Convolé de L p et son conjugué

Convolé de L ^p et son conjugué

Pierre Lissy June 1, 2010

On doit d'abord montrer quef∗gest bien déni pour toutx. Pour ce faire, on utilise l'inégalité de Hölder: |f ∗g(x)|=R

f(x−t)g(t)dt6||f||p||g||q <∞. Doncf ∗g est déjà une fonction qui est dénie pour toutx. De plus, on a déjà l'inégalite||f∗g||∞ 6||f||p.||g||q. Pour montrer que f ∗g est continu, on considère une suite de fonction f_n et g_n à supports compacts qui tendent vers respectivement f et g dans les espaces L^p et L^q. On sait que pour tout n, on a f_n ∗g_n continu. De plus, on voit quef_n∗g_nest encore à support compact: six6∈supp(f) +supp(g), alors (x−supp(f))∩(supp(g))est vide est doncf∗g(x) =R

f(x−y)g(y)dy=R

(x−supp(f))∩supp(g)f(x− y)g(y)dy = 0. Enn, si l'on considère l'inégalité de Hölder, on a que |f ∗g(x)−fn∗gn(x)| =

|(f−fn)∗g−fn(g−gn)|6(|f−fn|∗|g|(x)+(|fn|∗|g−gn|(x)6||f−fn||p||g||q+||fn||p||g−gn||q, qui tend vers0quandntend vers∞. Mais on sait quefn∗gnest à support compact, c'est notamment une suite continue tendant vers 0 en ∞. Elle converge grâce à ce qui précède uniformément versf ∗g. Il en résulte que f∗g reste continue (une limite uniforme de fonctions continues est continue) et reste nulle en ∞. En eet, soit ε > 0, il existe N tel que par ce qui précède que

||fN ∗g_N −f ∗g||∞6ε. Mais notamment,f_N∗g_N est nul pourxassez grand, disons||x||>A. Du coup, pourx>A, on a nécessairement||f∗g(x)||6εet la propriété voulue est prouvée. On a en plus quef ∗g est uniformément continue: Equicontinuité en moyenne: on approche f par g continue à support compact à ε près. Elle est uniformément continue donc |x−y|η implique

|g(x)−g(y)|6ε.Notamment, on a donc queR

|g(x+y)−g(x)|dx6λ(supp(g))ε. Du coup on a queR

|f(x+y)−f(x)|dx6R

|f(x)−g(x)|+|g(x+y)−g(x)|+|g(x+y)−f(x+y)|dx6Cε.

References

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