A4929 –Une récidive [*** à la main]
L’auteur de l’énoncé du problème A1707 récidive avec une nouvelle proposition de problème qui contient trois taches rendant illisibles trois caractères d’une équation:
Déterminer les trois solutions en nombres premiers p et q de l’équation diophantienne :
Diophante subodore que les deux premières taches cachent chacune un signe « + » ou « – » et la dernière cache le dernier chiffre d’un entier à quatre chiffres.
Reconstituer les caractères rendus illisibles et déterminer les trois solutions.
Solution proposée par Daniel Collignon
L'équation s'écrit p² – p(3q+/ – 1) + 2020 + u +/ – 9q = 0 avec 0 ≤ u≤ 9 Son discriminant vaut d² = (3q+/ –1)² – 4(2020 + u + /–9q)
d² = 9q² + 1 +/– 6q – 8080 – 4u –/+ 36q d² = (3q +/–j)² = 8079 + j² + 4u avec j=5 ou 7
A l'aide de sa décomposition en facteur premier, on factorise 8079 + j² + 4u = X*Y avec X ≤ Y
X = 3q +/– j -d et Y = 3q +/–j + d ont même parité (comme X*Y est pair, nous en déduisons X et Y pair) d = (Y–X)/2 et 3q +/ – j = (X+Y)/2
Pour les valeurs q = (X + Y –/+ 2j)/6 entier premier, nous évaluons p = (3q +/– 1 ± d)/2 et conservons lorsque c'est un entier premier.
Comme cela reste fastidieux, j'ai préféré programmer pour récupérer : p q u ??
3 113 8 -- 31 29 8 -- 337 113 8 --
où ?? = ++, +-, -+ ou -- Remarques :
1) A noter que si on traite à part le cas p=3 où l'on trouve aisément q=113 avec u=2 ou 8, alors p=+/-1 (mod 3) pour tout autre entier premier (et même modulo 6, si on traite à part le cas p=2).
Cette remarque permet d'exclure pour u les valeurs 1,4 ou 7.
En effet, modulo 3, nous avons p(p+1)+2020+u=0.
Si p=-1, alors u=2 Si p=1, alors u=0
2) Il y a d'autres configurations apportant un nombre < 3 de solutions p q u ??
1013 337 0 -- 7 173 0 ++
3 113 2 +- 11 89 6 -+
257 89 6 -+
23 43 8 ++
