G224 –Voyage spatial en Diophantie
Dans la galaxie Diophantie, l’espace (à trois dimensions) est partagé par un certain nombre de plans tels que trois d’entre eux ont toujours un point commun mais quatre ou plus ne passent jamais par le même point. On dénombre 2164 régions ouvertes sur l’infini. Calculer le nombre de polyèdres disjoints deux à deux (1) délimités par ces plans.
Pour les plus courageux : déterminer le nombre de plans partageant l’espace de Diophantie tel que le nombre de polyèdres disjoints deux à deux (1) délimités par ces plans est le plus grand carré parfait possible.
Solution proposée par Patrick Gordon
(1) un même polyèdre ne contient pas deux points séparés par un des plans.
Quelques tâtonnements empiriques mettent sur la voie.
On peut – non sans mal – faire des figures (à la règle et au crayon) jusqu'à n = 5 plans et compter "à l'œil" les dn droites, les sn sommets, les rn régions ouvertes sur l’infini et les pn
polyèdres (régions fermées).
On constate les résultats suivants : plans
n
droites dn
sommets sn
régions ouvertes
rn
polyèdres pn
0 0 0 1 0
1 0 0 2 0
2 1 0 4 0
3 3 1 8 0
4 6 4 14 1
5 10 10 ? 4
Le nombre de droites est, sans surprise : dn = Cn2.
On remarque ensuite qu'il semble que sn = sn-1 + dn-1, ce qui est justifié par le fait que chaque nouveau plan coupe toutes les droites existantes et ajoute donc autant de sommets.
On remarque ensuite qu'il semble que pn = sn-1, ce qui est justifié par le fait que chaque nouveau plan crée avec chaque sommet existant une nouvelle région fermée, c’est-à-dire un nouveau polyèdre.
Vient enfin une intuition : le nombre de rn régions ouvertes semble croître, à partir de n = 1, à raison de : 2, 4, 6, 8…
Or un calcul au moyen d'un tableur donne 2164 régions ouvertes pour n = 47, ce qui encourage à poursuivre.
En poursuivant les tâtonnements sur le tableau, on découvre que le nombre total qn de régions (qn = pn + rn) satisfait la relation de récurrence :
qn – 4qn-1 + 6qn-2 – 4qn-3 + qn-4 = 0 ce qui correspond à la formule :
qn = n3/6 + 5n/6 + 1
Or cette formule est bien confirmée par le calcul.
En effet, chaque nouveau plan (n+1) est coupé par les n plans antérieurs qui découpent sur lui autant de zones (ouvertes ou fermées) que n droites découpent sur un plan, et ce nombre de zones est aussi celui des régions nouvelles que crée le plan (n+1) dans l'espace. Donc (en notant xn le nombre de zones découpées dans un plan par n droites) :
qn+1 – qn = xn
On est ainsi ramené à un problème plan connu, dont on peut se rappeler ou retrouver la solution. Dans un plan, en effet, quand on ajoute une (n+1)ème droite, elle crée autant de zones (ouvertes ou fermées) supplémentaires qu'elle coupe de droites antérieures + 1. D'où une relation de récurrence (en notant xn le nombre de zones avec n droites) :
xn+1 = xn + n+1 qui conduit à la formule :
xn = n(n+1) / 2 + 1.
Revenant à qn, qui satisfait la relation de récurrence : qn+1 – qn = n(n+1) / 2 + 1
on retrouve bien la formule :
1) qn = (n3 + 5n + 6) / 6 = (n + 2) (n + 3) /6 Reste à exprimer par une formule pn ou rn.
Or on a établi que :
pn = sn-1 sn = sn-1 + dn-1
dn = Cn2
En combinant ces relations, il vient : pn+1 – pn = Cn-12
ce qui conduit à la formule :
2) pn = (n3 – 6n2 + 11n – 6) / 6 = (n–1) (n–2) (n–3) / 6
Notons au passage cette factorisation remarquable, qui a sans doute à voir avec le fait que trois plans ont toujours un point commun mais que quatre plans ne passent jamais par un même point. Il n'est toutefois pas nécessaire de creuser ce point pour poursuivre.
Par différence de (1) – (2) on trouve :
3) rn = n2 – n + 2
ce qui redonne bien les écarts de : 2, 4, 6, 8… observés empiriquement.
Revenant alors au calcul au moyen d'un tableur qui donne 2164 régions ouvertes pour n = 47, on peut en déduire par (2) que le nombre de polyèdres disjoints deux à deux délimités par ces 47 plans est 15 180.
Quant à la question "pour les plus courageux", on obtient, pour 51 plans, un nombre de polyèdres égal à 19 600, qui est le carré de 140 et est peut-être le plus grand carré parfait possible, mais cela semble bien difficile à déterminer.