H141 – Les séquences primophiles
Par convention, la séquence des entiers naturels de 1 à n est appelée « n-primophile » si l’on parvient à arranger les entiers sur une seule ligne de telle sorte que la somme de deux termes adjacents et la somme de leurs carrés sont l’une et l’autre des nombres premiers. Par exemple la séquence (1,2) est 2-primophile car les sommes 1 + 2 = 3 et 1² +2² = 5 sont deux nombres premiers.
On lance trois dés à 6 faces supposés parfaits. Quelle est la probabilité que la somme s des trois numéros obtenus permette d’établir une séquence s-primophile ?
Solution proposée par Patrick Gordon
1) Les points amenés par les 3 dés seront supposés, selon l'usage, indépendants, de sorte que l'on calcule aisément la probabilité que le total s soit égal à 3, 4… 18.
On trouve (en 216ièmes) :
s = 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Pr = 1 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 3 1
2) Il faut ensuite déterminer quelles séquences (1,s) sont s-primophiles.
Naturellement on recherchera les arrangements à parité alternée (car deux termes adjacents de même parité donneraient une somme paire donc non première). Un tableau EXCEL avec, par exemple, les nombres pairs 2 à 18 en lignes et les nombres impairs 1 à 17 en colonnes permet d'éliminer les couples dont la somme et/ou la somme des carrés n'est pas un nombre premier.
On aboutit au résultat suivant (où OUI dans une case (i,j) signifie que i et j peuvent être adjacents) :
1 3 5 7 9 11 13 15 17
2 OUI OUI OUI - - - - OUI OUI 4 OUI - - - OUI - - OUI - 6 OUI - OUI - - OUI - - -
8 - OUI OUI - - - - OUI -
10 OUI OUI - OUI OUI - OUI - -
12 - - - OUI - - - - OUI
14 - - - - OUI - - OUI -
16 OUI - - - -
18 - - OUI - - - -
On voit immédiatement que les nombres 11, 13, 16, 18 devront être en tête ou en queue (ce qui, comme on le verra in fine, écarte la valeur s = 18).
On voit aussi que 4 devra être en tête ou en queue pour s < 9, etc.
Un examen systématique conduit à retenir les valeurs de s suivantes, avec les arrangements indiqués (pour certains, peut-être non uniques). Les valeurs de s ne donnant pas de solution sont en rouge.
s = 3
La séquence (1, 2, 3) convient.
s = 4
La séquence (4, 1, 2, 3) convient.
s = 5
Il n'y a pas de solution car la séquence devrait commencer (ou se terminer) par 4, 1. Mais elle est de longueur impaire et doit donc avoir un nombre impair aux deux bouts.
s = 6
La séquence (4, 1, 6, 5, 2, 3) convient.
s = 7, 8, 9
Il n'y a pas de solution car 7 n'a pas d'adjacent possible avant 10.
s = 10
La séquence doit avoir 7, 10 en tête (ou symétriquement).
La séquence (7, 10, 9, 4, 1, 2, 3, 8, 5, 6) convient.
s = 11
La séquence doit avoir 11, 6 en tête et 10, 7 en queue (ou symétriquement).
La séquence (11, 6, 5, 8, 3, 2, 1, 4, 9, 10, 7) convient.
s = 12
Comme 7 et 12 peuvent être adjacents, il suffit de compléter la séquence précédente par 12.
La séquence (11, 6, 5, 8, 3, 2, 1, 4, 9, 10, 7, 12) convient.
s = 13
Il n'y a pas de solution car le 12 est isolé et ne peut donc qu'être en tête ou en queue (comme ci-dessus) et suivi (ou précédé) du 7, ce qui "mobilise" le 10, lequel n'est donc plus disponible pour le 13.
s = 13, 14, 15, 16
Le 12 reste isolé et ce que dessus reste valable. Il n'y a donc pas de solution.
s = 17
La séquence est de longueur impaire et commence et finit donc par des nombres impairs (11 et 13). Elle ne peut pas prendre en compte le nombre pair isolé 16. Il n'y a donc pas de solution.
s =18
Il y a deux nombres impairs isolés (11 et 13) et deux nombres pairs isolés (16 et 18). La séquence, de longueur paire, ne peut en "caser" qu'un de chaque. Il n'y a donc pas de solution.
3) Reste à additionner les probabilités des séquences retenues (s-primophiles) Les valeurs de s retenues sont : 3, 4, 6, 10, 11, 12.
La somme des probabilités correspondantes (voir tableau de la partie 1) est 93/216 ou encore 31/72, soit environ 0,43.
