PREPA COURCELLES DEUXIEME ANNEE
!
Exemple d’utilisation de la loi uniforme continue
1. Rappel de cours𝑋 →𝑈 𝑎,𝑏 ⇔
𝑆𝑖 𝑥<𝑎 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓 𝑥 =0 𝑒𝑡 𝐹 𝑥 =0
𝑆𝑖 𝑥∈ 𝑎,𝑏 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓 𝑥 = 1
𝑏−𝑎 𝑆𝑖 𝑥>𝑏 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓 𝑥 =0 𝑒𝑡 𝐹 𝑥 =1
𝑒𝑡 𝐹 𝑥 = 𝑥−𝑎 𝑏−𝑎 où f est la densité de X et F sa fonction de répartition
2. Exemple : soit 𝑿→𝑼 −𝟏,𝟑 . Déterminer la loi de 𝒀= 𝑿𝟐 Commençons par rappeler la fonction de répartition de X :
𝑆𝑖 𝑥<−1 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝐹!(𝑥)=0 𝑆𝑖−1≤𝑥≤3 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝐹!(𝑥)=𝑥+1
𝑆𝑖 𝑥>3 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝐹!(𝑥)=1 4
Y(Ω) = 0,9
La détermination de la loi de Y passe par la détermination de sa fonction de répartition ; cette dernière peut s’exprimer à partir de celle de X. Ainsi :
𝐹! 𝑥 =𝑃 𝑌<𝑥 =𝑃 𝑋!<𝑥 =𝑃 − 𝑥<𝑋 < 𝑥 =𝐹! 𝑥 −𝐹! − 𝑥
Il convient alors de positionner 𝑥 d’une part, - 𝑥 d’autre part, par rapport à -1 et 3.
− Cas de 𝑥
o 𝑥≥−1 est toujours vrai ∀𝑥≥0 du fait de la racine carrée ; o 𝑥≤3 si 𝑥≤9.
Donc :
𝑆𝑖 𝑥<0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝐹!( 𝑥)=0 𝑆𝑖 0≤𝑥≤9 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠𝐹!( 𝑥)= 𝑥+1
4 𝑆𝑖 𝑥>9 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝐹!( 𝑥)=1
− Cas de − 𝑥
o - 𝑥≥−1 si 𝑥≤1 c’est-à-dire si 𝑥≤1 et ce qui suppose que 𝑥≥0 du fait de la racine carrée ;
o − 𝑥≤3 est toujours vrai ∀𝑥≥0 Donc :
𝑆𝑖 𝑥<0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝐹!(− 𝑥)=0 𝑆𝑖 0≤𝑥≤1 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠𝐹!(− 𝑥)=− 𝑥+1
4 𝑆𝑖 𝑥>1 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝐹!(− 𝑥)=0
PREPA COURCELLES DEUXIEME ANNEE
!
Finalement :
𝑆𝑖 𝑥<0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝐹!(𝑥)=0 𝑆𝑖 0≤𝑥≤1 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝐹! 𝑥 = 𝑥+1
4 −− 𝑥+1
4 = 𝑥
2 𝑆𝑖 1≤𝑥≤9 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝐹! 𝑥 = 𝑥+1
4 −0= 𝑥+1 𝑆𝑖 𝑥>9 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝐹! 𝑥 =1−0=1 4
La dérivée de la fonction de répartition conduit à la densité. Ainsi :
𝑆𝑖 𝑥<0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓!(𝑥)=0 𝑆𝑖 0≤𝑥≤1 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓! 𝑥 = 1
4 𝑥 𝑆𝑖 1≤𝑥≤9 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓! 𝑥 = 𝑥+1
4 −0= 1 8 𝑥 𝑆𝑖 𝑥>9 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓! 𝑥 =0
