Enoncé A4929 (Diophante) Une récidive
L’auteur de l’énoncé du problème A1707 récidive avec une nouvelle pro- position de problème qui contient trois taches rendant illisibles trois ca- ractères d’une équation :
Déterminer les trois solutions en nombres premiers p et q de l’équation diophantienne :
Diophante subodore que les deux premières taches cachent chacune un signe « + » ou « – » et la dernière cache le dernier chiffre d’un entier à quatre chiffres.
Reconstituer les caractères rendus illisibles et déterminer les trois solutions.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin L’équation donnée s’écrit
p2−3pq+px+ 9qy+ 2020 +z= 0, avec x, y∈ {+1,−1} et 0≤z≤9.
Elle prend la forme (p−3y)(3q−p−x−3y) = 2029 +z+ 3xy, cary2 = 1.
Le second membre est compris entre 2026 et 2041, bornes comprises.
On voit facilement qu’il n’y a pas de solution si q = 2. Si p= 2, q = 135 non premier.
Sip etq sont impairs, les deux facteurs du premier membre sont pairs, et leur produit P, multiple de 4, est 2028, 2032, 2036 ou 2040. Leur somme est S= 3q−x−6y, soit 3q±5 si xy=−1, 3q±7 sixy = +1. Le reste de S modulo 3, quand il n’est pas nul, détermine alors q, x, y, et finalementp à partir de l’un ou l’autre des facteurs.
Le tableau d’analyse ci-dessous fait apparaître 9 quintuplets (x, y, z, p, q) oùp etq sont premiers :
(+1,−1,2,3,113), (−1,+1,6,11,89), (−1,+1,6,257,89), (−1,−1,0,1013,337), (+1,+1,0,7,173), (−1,−1,8,3,113), (−1,−1,8,337,113), (+1,+1,8,23,43), (−1,−1,8,31,29), correspondant à 6 équations distinctes.
L’équation à retenir est celle, avec (x, y, z) = (−1,−1,8), qui admet trois couples (p, q) comme solution :
p2−3pq−p−9q+ 2028 = 0, donnant pour (p, q) : (3,113), (337,113) et (31,29).
P xy z S q x y p
2028 −1 2 2·1014 1016 337 +1 −1 −1,1011 6·338 344 113 +1 −1 3,335 26·78 104 33 +1 −1 23,75 2032 −1 6 2·1016 1018 341 −1 +1 5,1019
4·508 512 169 +1 −1 1,505 8·254 262 89 −1 +1 11,257 +1 0 2·1016 1018 337 −1 −1 −1,1013
4·508 512 173 +1 +1 7,511 8·254 262 85 +1 −1 5,251 2036 +1 4 2·1018 1020
2040 +1 8 2·1020 1022 343 +1 +1 5,1023 4·510 514 169 −1 −1 1,507 6·340 346 113 −1 −1 3,337 10·204 214 69 −1 −1 7,201 12·170 182 63 +1 +1 15,173 20·102 122 43 +1 +1 23,105 30·68 98 35 +1 +1 33,71 34·60 94 29 −1 −1 31,57
