D335. Rêve ou réalité?
J’affirme que j’ai construit deux polyèdres convexes : l’un dans lequel toutes les faces ont six arêtes ou plus et l’autre dans lequel les nombres d’arêtes qui partent de chaque sommet sont tous distincts.
Dans chacun des deux cas, si ce que je dis est vrai, donner un exemple du polyèdre et si je rêve, expliquer pourquoi.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Problème 1
Supposons qu’il existe un polyèdre convexe dans lequel toutes les faces ont six arêtes ou plus.
Appelons , et , le nombre de sommets, d’arêtes et de faces de ce polyèdre.
Chaque arête relie deux sommets, de chaque sommet partent au moins 3 arêtes. On a donc . Chaque arête appartient à deux faces, chaque face a au moins six arêtes. On a donc . Le théorème de Descartes-Euler nous dit que .
Il vient , soit une contradiction.
Il n’existe pas de polyèdre convexe dans lequel toutes les faces ont six arêtes ou plus.
Problème 2
Supposons qu’il existe un polyèdre convexe dans lequel les nombres d’arêtes qui partent de chaque sommet sont tous distincts.
Appelons le nombre de sommets de ce polyèdre.
De chaque sommet partent au moins 3 arêtes. Les nombres d’arêtes partant des sommets étant tous distincts, le sommet en ayant le plus grand nombre en a au moins .
Mais un sommet ne peut au maximum être relié qu’aux autres. C’est une contradiction.
Il n’existe pas de polyèdre convexe dans lequel les nombres d’arêtes qui partent de chaque sommet sont tous distincts.
