D335. Rêve ou réalité?
Si s, a et f désignent respectivement le nombre de sommets, arêtes et faces d’un polyèdre convexe, nous avons la relation d’Eulers−a+f = 2. De plus, X
S∈S
d(S) = 2a= X
F∈F
d(F) traduit qu’une arête est délimitée par 2 sommets et borde 2 faces. Puisqu’au moins 3 arêtes partent d’un sommet et bordent une face,d(S)>3 etd(F)>3, d’où 2a>3set 2a>3f.
Toutes les faces ont six arêtes ou plus
Par l’absurde, toute face vérifieraitd(F)>6, d’où 2a>6f. Alorsf = 2 +a−s6 a3,d’où 3s62a63 (s−2): contradiction.
Les nombres d’arêtes partant de chaque sommet sont distincts Par l’absurde, nous aurions X
S∈S
d(S)>3 +· · ·+ (s+ 2) = s(s+5)2 .
Alorsf = 2+a−s6 2a3,d’où s(s+5)2 62a66 (s−2) ou encores2−7s+2460.
Or,s2−7s+ 24>0 puisque de discriminant ∆ =−47<0 : contradiction.
Autre solution : tout sommet vérifiantd(S)6s−1 (sinon il y aurait plus des sommets), le principe des tiroirs assure l’existence de 2 sommets de même degré.
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