E50206. Drˆ ole de match
L’´epreuve consiste, pour les membres d’une ´equipe, `a recevoir des chapeaux rouges ou jaunes. Chacun ne peut pas voir la couleur de son chapeau, mais peut voir la couleur de tous les autres. D`es que commence la distribution des chapeaux, ils ne peuvent pas communiquer entre eux, mais ils ont pu au pr´ealable d´efinir une strat´egie commune. A un signal, chaque membre de l’´equipe r´epond (par e-mail au meneur de jeu) ce qu’il pense ˆetre la couleur de son chapeau. Pour que l’´equipe gagne l’´epreuve, il faut soit que toutes les r´eponses soient vraies, soit que toutes les r´eponses soient fausses. Quelle est la strat´egie pour gagner `a tout coup ?
Solution
Avec cette r`egle (atypique certes), une strat´egie gagnante est que chaque joueur r´eponde rouge s’il voit un nombre pair de chapeaux rouges, jaune s’il voit un nombre impair de chapeaux rouges.
Toutes les r´eponses seront justes si le nombre total de chapeaux rouges est impair. S’il est pair, toutes les r´eponses seront fausses et l’´epreuve sera n´eanmoins r´eussie.
Remarque. Une r`egle plus plausible est de maximiser le nombre de r´eponses justes, quelle que soit la distribution des chapeaux choisie par le camp ad- verse (dont on peut mˆeme supposer qu’il sera inform´e de la strat´egie choisie).
La strat´egie o`u chaque joueur tire `a pile ou face sa r´eponse procure en moyenne 50% de bonnes r´eponses, quoi que fasse le camp adverse. Pensez- vous qu’il soit possible de faire mieux ? Si oui, dites-moi comment.
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