) D'où nous cherchons k tel que A_k ~ 4/10^2022.
Alors sin(pi/2^(k+2)) ~ 1/10^1011
A l'aide de l'approximation sin x ~ x en 0, nous avons k ~ (log(pi)+1011)/log(2) - 2 Finalement k=3358.
