Déterminerkde sorte que l’écriture décimale deAkcontient 2021 zéros après la virgule suivis du chiffre 4

A2849. Comme des gigognes **

G₁ a etb étant deux entiers distincts>1, démontrer que l’expression s

a r

b q

ap bp

a... dans laquelle il y a une infinité de radicauxp

ap

bimbriqués les uns dans les autres converge vers une limite L.

Déterminer les couples (a,b) tels que :

1. Lprend la valeur entière la plus petite possible 2. L=2021

G2 On considère l’expression Ak=2− s

2+ r

2+ q

2+...p 2+p

2 dans laquelle les radicauxp 2+

sont imbriqués les uns dans les autreskfois. Déterminerkde sorte que l’écriture décimale deAkcontient 2021 zéros après la virgule suivis du chiffre 4.

Solution de Claude Felloneau

G1 L=a²³b¹³.

Pourn∈N^∗, on poseun= s

a r

b q

ap bp

a... avecn radicauxp ap

bimbriqués les uns dans les autres.

On au_n+1= q

ap

bundoncu⁴_n+1=a²bund’où

ln(u_n+1)=qln(un)+r avec q=1

4etr=1

2ln(a)+1 4ln(b) Comme|q| <1, la suite (lnun) converge vers r

1−q =2

3ln(a)+1 3ln(b).

La fonction exponentielle étant continue, la suite (un) converge versL=e^{23ln(a)+13ln(b)}=a²³b¹³. 1. La plus petite valeur entière deLest 4. Elle est obtenue pour (a,b)=(2, 16).

a>^2,b>^{2 eta}6=bdoncL>2.

L6=3 sinon on auraita²b=3³doncaetbseraient deux puissances de trois distinctes et a²b>3²×3²=3⁴>3³, ce qui aboutirait à une contradiction.

SiL=4 alorsa²b=2⁶donc il existeα∈N^∗etβ∈N^∗tels queα6=β,a=2^α,b=2^βet 2α+β=6 ce qui donneα=1 etβ=4 soit (a,b)=(2, 16).

Réciproquement si (a,b)=(2, 16) alorsL=¡ a²b¢¹₃

=64¹³ =4.

2. Les couples (a,b) pour lesquelsL=2021 sont¡

47, 43³×47¢ et¡

43, 43×47³¢ .

SiL=2021 alorsa²b=43³47³. Il existe donc quatre entiers naturelsα1,α2,β1etβ2tels que a=43^α147^α2,b=43^β147^β2, 2α1+β1=3 et 2α2+β2=3. On a alorsα1=0 ou 1.

Siα1=0 alorsβ1=3 etα2>^{1 donc}α2=1 etβ2=1 soita=47 etb=43³×47.

Siα1=1 alorsβ1=1 etα26=1 doncα2=0 etβ2=3 soita=43 etb=43×47³. Réciproquement si (a,b) est l’un des couples¡

47, 43³×47¢ et¡

43, 43×47³¢

alorsL=2021.

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G2 k=3358.

En posantB_k=2−A_k pourk>1, on aB_k+1=p

2+B_ketB₁=p 2.

Par récurrence, pourk>^{1 on ap2}6^Bk<2 donc 0<Ak6²−p 2.

Pourk>^1,Ak−Ak+1=Bk+1−Bk=p

2+Bk−Bk= 2+B_k−B_k²

p2+B_k+B_k =(2−Bk) (1+Bk)

p2+B_k+B_k >0 donc la suite (Ak) est décroissante.

Ak+1=2−Bk+1=2−p

2+Bk= 4−(2+Bk) 2+p

2+B_k = Ak

4−Ak+1

. Donc pourk>^10,1

4A_k<A_k+1< 1 4−A9

A_k. On en déduit par récurrence que pourk>^10,

1

4^k−9A₉<A_k< 1

(4−A₉)^k−9A₉

Si l’écriture décimale deA_kcontient 2021 zéros après la virgule suivis du chiffre 4 alors 4.10⁻²⁰²²6^Ak<5.10⁻²⁰²²

donc

(1) 1

4^k−9A₉<5.10⁻²⁰²² et (2) 4.10⁻²⁰²²< 1

(4−A₉)^k−9A₉ (1) implique 4^k−9>2A₉.10²⁰²¹soitk>9+log (2A₉)+2021

log(4) >3357, 9 donck>3358.

(2) implique (4−A9)^k−9<(A9/4) 10²⁰²²soitk<9+log (A9/4)+2022

log (4−A₉) >3358, 1 donck6^3358.

Ainsik=3358.

Réciproquement sik=3458, on a 1

4³³⁴⁹A9<Ak< 1

(4−A9)³³⁴⁹A9. Or 4.10⁻²⁰²²< 1

4³³⁴⁹A9car log(4)−2022+3349 log(4)−log (A9)< −0, 72<0

et 1

(4−A9)³³⁴⁹A9<5.10⁻²⁰²²car−3349 log (4−A9)+log (A9)−log(5)+2022< −0.02<0 donc 4.10⁻²⁰²²<Ak<5.10⁻²⁰²².

Ainsi l’écriture décimale deA3358contient 2021 zéros après la virgule suivis du chiffre 4.

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