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A1725 - Ecriture universelle

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Academic year: 2022

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(1)

Démontrer que tout nombre entier strictement positif peut s’écrire comme la différence de deux entiers strictement positifs qui ont le même nombre de facteurs premiers.

Tout nombre n peut d’écrire 2n-n : si n est pair, n et 2n ont les mêmes facteurs premiers.

Tout nombre n peut s’écrire 3n-2n : si n est impair non divisible par 3, 3n et 2n ont le même nombre de facteurs premiers. Reste donc le cas des multiples impairs de 3.

Soit p le plus petit nombre premier ne divisant pas n ; p est de la forme 6k±1 où tous les facteurs premiers de k sont des facteurs de n. Donc pn et 6kn ont le même nombre de facteurs premiers (un de plus que n) et n=±(pn-6kn).

A1725 - Ecriture universelle

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