E545. Le triangle de Steinhaus
Soit un triangle équilatéral ABC de côté n entier ≥ 2. Sur la première ligne du côté horizontal BC, on écrit une suite de n caractères constitués de 0 et de 1 puis sur une deuxième ligne on écrit une suite de n-1 caractères selon la règle suivante: deux chiffres "1" ou deux chiffres "0" adjacents de la première ligne génèrent le chiffre "1" placé à cheval au dessus d'eux. Sinon le chiffre généré est un "0". Selon la même règle, on poursuit le remplissage des lignes supérieures avec des suites de n ‒ 2, n ‒ 3,..caractères jusqu'à la n-ième ligne du sommet A où on écrit un seul chiffre.
Exemple: avec n = 5 et la suite 1 1 0 1 0 de la première ligne, on obtient le triangle suivant:
Le triangle est appelé triangle de Steinhaus (1) si à l'intérieur du triangle ABC le nombre de "0" est identique au nombre de "1". On note que le triangle de l'exemple ci-dessus avec 7 chiffres "1" et 8 chiffres "0" n'est pas un triangle de Steinhaus.
Q1 Déterminez les valeurs de n ≤ 20 et pour chacune d'elles une suite de la première ligne qui permettent de construire des triangles de Steinhaus.
Q2 Pour quelles valeurs de n est-il toujours possible de construire des triangles de Steinhaus? Justifiez votre réponse.
Q3 Pour un entier m quelconque qui rend possible la construction d'un triangle de Steinhaus, trouvez une méthode de construction d'une suite de m caractères de la première ligne. Record à battre m = 240!
Solution proposée par Michel Goudard
Avant de répondre aux questions il est intéressant de formuler quelques constatations :
1. Pour que le nombre de "0" soit identique au nombre de "1", il faut que le nombre d’éléments de la matrice soit pair. Or li est égal à n(n+1)/2 ; donc : Pour qu’un triangle d’ordre n soit de Steinhaus il faut que n = 4k ou n= 4k-1 avec k>=1
2. Si on connait la ligne i, l’antécédent, la ligne i-1 est unique.
3. Corollaire 1 : Si on connait la nième ligne d’un triangle d’ordre n il est totalement défini ; il y a bijection entre l’ensemble des triangles et l’ensemble des configurations distincts possibles de la dernière ligne du triangle.
Celle-ci peut s’interpréter comme un nombre binaire.
4. Corollaire 2 : La dernière ligne d’un triangle d’ordre n (pas nécessairement Steinhaus) est caractérisée par un nombre binaire compris entre 0 et 2n-1.
Les triangles de Steinhaus sont donc un sous ensemble de cet ensemble de triangles dont le cardinal est 2n.
5. Si on connait la ligne i, Il y a 2 successeurs possibles pour la ligne i+1. L’une commençant par 0, l’autre par 1. La somme des deux lignes fait 2i+1-1 . Les "0" sont remplacées par des "1", les "1" par des"0". Nous les dirons complémentaires.
6. Corollaire 1 : En partant du sommet du triangle qui vaut "0" ou "1" , Chaque lignes ayant 2 successeurs possibles, on retrouve bien le résultat précédent qui énonce qu’il y a 2n triangles d’ordre n possibles
7. Corollaire 2 : quand on a un triangle Steinhaus d’ordre n, on peut poursuivre à partir de celui-ci l’exploration des triangles d’ordre n+k, leur nombre est de 2k. On remarquera que si on constate que les lignes n+1 à n+k sont équilibrées en "0" ou "1", on a un triangle de Steinhaus d’ordre n+k
8. Le triangle symétrique d’un triangle de Steinhaus par rapport à un axe vertical est encore un triangle de Steinhaus (propriété de la règle de composition qui accepte ce type de symétrie).
9. Le triangle obtenue par une rotation de 120° d’un triangle de Steinhaus est encore un triangle de Steinhaus (propriété de la règle de composition qui accepte ce type de rotation en restant valide)
10. Corollaire des 2 constations précédentes : Quand on a un triangle de Steinhaus, son symétrique et leurs rotations de 120° permet d’obtenir au total 6 triangles de Steinhaus (au maximum, certains pouvant être identiques entre eux)
11. Corollaire de le rotation : La connaissance d’un côté quelconque du triangle le définit complétement ; il y a donc également bijection entre les côtés du triangle et l’ensemble des triangles.
12. Le nombre maximum de "1" dans un triangle est de n(n+1)/2 (tous les chiffres égaux à 1).
Il existe un minorant des "1", mais il est délicat à trouver et n’est pas utile dans la suite du raisonnement. Donc
« Nombre de 1 » <= n(n+1)/2
Le triangle est de Steinhaus quand le « Nombre de 1 » = n(n+1)/4 Or il existe 2n triangles différents.
Compte tenu de l’accroissement plus rapide d’une fonction exponentielle par rapport à une fonction polynomiale, plus n est élevé, plus les valeurs
« Nombre de "1" » se concentrent sur un domaine étroit par rapport au nombre de triangles.
On peut conjecturer que plus n est élevé, plus le nombre de triangles de Steinhaus d’ordre n est élevé…mais cela reste à démontrer.
Question 1 : Les valeurs de n ≤ 20 possibles sont d’après la remarque 1 les suivantes :
3, 4, 7, 8, 11, 12, 15, 16, 19, 20 Avec par exemple les triangles de Steinhaus que l’on trouve page suivante.
La technique qui a été utilisée consiste à utiliser le triangle Steinhaus d’ordre 4k-1 précédent pour construire des triangles Steinhaus suivants d’ordre 4(k+1)-1 et 4(k+1).
On remarque que parfois il suffit de rajouter au triangle Steinhaus d’ordre 4(k+1)-1la ligne suivante commençant aussi bien par "0" que par "1" pour obtenir un triangle de Steinhaus d’ordre 4(k+1)
Pour montrer clairement cette technique les lignes ajoutées au triangle de Steinhaus qui précède ont été surlignées en jaune.
Question 2 : Pour quelles valeurs de n est-il toujours possible de construire des triangles de Steinhaus? Justifiez votre réponse.
On a vu plus haut à la constatation N°1 qu’une condition nécessaire était que n = 4k ou n= 4k-1 avec k>=1.
Mais cette condition est-elle suffisante ?
Conjecture : Il est possible à partir de tout triangle de Steinhaus d’ordre n0=4k-1 ou n1=4k d’obtenir des triangles de Steinhaus d’ordre n2=4(k+1)-1 et d’ordre n3=4(k+1) , ce qui permet par récurrence de trouver des triangles de Steinhaus de tous ordres remplissant la condition nécessaire.
On trouvera plus loin le détail des essais à faire pour explorer les diverses possibilités.
Cela s’automatise facilement par programme pour sélectionner les solutions à retenir, y compris avec Excel.
Question 3 : Pour un entier m quelconque qui rend possible la construction d'un triangle de Steinhaus, trouvez une méthode de construction d'une suite de m caractères de la première ligne.
La méthode décrite précédemment permet si la conjecture est exacte de construire des triangles de Steinhaus sans limite.
On remarque au final que la récurrence peut être utilisée de plusieurs façons.
1. Partant de n= 4k-1, on cherche un triangle de Steinhaus d’ordre n’=4(k+1)-1 (16 valeurs de colonne de gauche des 4 nouvelles lignes à tester).
2. Partant de n= 4k-1, on cherche un triangle de Steinhaus d’ordre n’=4(k+1) (32 valeurs de colonne de gauche des 5 nouvelles lignes à tester).
3. Partant de n= 4k, on cherche un triangle de Steinhaus d’ordre n’=4(k+1)-1 (8 valeurs de colonne de gauche des 3 nouvelles lignes à tester).
4. Partant de n= 4k, on cherche un triangle de Steinhaus d’ordre n’=4(k+1) (16 valeurs de colonne de gauche des 4 nouvelles lignes à tester).
Dans tous les cas on a progressé et on peut continuer avec au moins l’un des triangles trouvés sur l’itération suivante.
Un exemple est donné page suivante pour les triangles de Steinhaus d’ordre 24, 28, 32.
On remarque que l’on parvient à chaque fois à passer d’un triangle de Steinhaus d’ordre n= 4k à un triangle de Steinhaus d’ordre n’=4(k+1).
